Сообщение на тему симметрия в орнаментах. Виды и роль симметрии в возникновении орнаментального образа. Индивидуальная карта проектанта

Cлайд 1

Работа ученика 9"А" класса МОУ "Гимназия №2" Ултургашева Андрея. руководитель: Колычева Ираида Михайловна, учитель математики

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Наша страна богата талантами. Многие виды народного искусства широко известны и высоко ценимы не только у нас, но и за рубежом. Это палехская и мстерская миниа- тюра, расписные матрешки Полхова Майдана, богород- ская деревянная игрушка, жостовские подносы и многое, многое другое. В изделиях народных мастеров – в дереве, камне, глине, на ткани – оживают образы, пришедшие из языческих по- верий и легенд, народного эпоса и сказок. Каждый из нас хотя бы раз в жизни видел вышитое полотенце, русскую рубаху, расшитый узорами девичий сарафан…Как нам сохранить и оставить для потомков эту красоту? Для этого надо суметь многое понять в нашем прошлом. Почему старинные русские орнаменты выглядят такими нарядными, что обозначают вышитые непонятные птицы, деревья, диковинные цветы и травы, по каким законам выстроен сам орнамент – на эти и некоторые другие во- просы я попытался ответить в своей работе.

Cлайд 5

Симметрия в геометрии – свойство геометрических фигур. Точки А и А1 называются симметричными относительно Точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой «а»(ось симметрии), если прямая «а» проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой «а» считается симметричной самой себе. Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости «альфа»(плос-- кость симметрии), если плоскость «альфа» проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. каждая точка плоскости «альфа» считается симмет- ричной самой себе.

Cлайд 6

Точка(прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если Каждая точка фигуры симметрична относи- тельно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр(ось,плоскость) сим- метрии, то говорят, что она обладает цен- тральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Симметрия – это определенный пространст- венный порядок, математически точная за- кономерность в расположении предметов кли их частей.

Cлайд 7

В искусстве симметрия получила распрстра- нение как один из видов гармоничной компози- ции. Она свойственна произведениям архитек- туры и декоративно-прикладного искусства. Симметрия является своеобразной мерой кра- соты и гармонии окружающего нас мира. Выдающийся математик 20 века Герман Вейль в своей работе «Симметрия» уделил особое вни- мание орнаментальной симметрии. Он показал, что в основе принципов любой орнаментальной композиции лежат общие положения фундамен- тальных математических структур, и связал орнаментальную симметрию с дискретными группами движений на плоскости.

Cлайд 8

Существует несколько видов симмет- рии. Чаще всего мы встречаемся с зеркальной симметрией. Она присуща телу человека и большинства живот- ных, многим предметам, которыми мы пользуемся, широко применяется в искусстве. Если какой-либо предмет или плоскую фигуру можно разделить плоскостью на две половины таким образом, что- бы одна половина, отразившись в этой плоскости, как в зеркале, повторила другую, то они обладают зеркальной симметрией. Зеркальная симметрия бытовых предметов подчеркивается орнаментом, построенным по тому же принципу. Плоскости симметрии предмета и орнамента совпадают.

Cлайд 9

Например, эта декоративная вырезка из бумаги, созданная народным масте- ром. Орнамент вырезан из сложенно- го вдвое листка цветной бумаги – простейший способ добиться зеркаль- ной симметрии.

Cлайд 10

Еще один вид симметрии, посто- янно встречающийся в народном творчестве – перенос или трансляция. Симметричные эле- менты могут быть совмещены друг с другом при перемещении вдоль прямолинейной оси на отрезок определенной длины. Каждый из рисунков этих орна- ментов состоит из ряда одина- ковых изображений. Можно ска- зать, что эти рисунки образова- ны повторением определенного мотива или его переносом на равные отрезки.

Cлайд 11

Орнамент – огромная и очень своеобразная область художест- венной культуры. По определе- нию, это узор, состоящий из повторяющихся ритмически упо- рядоченных элементов. Он пред- назначен для украшения различ- ных предметов (посуды, текст. изделий,оружия и т.д.) архитек- турных сооружений, произведе- ний прикладного искусства. Он связан с поверхностью (плоско- стью), которую украшает и зри- тельно организует, а своей фор- мой и цветом выявляет и подчер- кивает особенности предмета, природную красоту материала.

Cлайд 12

Основной признак орнамента как средства украшения – подчиненность образу, форме и назначению украшаемого предмета. Орнамент не может существовать самостоятельно, вне этого предмета. В построении орнамента обычно используют принцип симметрии, приемы ритмических повторов одного или нескольких элементов (раппорт). Орнамент можно продолжить в обе стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена, замкнута. Элементы, образующие орнамент, могут более или менее точно воспроизводить действительность, но чаще всего подвергаются переработке, стилизации, декоративному обобщению.

Cлайд 13

Cлайд 14

Cлайд 15

В народном творчестве, где орнамент нашел наиболь- шее распространение, постепенно складывались устой- чивые формы и принципы построения орнамента, во многом определившие национальные художественные традиции разных народов. Каждая эпоха, каждый стиль в архитектуре, каждая национальная культура вырабо- тали свою систему орнамента (мотивы, формы, распо- ложение на украшаемой поверхности), поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства. Русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) особенно интересен в этом смысле, так как имеет своеобразные математические, цветовые и символические особенности.

Cлайд 16

Существенным в орнаменте является цвет. Народные мастера хорошо знали о воздействии цвета не только на зрение, но и на психику людей. Они учитывали, что с тем или иным цветом в сознании человека нередко ассоциируются определенные явле- ния, конкретные настроения и переживания. Народные умельцы в цветовом решении орнамента отдают предпочтение красному цвету. Именно с ним связывается представление о радости, ве- селье, торжестве и счастье. Он вызывает в нашем сознании ассо- циации с солнцем, источником всего живого на Земле.

Cлайд 17

Высокого развития достиг орнамент в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей и человеческих фигур. Во взаимном расположении повторяю- щихся фигур русского орнамента в основном участвуют всего три вида симметрии: 1 – это последовательное распо- ложение в линию - переносная симмметрия

Cлайд 18

Cлайд 19

И поворот вокруг общего центра – поворотная симметрия. Количество фигур в полном обороте определяет порядок по- воротной симметрии. В орнаменте на плоскости встречает- ся поворотная симметрия 2-го, 3-го и 6-го порядков. В соот- ветствии с порядком поворотной симметрии фигуры орна- мента относительно друг друга повернуты на 180, 120, 90 или 60 градусов.

Cлайд 20

Считается, что орнаменты, сочетающие зеркальную и по- воротную симметрии 4-го порядка, вызывают состояние покоя. Прямые углы по опыту людей отвечают устойчиво- му равновесию: спокойная водная гладь и отраженные в ней вертикальные стволы деревьев, угол между полом и стенами в комнате, прямоугольные формы зданий.

Cлайд 21

Давно замечено, что в вы- шивках нет ничего случай- ного. В основу древнесла- вянского орнамента легли универсальные представ- ления наших далеких пред- ков о мире. Эти представ- ления нашли отражения в мотивах, характерных для русского орнамента и рус- ких узоров. Эти символы с скрывают особый смысл, который мы, к сожалению, уже не всегда можем прочи- тать.. В орнаменте человек выразил свои представления о космосе, жизни, любви к при роде и человеку, о счастье. В народном творчестве мотивы орнамента запечат лели поэтическое отношение к миру.

Cлайд 22

Для русского орнамента характерными являются также мотивы: "обереговых "знаков, которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища; мотивы "плетенки", которые трактовались как знаки воды; - мотив древней богини Мокоши (как представление о Великой Праматери); -мотив "древа жизни"; -мотивы "солярных" (солнечных) знаков. Так, например, прямая линия в орнаментах многих наро- дов означает землю, а волнистая – воду. Сочетание этих линий, расположенных горизонтально в русском орнаменте - символ "мать-сыра земля", расположенных вертикально или горизонтально – символ дождя. Ромб – символ поля, точка в нем – зерно, а в целом - символ за- сеянного поля.

Cлайд 23

Cлайд 24

Заклинательным обереговым орна- ментом украшались все проемы, че- рез которые могли проникнуть к че- ловеку злые духи. Важно было защи- тить те места, где кончалась закол- дованная ткань одежды и начиналось тело человека – рукава, плечи и во- рот обычно расшивали красными нитками. Часто украшали и подол. Сама ткань считалась непроницае- мой для духов зла, т.к. в ее изготов- лении участвовали предметы, изо- бильно снабженные магическим ор- наментом (трепало, прялка, ткац- кий станок).

Cлайд 25

Завершает ансамбль русского костю- ма головной убор. У девушек это может быть только перевязка, остав- ляющая верх головы не закрытым, а замужние женщины носили кокош- ники, расшитые золотой нитью и речным жемчугом.

Cлайд 26

В качестве оберегов часто высту- пают фигуры с центральной сим- метрией, например круг и правиль- ный шестиугольник. У древних славян эти фигуры являлись обе- регами от грозы, они называются "солярными " знаками. Движение солнца передают в орнаменте зна- ком, который нам известен как свастика. Для солнечных знаков характерна поворотная симмет- рия разного порядка. Наиболее рас- пространенными являются круг, разделенный радиусами на равные секторы, а также круг с крестом внутри. "Бегущее" солнце изобра- жает круг с расходящимися от центра дугообразными линиями.

Cлайд 27

Земля изображалась прямоугольником, разделенном диагоналями на 4 части, с повторяющимся в них рисунком. Здесь также мы наблюдаем осевую симметрию в сочетании с централь- ной. Эти же виды симметрии преоб- ладают в изображениях растительно- го мира.

Cлайд 28

Водная стихия представ- лена обычно рядами чер- точек и точек, воспроиз- водящими дождевые кап- ли и зигзагообразными линиями (пример перенос- ной симметрии). Такой мотив типичен для налич- ников окон.

Проект освоения темы «Этот удивительный мир симметрии»

1. Основная идея.

Явление симметрии находит многоплановое и многоуровневое выражение в разных науках и видах искусств. Традиционно философское осмысление понятия симметрии происходит на материале естественных наук и математики. Помимо конкретно-научного содержания (математического, физического и т. д.) оно имеет всеобщее онтологическое значение, а также статус категориального определения и используется при описании математических понятий, физических явлений и процессов, различных объектов живой и неживой природы, предметов искусства. У учащихся тема «Симметрия» вызвала большой интерес и побудила их к более глубокому изучению данного материала с разных точек зрения (исторической, математической, физической, биологической и других).

2. Цели.

1. Научить различать многообразные проявления симметрии в окружающем мире.

2. Показать важную, исключительную роль принципа симметрии в научном познании мира и в человеческом творчестве.

3. Развивать творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе полученных данных в результате исследований.

4. Развивать познавательную деятельность учащихся, способствующую развитию разносторонней личности.

5. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

3. Рабочие группы и вопросы для исследования.

Группа «Математики»

Зеркальное отражение. Опыты с зеркалами.

Симметрия.

Бордюры.

Вывод.

Группа «Историки»

Симметрия древнерусского орнамента.

Сделать вывод о присутствии симметрии в орнаментах древнерусских мотивов.

Группа «Биологи»

Симметрия в биологии.

Сформулировать вывод о многообразии структур, существующих в природе.

Группа «Физики»

Симметрия в физике.

Вывод.

Группа «Исследователи существования симметрии в музыке и литературе»

Симметрия в музыке и литературе.

Вывод.

Группа «Эксперты»

Во время отчетов рабочих групп следить за их выводами, заносить оценки (в баллах) в индивидуальную карту проектанта и в конце урока дать оценку работе каждой группы.

4. Отчетные материалы.

Подготовка сообщений.

Создание презентаций в PowerPoint .

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методы и приемы работы: реализация проектно-исследовательской технологии.

Оборудование:

Ножницы, бумага

Презентации.

Ход урока

Вступительное слово учителя:

Уважаемые ребята! Наш урок проходит в рамках проектно-исследовательских технологий и посвящен такой разносторонней теме как «Симметрия».

Трудно найти человека, который не имел бы какого-то представления о симметрии. Люди с давних времен использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта. Вы, наверное, обращали внимание на то, как строго симметричны формы античных зданий, гармоничны древнегреческие вазы, соразмерны их орнаменты. С теми или иными проявлениями симметрии мы встречаемся буквально на каждом шагу. Взгляните на порхающую бабочку, загадочную снежинку, мозаику в храме, морскую звезду, кристалл граната – все это примеры симметрии.

Известный математик прошлого столетия Герман Вейль сказал: «Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Эти слова послужат эпиграфом к нашему уроку. И мы постараемся с помощью ваших исследований объяснить и раскрыть порядок, красоту и совершенство. В подготовке к уроку участвовало 5 рабочих групп: математики, историки, биологи, физики, исследователи существования симметрии в музыке и литературе. Они ознакомят нас с материалами своих исследований. Шестая группа – эксперты, будет следить за работой на уроке, и оценивать ваши ответы, по результатам чего будут выставлены оценки каждому ученику.

Итак, мы начинаем. Запишите в тетради число, классная работа, тема урока «Этот удивительный мир симметрии».

Слово предоставляется группе математиков.

Первый ученик. Ежедневно каждый из нас по несколько раз в день видит свое отражение в зеркале. Это настолько обычно, что мы не удивляемся, не задаем вопросов, не делаем открытий. И только философы и математики не теряют способности удивляться. Вот что написал немецкий философ Иммануил Кант о зеркальном отражении: «Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки…»

Что же меняется в предмете при его отражении в зеркале? Проведем опыты с зеркалами. Постарайтесь подметить особенности зеркального отражения и сделать из каждого опыта выводы, которые запишем в тетради.

Задания:

Напишите свое имя печатными буквами в столбик и посмотрите на его отражение в зеркале. Поворачивает ли зеркало ваше имя?

Чем отличаются записи МАША и ЮРА (полоски с именами расположите параллельно поверхности зеркала)?

На полоске бумаги горизонтально печатными буквами написаны слова ЧАЙ и КОФЕ. Положите эту полоску перед зеркалом на стол. Почему зеркало не перевернуло слово КОФЕ и до неузнаваемости изменило слово ЧАЙ?

Второй ученик: Опыты с зеркалами позволили нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – симметрии. В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по-гречески слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Давайте проведем линию вдоль написания слова КОФЕ. Если теперь поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Поэтому такая симметрия называется зеркальной (или осевой, если речь идет о плоскости). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то ее части совпадут.

Посмотрите на рисунок: здесь изображены клякса и ажурная бумажная салфетка. Клякса получилась так: на лист бумаги капнули краску, сложили лист вдвое и затем разогнули. Линия сгиба – ось симметрии кляксы. Аналогичным образом получилась ажурная салфетка, только лист бумаги согнули насколько раз, вырезали из этого «слоеного» листа кусок, а затем разогнули лист. У салфетки несколько линий сгиба, и все они являются осями симметрии. У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии, а может и не быть вовсе.

Задание:

Мысленно перегибая бумагу, определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур, показанных на рисунке. (Прямоугольник, ромб, квадрат, параллелограмм, правильный шестиугольник, круг, треугольники: произвольный, равнобедренный, правильный).

Какая из фигур «самая симметричная»?

Какая самая «несимметричная»?

Третий ученик: Вы думаете из бумаги можно вырезать только ажурные салфетки? Не только. Из бумаги вырезают и очень красивые симметричные ленты (демонстрация лент).

Как получить такие ленты? Возьмем полоску бумаги шириной 5 см и длиной 20 см. Сложим ее «гармошкой» и нарисуем девушку, с разведенными в сторону руками так, чтобы «руки» касались линии сгиба. Вырежем фигуру, оставляя участки на линиях сгиба неразрезанными; развернем полученную «гармошку». У нас получилось кружево. Если ленту предварительно сложить вдвое вдоль, а затем «гармошкой», то получится лента, симметричная относительно горизонтальной оси (демонстрация).

Орнаменты в виде лент (бордюры) применяют маляры и художники при оформлении комнат, зданий. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Трафарет представляет рисунок, вырезанный на листе картона или какого-либо другого плотного материала. Маляр передвигает трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводит контур, повторяя рисунок, и получает орнамент.

Задание: Используя готовый трафарет, получите симметричные орнаменты с помощью:

параллельного переноса;

зеркальной симметрии;

поворота на 180 0 вокруг точки О;

симметрии относительно горизонтальной оси плюс параллельного переноса.

Вывод экспертов.

Учитель: Говоря о симметрии, характерной для орнамента, в качестве примера обычно приводят египетский, греческий, арабский орнаменты. А между тем и русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) имеет интересные математические особенности. Давайте предоставим слово нашим историкам.

Первый ученик: Прежде чем обратиться к славянской орнаментике, рассмотрим кратко состояние математического знания на Руси в период IX – X вв.

Практически деятельность людей на Руси, как и в других странах Европы и Азии, делала необходимым развитие арифметических знаний и представлений о свойствах геометрических фигур. Раскопки древних городищ свидетельствуют, что математические познания были широко распространены на Руси уже в IX – X вв. По словам Б. В. Гнеденко, это были скорее навыки, чем знания, которые передавались устным путем и включали представления о натуральных числах и действиях с ними, а также о простейших дробях. Кроме того, в Древней Руси был хорошо известен такой геометрический инструмент, как циркуль. Поэтому широкое распространение имеет орнамент из окружностей на украшениях и предметах обихода.

По мнению академика Б. А. Рыбакова, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнеславянского орнамента легли универсальные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическим восприятием действительности. Миф и обряд сочетали в себе элементы магии и тотемизма (комплекс верований и обрядов родового общества, связанных с представлением о родстве между группами людей), художественного творчества, социальные нормы, регулирующие поведение людей. Все это нашло отражение в мотивах русского орнамента.

Второй ученик: В одежде магическим охранительным узором покрывались ворот, обшлага рубахи, подол, разрезы на рубахе или сарафане. Сама ткань считалась непроницаемой для духов зла, так в ее изготовлении участвовали предметы, изобильно снабженные магическим орнаментом (трепало, прялка, ткацкий стан). Важно было защитить те места, где кончалась заколдованная ткань одежды и начиналось тело человека.

То же самое в народной архитектуре: декоративные элементы располагаются на воротах, вокруг окон; то или иное освященное изображение (конь, оленья голова с рогами, богиня и птицы, солнце) увенчивало наивысшую точку дома – щипец крыши. В качестве оберегов часто выступали фигуры с «хорошей» симметрией, например круг и правильный шестиугольник. Вот что пишет Рыбаков об обереге от грозы: «Повсеместное распространение у всех восточных славян имел один и тот же оберег от грозы – шестигранник или круг, но обязательно с шестью радиусами, что заставляет нас выделить эту фигуру из общей массы знаков, условно называемых солярными, и признать колесо особым «громовым» знаком».

Третий ученик: Древнерусский орнамент обычно сочетал в себе идеограммы воды, дождя, солнца и растительного мира в его надземной и подземной (корневой) части.

Водная стихия представлялась рядами точек и черточек, воспроизводящих дождевые капли, а также зигзагообразными линиями, что служит примером переносной симметрии в простейшем древнерусском орнаменте. Такой мотив типичен для наличников окон.

Земля была представлена в виде прямоугольника, разделенным диагоналями на четыре части с повторяющемся в них рисунком. Для такой конфигурации характерна осевая симметрия в сочетании с центральной. Эти виды симметрии преобладают в изображениях растительного мира.

Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия разного порядка. Наиболее распространен круг, разделенный радиусами на равные секторы, а также круг с крестом внутри.

Таким образом, описание отдельных древнерусских орнаментальных мотивов (например, темы плодородия, дождя, солнца и т.д.) и схемы их расположения на деталях жилища, предметах украшения и быта наглядно демонстрирует присутствие в них центральной, поворотной, переносной, осевой и зеркальной видов симметрии, которые являются причиной эстетической привлекательности орнамента.

Вывод экспертов.

Учитель: Давайте послушаем доклад биолога, который расскажет нам о симметрии в мире растений и в животном мире.

Первый ученик: Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере фактически любого дерева. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, т. е. снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е. наверху.

Вертикальная ориентация оси корпуса характеризует симметрию дерева. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, ветви, плоды. На демонстрирующихся рисунках показаны примеры, в которых наблюдается только зеркальная симметрия. Такая ситуация характерна для листьев и цветов.

Для большинства цветов характерна поворотная симметрия. Так, например, цветок зверобоя имеет поворотную ось и не обладает зеркальной симметрией; веточка акации имеет зеркальную и переносную симметрию; веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии.

Второй ученик: Поворотная симметрия встречается и в живом мире. Примером могут служить морская звезда и панцирь морского ежа.

Словосочетание «зеркальная билатеральная» чаще используют в биологии вместо словосочетания «зеркальная симметрия». Эта симметрия хорошо видна у бабочки левого и правого крыльев и проявляется почти с математической строгостью.

Можно сказать, что каждое животное состоит из двух энатиморов – правой и левой половины. Отметим, наконец, билатеральную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Таким образом, симметрия ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе.

Вывод экспертов.

Учитель: Дальше поговорим о симметрии в неживой природе. Наверное, не случайно безжизненный замок Снежной королевы из известной сказки Андерсена часто изображают как высшей степени симметричное сооружение. Слово физикам.

Первый ученик: Камни, лежащие у подножия горы весьма беспорядочны; однако каждый камень является огромной колонией кристаллов, которые представляют собой высшей степени симметричные постройки из атомов и молекул. Именно кристаллы вносят в мир неживой природы очарование симметрии. Кто из вас не любовался снежинками? Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией, поворотной симметрией и зеркальной симметрией.

Все твердые тела состоят из кристаллов. Посмотрите на кристаллы топаза, берилла, дымчатого кварца.

Симметрия внешней формы хорошо видна в кристаллах каменной соли, кварца, эбонита. А на следующем слайде вы видите три формы кристаллов алмаза: октаэдр, додекаэдр, гексагональный октаэдр.

Таким образом, симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии – упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).

Учитель: Иначе говоря, симметрия кристалла связана с существованием пространственной решетки из атомов так называемой кристаллической решетки.

Звучит музыка… А где же симметрия в музыке? Слово предоставляется исследователям существования симметрии в музыке и литературе.

Первый ученик: Душа музыки, ритм, состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения. Правильное повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность музыки. Мы с большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, потому что это произведение записывается при помощи нот. Самое непосредственное отношение имеет к симметрии композиция. Великий немецкий поэт И.В.Гете утверждал, что: «Всякая композиция основана на скрытой симметрии. Владеть законами композиции, – это значит владеть законами симметрии».

Если взять простой пример: “Песенка белочки” из музыкальной сказки “Дважды два-четыре”.

Каждый день без всякой спешки
Я в дупле грызу орешки:
Щелк-щелк-щелк
Щелк-щелк-щелк

Припев:

Я печальной не бываю,
Веселюсь и напеваю:
Ля-ля-ля
Ля-ля-ля

Всем видна моя сноровка,
Я скачу по веткам ловко
Скок-скок-скок
Скок-скок-скок

Припев:

Очень рыжая как осень,
Я мелькаю между сосен:
Прыг-прыг-прыг
Прыг-прыг-прыг.

Припев:

В этой песне чередуется куплет и припев. Симметрию можно увидеть в стихотворениях – это чередование рифм, ударных слогов, т.е. ритмичность.

Например:

А.С. Пушкин.

В этот год осенняя погода
Стояла долго на дворе
Зимы ждала, ждала природа
Снег выпал только в январе.

Чередование рифм и чтение по интонации дает чувствовать прелесть симметрии пушкинского стихотворения.

Вывод экспертной группы.

Учитель: Ребята, я благодарю вас за работу, которую вы проделали, подбирая материал к нашему уроку. Сегодня мы рассмотрели различные проявления симметрии. Мы увидели, что узоры симметрии живут полнокровной жизнью в музыке, в стилях архитектуры, в предметах домашнего обихода, в орнаментах. Модели симметричных форм доставляют нам истинное удовольствие. Ведь они говорят о красоте и гармонии.

Я желаю вам огромных успехов и гармонии в отношениях с родными и близкими. Будьте здоровы и счастливы.

До свидания. Спасибо за урок!

ЛИТЕРАТУРА

1. Первое сентября. Математика № 2 2004г. Е. Нестеров Симметрия вокруг нас 5-6 классы.

2. Подходова Н. С., Оводова Е. Г. Геометрия в пространстве.

3. Вейль Г. Симметрия. М: Наука, 1966

4. Волошилов А.В. Математика и искусство.М: Просвещение 1992г.

5. Гарднер М. Этот правый, левый мир.М.: Мир 1967г.

6. Лошанов М. Элементы симметрии в музыке. Сб Музыкальное искусство» Вып.1.М: Музыка,1970г.

7.Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир. М.: Просвещение, 1982

8. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л: Недра 1968г.

9. Шубников А.В. Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972г.

10. И. Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева Наглядная геометрия. Учебное пособие для V – VI классов. – М.; МИРОС, КПЦ «Марта», 1992.

Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: КомКнига, 2005.

11. Рыбаков Б. А. Язычество Древней Руси. – М.: Наука,1988.

Индивидуальная карта проектанта

Класс_____ Руководитель проекта_______________________

Тема проекта_________________________________________

Дата начала работы____________________________________

Дата защиты проекта___________________________________

Этапы проекта

Критерии оценки

Оценка

Максимальная

Фактическая

Погружение в проект

Актуальность выбранной темы

Практическая значимость работы

Аргументированность целей работы

Планирование работы

Умение отбирать информацию

Умение организовать работу в команде

Наличие разделение обязанностей

Информированность группы о результатах работы

Определение вклада каждого члена группы

Поисково-информационная деятельность

Соответствие содержания теме

Логичность и последовательность изложения

Четкость формулировок и выводов

Доступность для понимания

Результаты и выводы

Эстетика оформления результатов

Соответствие оформления стандартным требованиям

Презентация

Качество доклада

Объем и глубина знаний по теме

Культура речи

Чувство времени

Умение удерживать внимание аудитории

Умение вести дискуссию

Оценка процесса и результатов работы

Полученные результаты и их оценка

Уровень самостоятельности при проектировании всех этапов

Критерии выставления оценки

Итого баллов

Баллы

110 - 90

89 - 65

64 и менее

Оценка

отлично

хорошо

удовлетворительно

Итоговая оценка

ГООУ «Бобровская специальная (коррекционная) школа-интернат для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, с ограниченными возможностями здоровья»

ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ

НА ТЕМУ

«ЭТОТ УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР СИММЕТРИИ»

подготовила учитель математики ВКК

Н. А. Полубавкина

Александров Артём, Макаров Александр

Данная работа содержит теоретический материал и презентацию о видах симметрии в древнерусском орнаменте.

Скачать:

Предварительный просмотр:

СИММЕТРИЯ ДРЕВНЕРУССКОГО ОРНАМЕНТА

В процессе исторического развития и осмысления понятия симметрии особый этап философско-эстетического анализа симметрии как меры красоты и гармонии мироздания связан с работой выдающегося математика XX века Германа Вейля «Симметрия» (1952) . Вейль под симметрией понимал неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определённого рода преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его можно подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования. Автор сделал важное заключение об орнаментальной симметрии: “ Таким образом, имеется 17 существенно различных видов симметрии, которыми может обладать двумерный орнамент с двойным бесконечным отношением…Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики ”…

Говоря о симметрии, характерной для орнамента, в качестве примера обычно приводят египетский, греческий, арабский орнаменты. А между тем и русский орнамент (наряду с историческим и культурным значением) имеет интересные математические особенности.

Рассмотрим кратко состояние математического значения на Руси в период IX – X вв. Практическая деятельность людей на Руси, как и в других странах Европы и Азии, делала необходимым развитие арифметических знаний и представлений о свойствах геометрических фигур. Раскопки древних городищ свидетельствуют, что математические познания утилитарного характера были широко распространены на Руси. Это были скорее навыки, чем знания, которые передавались устным путём и включали представления о натуральных числах и действиях с ними (сложении, вычитании, умножении и делении), а также о простейших дробях. Кроме того был хорошо известен такой геометрический инструмент, как циркуль. В пользу этого утверждения говорит широкое распространение орнамента из окружностей на украшениях и предметах обихода.

По мнению академика Б. А. Рыбакова , известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнеславянского орнамента легли универсальные представления о мире. Миф и обряд сочетали в себе элементы магии и тотемизма, зачатки художественного творчества, социальные нормы, регулирующие поведение людей. Всё это нашло отражение в мотивах, характерных для русского орнамента.

Среди них можно выделить следующие.

Мотив “ обереговых” знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища.

Свои обереговые символы славяне размещают на «уязвимых» участках жилища и двора. Заклинательным орнаментом они закрывают все проёмы, через которые нечистая сила может проникнуть к человеку: ворота, двери, окна, застрехи. Символ солнца, размещаемый в проемах, должен охранять жилище от ночной нечисти. Солярные знаки находим также на крыше дома – в виде конька (причем конь, как уже говорилось выше, сам по себе символизировал солнце), под крышей – в виде реального изображения солнца или его символа, на фасаде, на наличниках окон. На фасаде дома славяне изображают небо и ход солнца – утром, в полдень и вечером. При этом на центральном полотенце обычно размещают громовой знак (круг, разделенный на шесть секторов) – символ Рода или Перуна, оберегавшим дом от попадания в него молнии. Рядом с символом солнца почти всегда славяне изображают знак земли или засеянного поля, обозначающий единство небесного и земного, явного. Мир яви символизируют и изображения птиц, растений, богинь, переплетающиеся с фантастическими существами.

Особую магию и особый смысл у славян имеют обрядовые полотенца. Узоры на них представляют не что иное, как славянский календарь, который образно отражал семейно-родовые события или аграрно-ритуальные торжества, свойственные земледельческой культуре. На всех праздниках первым на полотенце выносили хлеб да соль. Соль - символ солнца, любви; хлеб - земля, милость; полотенце - символ жизни человеческой, полоса судьбы, часть чистого космического пространства. Во время обручения руки жениха и невесты соединяли, обернув полотенцем, чтобы молодые жили в достатке; с тем же смыслом во время родов бабка принимала младенца на новое полотенце. Полотенца-обыденники ткали и расшивали несложным обережным о рнаментом против мора, для испрашивания дождя и т.п., причем, чтобы полотенце имело чудодейственную силу, с работой ткачиха должна была справиться за один световой день.

Мотив древней богини Мокоши (единственный женский образ в древнерусской мифологии) как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Обычно её изображение помещали в центре трёхчастной композиции.

Изображения оберегающих мир в доме Лады (богиня веселья, благополучия и согласия в семье; богиня невест) или Мокоши располагаются также на резных наличниках (они изображаются с поднятыми вверх руками, словно просящими защиты у верховных богов, дающих небесную влагу и свет), а также на хозяйственных постройках (они изображаются с опущенными руками, словно обращаются к матери-сырой земле, дающей урожай).

Мотив древа жизни .

Даже самый абстрактный орнамент у русских мастеров сохраняет свою рукотворность. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

Земля представлена идеограммой: прямоугольником, разделённым диагоналями на четыре части с повторяющимся в них рисунком. Для такой конфигурации характерна осевая симметрия в сочетании с центральной.

Эти виды симметрии преобладают в изображениях растительного мира.

Например, заклинательные знаки отражают динамику развития ростка (каждый фрагмент рисунка символизирует один из этапов этого процесса).

Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия разного порядка. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на равные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри. Особый интерес представляют знаки, изображающие «бегущее» солнце.

Для древнерусского искусства характерен вид симметрии, выражающийся в удвоении (парности) того или иного изображения.

Парность отвечала двум видам пожеланий: «во все стороны», « повсюду на земле», «со всех сторон», «отовсюду».

Таким образом, описание отдельных древнерусских орнаментальных мотивов и схемы их расположения на деталях жилища, предметах украшения и быта являются причиной эстетической привлекательности орнамента.

Руководитель: О. В. Афанасьева

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

« СИММЕТРИЯ В ДРЕВНЕРУССКОМ ОРНАМЕНТЕ» Выполнили: учащиеся группы №7 А. Александров, А. Макаров Руководитель: О. В. Афанасьева

Цель: Продемонстрировать возможности законов геометрии при создании различных орнаментов, украшающих многие предметы декоративно-прикладного искусства. Задачи: Повторить и расширить знания об известных видах симметрии. Научиться выделять и описывать симметрию в рисунке орнамента. Обобщить и систематизировать сведения, использующиеся при создании орнамента.

ВИДЫ ОРНАМЕНТА ПЛОСКОСТНОЙ Плоскостной орнамент представляет украшение, выполненное на плоскости с помощью линий. Плоскостные орнаменты применяются при украшении одежды, росписи стен зданий в виде бордюров.

a) Внутри полосы б) На полосе в) С двух сторон полосы ЛИНЕЙНЫЙ (варианты расположения):

СЕТЧАТЫЙ Сетчатым его называют потому, что его композиция строится при помощи сетки. Сетчатый орнамент применяется для оформления пола, потолка, стен помещения.

ЦЕНТРИЧЕСКИЙ Центрический орнаментом называют узор, декоративные элементы которого сгруппированы так, что создают центрическое движение. Замкнутый орнамент чаще всего используется для украшения салфеток, скатертей, тарелок и т.д.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ В геометрическом орнаменте в качестве мотива выступают геометрические фигуры: круг, квадрат, треугольник и т.д.

РАСТИТЕЛЬНЫЙ В растительном – формы заимствованы из мира природы, например: листья растений, плоды, цветы, веточки и т.д.

ДРЕВНЕРУССКИЙ ОРНАМЕНТ Орнаментальные композиции, как украшения предметов быта, на Руси существовали очень давно. Крестьянские избы украшались резным узором. На окнах висели занавески, вышитые причудливым орнаментом и весь дом был наполнен расписной посудой, вышивкой и кружевами. Русский орнамент очень разнообразен. Декоративные элементы составлялись из символов и отражали чувства и интересы крестьянина. Цвет в узоре имел особое значение. Красный цвет выражал восторг, радость.

ПРИМЕРЫ РУССКОГО ОРНАМЕНТА

МОТИВ “ ОБЕРЕГОВЫХ” ЗНАКОВ Свои «обереговые» символы славяне размещали на «уязвимых» участках жилища и двора. Заклинательным орнаментом они закрывали все проёмы, через которые нечистая сила могла проникнуть к человеку: ворота, двери, окна, застрехи. Символ солнца, размещаемый в проемах, должен охранять жилище от ночной нечисти. На крыше дома - конёк (символизировал солнце). На фасаде дома славяне изображали небо и ход солнца – утром, в полдень и вечером.

Особую магию и особый смысл у славян имели обрядовые полотенца. Узоры на них представляли не что иное, как славянский календарь, который образно отражал семейно-родовые события или аграрно-ритуальные торжества, свойственные земледельческой культуре. На всех праздниках первым на полотенце выносили хлеб да соль. Соль - символ солнца, любви; хлеб - земля, милость; полотенце - символ жизни человеческой, полоса судьбы, часть чистого космического пространства.

МОТИВ ПЛЕТЁНКИ Характерен для так называемых русальских браслетов, как знак воды и царства подземного владыки Переплута. МОТИВ ДРЕВА ЖИЗНИ

МОТИВ ДРЕВНЕЙ БОГИНИ МОКОШИ Единственный женский образ в древнерусской мифологии, как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Обычно её изображение помещали в центре трёхчастной композиции.

ВИДЫ СИММЕТРИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ОРНАМЕНТА: Параллельный перенос Центральная симметрия Осевая симметрия Поворот

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС При параллельном переносе все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ При центральной симметрии каждая точка переходит в точку симметричную ей относительно фиксированной точки.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ При осевой симметрии каждая точка фигуры переходит в точку, симметричную ей относительно фиксированной прямой.

ПОВОРОТ При повороте все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол вокруг одной и той же точки – центра поворота.

Создание орнамента с помощью осевой симметрии и параллельного переноса ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Создание орнамента с помощью центральной симметрии и параллельного переноса ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

КАК ПОЛУЧЕН ОРНАМЕНТ? 1 2 3

ОРНАМЕНТ ПОЛУЧЕН: 1 2 3 С помощью параллельного переноса. С помощью осевой симметрии и параллельного переноса. С помощью осевой симметрии и параллельного переноса.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ О.В. Слесарева «Чудесная тайна геометрии». Математика в школе, О.Э. Анацко, Е.М. Ханукович, Бинарный урок. http://ru.wikipedia.org Перельман Я.И. «Занимательная геометрия». http://festival.1september.ru/articles/560632/ Г. Вейль «Симметрия». Б. А. Рыбаков «Язычество Древней Руси».

Макарова Т.И. Симметрия в растительном орнаменте Древней Руси / в книге «Древняя Русь и славяне». - М., 1978. - С. 370.

Орнамент в произведениях древнерусского искусства редко являлся предметом специального исследования. Между тем наблюдение за его развитием позволяет установить определенные закономерности, облегчающие его осмысление. Цель настоящей статьи - проследить формальные закономерности построения орнамента в памятниках искусства XI-XIII вв. и определить причины их стилистической общности. Больше всего этот вопрос был разработан па памятниках письменности.

Палеографом В. Щепкиным были выработаны методологические основы изучения древнерусского орнамента. В. Щепкин заложил основы генетического анализа орнамента, выявляя его исходный элемент (мотив) и характер его изменений (удвоением, делением и т.д.). Далее, он сформулировал механизм создания композиций из отдельных элементов: «комбинация мотивов в орнаменте происходит... на основании инстинктов симметрии и ритма». Наконец, он дал характеристику орнамента в целом, определив, что орнаменты различаются между собой
«1) по содержанию своих мотивов,
2) по способу их сочетания,
3) по характеру своей рамы».
Однако в литературе чаще вспоминают другой аспект работы В. Щепкина - ту классификацию русского книжного орнамента с XI в. до нового времени, которая в основных чертах остается в силе и поныне. Нам представляется, что предложенная В. Щепкиным методика изучении книжного орнамента заслуживает внимания для исследования орнамента в разных областях древнерусского искусства. Попытаемся показать это на примере анализа растительного орнамента Древней Руси.

Н. Щепкин, исходя из перечисленных выше принципов, пришел к выводу, что орнаментация древнейших русских рукописных книг представляет собой известное стилистическое единство. Мысль эта была и в его время уже не новой, но именно В. Щепкину принадлежит попытка вскрыть суть этого единства. Оно, по его мнению, обусловлено тем, что в основе растительного орнамента лежит один и тот же мотив ветка. В тексте В. Щепкин ничего не говорит о происхождении этого мотива, однако на таблице графически показывает, что он образован делением трехлепесткового ростка, который правильнее всего назвать крином 4 (рис. 1, 1, 2), Именно этот элемент лежит в основе растительной орнаментации старейших русских книг: Остромирова Евангелия (1056 г.), Изборника Святослава (1073 г.), Мстислава Евангелия (до 1117 г.), Служебника Вярлмама Хутынсного (XII в.), Юрьевского Евангелия (1119-1123 гг.).

Еще в начале нашего века Н.П. Кондаков отмечал сходство орнаментации древнейших русских миниатюр с перегородчатой эмалью. Это же обстоятельство побудило Б.А. Рыбакова назвать рукописи с орнаментом, близким перегородчатым эмалям, финифтяными. Исследование орнаментации изделий с перегородчатыми эмалями показало, что эта близость заключает в себе нечто большее, чем простое подражание. В основе растительного орнамента и в данном случае оказался тот же элемент крин 8 (рис. 1, 15, 6). Иногда он идентичен крину рукописен, иногда не вполне, по общая схема их рисунка одна: в простейшем варианте это трехлепестковый цветок.

В настоящее время ближневосточное происхождение ростка-криля признается всеми исследователями. Возникновение этого символа в искусство древнейшего очага земледелия вполне логично, как логично его возрождение в земледельческих культурах Европы и Византии. Символика самого образа не исключала попыток (может быть, интуитивных) запечатлеть в нем черты окружающей природы. Но содержание его образа, как символа вечно возрождающихся сил природы, оставалось неизменным. Не будем останавливаться на вопросе, когда этот символ и выражаемая им идея впервые проникли в Восточную Европу. Вероятно, исследование этой проблемы увело бы нас во времена индоевропейской общности. Важнее другое - как эта идея в том конкретном воплощении, которое нам дают древнейшие рукописи, участвовала в построения орнаментальных композиций растительного характера. Этим аспектом проблемы мы и займемся, оставив в стороне вопросы семантики орнамента. В орнаменте крин в простейшем варианте встречается не так уж часто. Как правило, мы имеем дело с его многочисленными модификациями. Здесь мы сталкиваемся со вторым, не менее важным фактором сходства растительного орнамента рукописей и эмалей: в изменениях крина при построении из него композиций наблюдается определенное сходство, какая-то единая программа. Попытаемся проанализировать характер изменений крина сначала на примере рукописного орнамента. Для этого, исходя из сформулированных В. Щепкиным принципов, наметим самую общую его типологию.

Все композиция мы разделяем на два больших отдела: розетку и бордюр. В каждом из них разные группы композиций зависят от тех изменений, которые претерпевает основной элемент растительного орнамента рукописей крин или его производное ветка. Законы симметрии покаpывают, что бесконечное разнообразие орнамента явление кажущееся. Оно сводится к трем основным категориям: розетке, бордюру и сетке, а каждая из них может быть сведена к нескольким видам симметрии.

Рассмотрим основные композиции, образованные крином в растительном орнаменте рукописей, и с точки зрения видов симметрии.

В рукописном растительном орнаменте использованы две категории симметрии: розетка и бордюр. Они дадут два самых крупных деления в нашей типологии. Большинство композиций, составляющих основу богатого ковра растительных узоров рукописных заставок, относятся к розеткам с так называемой зеркальной симметрией. Их характеризует строгое равенство правой и левой половин.

Простейший ее пример демонстрирует крин, заключенный в круг или сердцевидную фигуру (рис. 1, 3, 4). Вторым типом композиции оказывается розетка, в которой подобный крин повторяется четырехкратно (рис. 1,5).

Третий тип композиции обусловлен дальнейшим изменением крина за счет бесконечного усложнения самой схемы его рисунка (рис. 1, 6, 7). При этом зеркальная симметрия постоянно сохраняется. Она присутствует и тогда, когда увеличивается количество лепестков, одни отгибаются вниз, другие отрываются от общего стебля и первоначальный крин с трудом угадывается в пышном цветке (рис. 1, 6); она строго соблюдается и тогда, когда крин сохраняет более строгие очертания, превращаясь в древовидную фигуру с выраженным стволом (рис. 1, 7).

Четвертый тип композиции строится из ветви, образованной делением крина пополам (рис. 1, 7, 2; 8, Л). Из ветвей-полукринов возникают пышные древа, в рисунке которых часто присутствует и крин (рис. 1, 11).

Зеркальная симметрия, одинаково характерная для всех описанных нами четырех групп композиций, придает им уравновешенный, статичный характер.

Рассмотрим теперь вторую категорию орнаментальных композиций рукописей- бордюр, т. е. ленту, состоящую из фигур, вытянутых вдоль одной прямой. Вдоль этой прямой основная фигура как бы переносится бесконечно. В бордюрах рукописного орнамента такой основной фигурой оказывается крин в простейшем (рис. 1, 13) или усложненном виде (рис. 1, 14) или ветвь-полукрин (рис 1, 12). В зависимости от этих основных фигур можно разделить бордюры на два тина. Один из них образует бордюры из повторяющихся или чередующихся кринов разных очертаний (рис. 1, 13, 14)

В другой тип бордюров мы выделяем бесконечный побег, образованный ветвями-полукринами (рис. 1, 12). Ветвь по движению бордюра как бы переносится то вниз, то вверх и создает впечатление беспрерывного движения. Для этого излюбленного в средневековом искусстве мотива, часто называемого бегунком или византийской лозой, характерен строго определенный вид симметрии. Теперь сравним композиции растительного орнамента.

Несмотря на то что на изделиях с перегородчатой эмалью крин получает иногда очертания, для кринов рукописей не свойственные (рис. 1, 18, 20), характер его изменений при построении композиций оказывается тем же, что и в растительном орнаменте рукописей. Здесь мы находим розетки с четырехкратными повторениями крина (рис. 1, 19, 20), усложненные крины древа разных очертаний (рис. 1, 23, 27).

Исключением оказывается розетка с «ветвями-полукринами», не встречающаяся в рукописном орнаменте (рис. 1, 28, 29). С точки зрения теории симметрии они представляют новый ее вид - центральную симметрию, существенно отличную от зеркальной симметрии рассмотренных выше розеток. Для нас интересно отметить, что основным элементом, многократно повторенным в этой розетке, оказывается не симметричный крин, а его половина ветвь, сама по себе асимметричная. Полученная фигура создает влечатление вращения, чем отличается от статичных розеток с кринами (рис. 1, 5; 19, 20).

Бордюры в эмалях дают нам сходные по смыслу и механизму построения композиции. На миниатюрных золотых изделиях нет места бордюру, поэтому с вариантом ленты из розеток с кринами мы встречаемся только дважды (рис. 1). Как мы видим, в растительном орнаменте рукописей и эмалей, помимо сходства основного мотива крина, одинаково сходным оказался и механизм построения композиций. Его обусловливают общие виды симметрии. Исследователь орнамента Узбекистана Л.И. Ремпель пришел к выводу, что наиболее стабильными в орнаменте оказываются не излюбленные мотивы, а «система простейших типических ритмов», образующих как бы его «каркас» 16.

Именно характерные виды симметрии и составили тот «каркас», который оказался одинаковым и в рукописях, и в эмальерном деле. Поэтому можно говорить в данном случае о единой системе орнаментации, поскольку порядок, обусловленный правильным расположением элементов в определенной связи, и означает систему.

Возникает вопрос, в каком отношении находилась рассмотренная система растительной орнаментации в рукописях и эмалях с другими видами искусства Древней Руси? Обратимся для ответа к растительному орнаменту в монументальном искусстве. Это будет логичным потому, что живопись и скульптура представляют вершину в развитии древнерусского орнамента в целом. Немалое значение имеет также и то, что она издана, изучена и поэтому обозрима. Кроме того, те памятники, которые мы возьмем для сравнения: мозаики и фрески Софии Киевской и настенную скульптуру трех соборов Владимиро-Суздальской Руси - Дмитриевского, Рождественского и Георгиевского дают нам возможность проследить эволюцию растительного орнамента на Руси от XI до XIII в. Выбор этот обусловлен и рамками статьи, так как орнамент в узловых памятниках монументального искусства неминуемо должен отразить общие закономерности развития орнамента на Руси.

Итак, обратимся к растительному орнаменту, который выполнен в технике мозаики и фрески в интерьере Софии Киевской, и разберем его структуру, следуя методу, каким пользовались выше.

Простейшим элементом и здесь оказывается крин, по несколько иных очертаний (рис. 1, 32, 33). Он образует розетку, подобную по композиции розеткам в рукописях и эмалях (рис. 1, 34, 35, 46). То же композиционное сходство мы наблюдаем и часто своеобразных по рисунку пышных кринах (рис. 1, 36, 37, 47, 48), всегда остающихся фигурами в зеркальной симметрии. По тому же принципу образованы древа из ветвей (рис. 1, 55, 59, 49, 50).

Наконец, на фресках встречается и центральная симметрия полукринов, создающая впечатление стремительного вращения (рис. 1, 51).
Знакомые композиционные решения дают и бордюры в мозаиках и фресках Софии. В усложненном рисунке лозы легко угадывается более ясный бегунок рукописей (рис. 1, 40, 52). Помимо уже знакомых композиций из чередующихся в горизонтальной ленте кринов (рис. 1, 41, 42), встречается здесь и вертикальная лента кринов (рис. 1, 55). Это единственно новая с точки зрения симметрии композиция, которая не встречалась ни в рукописях, ни в эмалях. Ее композиционная близость с горизонтальными лентами несомненна. Возникновение такого решения бордюра легко объяснимо: его вертикальная лента должна была украшать громадные плоскости интерьера храма, в мелких вещах и небольшом рисунке для нее нет места.

Итак, не во всех вариантах крин мозаик и фресок Софии совершенно идентичен кринам рукописей и эмалей. Иногда он напоминает листья аканта, иногда крылатые пальметты, но при этом остается неизменным характер их вариантов, тот каркас, который так четко наметился в финифтяном орнаменте. Это и позволяет утверждать, что система ранней орнаментации рукописей, эмалей и интерьера Софии Киевской едина.

Если сопоставить эту систему орнаментации с растительным орнаментом, покрывающим стены храмов Владимиро-Суздальской Руси, то простейшим его элементом и здесь оказывается крин. В отдельных случаях он повторяет знакомые трехлепестковые фигуры (рис. 1, 71), чаще же принимает очертания лиственного дерева лесной полосы (рис. 1, 54, 62, 70). Наличие своеобразных вариантов (рис. 1, 64, 73) все же не нарушает типологической близости его с кринами, украшавшими заставку рукописи, золотой колт с эмалью или роспись Софии. Однако розетка с четырехкратно повторенным крипом излюбленная в этих многоцветных узорах к белокаменной пластике не встречается. Очевидно, в трудоемкой резьбе по камню мастера просто избегали мелких форм. Может быть, поэтому эволюция крина здесь пошла как будто по другому пути. Росток превращается в пышный крин (рис. 1, 65, 67) или древо, в рисунке которого многократно повторяется крин (рис. 1, 56, 66). Но самой излюбленной композицией стало разросшееся многоярусное древо, симметрично раскинутые ветви которого заканчиваются то кринами, то полукринами (рис. 1, 78). Упрощенные его варианты (рис. 1, 57, 76, 77) часто повторяют уже встречавшиеся нам древа (рис. 1, 11,26, 39). Во всех этих случаях строго соблюдается принцип зеркальной симметрии, и именно этим многометровые древа владимиро-суздальских храмов родственны кринам рукописей и эмалей.

Больше сходства в бордюрах. Вьющийся побег здесь не частый сюжет, но все же встречается и в простом (рис. 1, 58), и в усложненном вариантах (рис. 1, 79). Зато бордюры другой группы, состоящие из чередующихся или буквально повторяющихся кринов, чрезвычайно разнообразны. Одни из них очень близки бордюрам рукописным (рис. 1, 81), другие представляют как бы их вертикальный вариант (рис. 1, 55, 68), а некоторые усложнены дополнительными фигурами и более вычурны по рисунку самого крина (рис. 1, 80). Композиционное их сходство с рассмотренными ранее бордюрами несомненно.

Итак, на протяжении трех столетий, с XI по XIII в., в растительном орнаменте, украшавшем рукописные книги, драгоценные изделия с перегородчатой эмалью, величественный интерьер главного храма Руси Софии Киевской и знаменитые белокаменные церкви Владимиро-Суздальской земли, устойчиво сохраняется тяга к излюбленным композициям. Ее не нарушают вариации в рисунке символа древа жизни крина, продиктованные и особенностями техники, и многочисленными импульсами, которые получало художественное творчество древнерусских мастеров из разных уголков цивилизованного мира. Каркас создаваемых их фантазией композиций оставался в сущности неизменным. Он был обусловлен определенным набором утвердившихся в разных областях искусства Руси видов симметрии.

Исследование орнаментов народов Сибири, проделанное С.В. Ивановым, показало, что такой набор излюбленных видов симметрии оказывается у каждого парода своим, стабильным на протяжении многих столетий.

В растительном орнаменте городского искусства Руси наиболее постоянным оказался тоже обусловленный законами симметрии композиционный каркас и простейший элемент крин, который у разных народов символизировал вечные силы природы.

Б.Л. Рыбаков в своих работах о декоративном искусстве Древней Руси убедительно показал, что оно было «удивительно единым по своему духу и образам». Орнамент, пронизавший все стороны быта и одинаково царивший во всех областях искусства, во многом способствовал этому единству, «определяя их общий стиль и эпоху».

Мы попытались вскрыть основы этого единства, которое стойко сохранялось в растительном орнаменте «женского узорочья, орнаментике книг и декора архитектуры» на протяжении трех ярчайших столетий русской истории.

Выполнили:
Горбунова Наталья Александровна,
Криулина Анна Александровна,
учащиеся группы Л-21

Руководитель:
Мильчакова Татьяна Михайловна,
преподаватель математики
Киров
2007

1. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ТЕМЫ.
В настоящее время наблюдается снижение интереса к математике у студентов. Это вызвано недостаточной насыщенностью учебного содержания прикладными аспектами, которые выявляли бы связь математики с окружающей действительностью. Сегодня, для того, чтобы конструировать модели различных процессов, создавать хорошие компьютерные программы, человеку необходимо широко мыслить, видеть проявления математики в самых разных областях и уметь их использовать в своей практической деятельности. Поэтому актуальным вопросом сегодня является выявление взаимосвязей как внутри самой математики, так и между математикой и другими областями знаний.
Одной из наиболее благоприятных тем курса математики, изучение которой может способствовать интеграции знаний, а также эстетическому воспитанию, развитию творческих и интеллектуальных способностей студентов, является тема «Симметрия». Занятия, связанные с симметрией, могут иметь практическую направленность и отражать межпредметную интеграцию.
Симметрию, пропорциональность, периодичность человек видит везде: в природе, в музыке, в архитектуре, в живописи. На современном этапе развития науки принцип симметрии охватывает все новые и новые области. Симметрию, и связанную с ней тему пропорции можно отнести к одним из основных закономерностей математического характера в устройстве Вселенной. Явление симметрии можно рассматривать в абсолютно разных областях нашей жизни. И знание ее законов в одной области может позволить сделать выводы, касающиеся предметов из другой области. Все это может стать дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математических дисциплин, а также понимания и осознания положения об универсальности математических знаний.

2. ЦЕЛЬ И КРАТКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ.

Целью нашей работы является расширение представлений студентов о понятии «Симметрия» и формирование умения выявлять принцип симметрии, различные ее виды в явлениях окружающей действительности, в частности, в древнерусских орнаментах.
Задачи работы состоят в следующем:
- обобщить и расширить представление о симметрии в математике;
- расширить представления о сферах применения математики (на примерах проникновения симметрии в искусство, в частности, в архитектуру);
- научить видеть различные проявления симметрии в искусстве;
- расширить сферу математических знаний студентов (виды симметрии);
- расширить общекультурный кругозор посредством знакомства с образцами искусства, в частности, с шедеврами древнерусского зодчества, расположенными в современном Кирове.

3. ИЗ ИСТОРИИ ОРНАМЕНТА.

Геометрический орнамент возник на заре человеческой культуры. Что могло быть проще прямых или волнистых линий, кругов, клеток, крестов? Именно эти мотивы украшают стенки глиняных сосудов первобытных людей, древнейшие изделия из камня, металла, дерева и кости. Для древнего человека они были условными знаками, с помощью которых он мог выражать свое понятие о мире. Прямая горизонтальная линия означала землю, волнистая – воду, крест – огонь, ромб, круг или квадрат – солнце. Из комбинаций тех же простейших элементов составляли более сложные знаки – символы. Нередко они играли роль оберега, их чертили как заклинание. Много труда и сил положили археологи и этнографы, расшифровывая древние символы.
В вышивку большая часть геометрических узоров также пришла из глубокой древности, когда многие из них имели определенный символический смысл. Вероятно, когда-то не было произвольным и расположение орнаментов на предметах.
То же самое мы видим и в народной архитектуре: декоративные элементы располагаются на воротах, вокруг окон; то или иное освящённое изображение увенчивало наивысшую точку дома – шипец крыши.
Вышивкой украшали гладкую поверхность полотна, а на ней были возможны лишь несколько вариантов композиций орнаментов – простое чередование фигур и ряды, расположенные по вертикали, горизонтали и диагонали. Народная смекалка и здесь нашла выход в построении орнамента не только вширь, но и в глубь, создав многоплановые изображения в одной плоскости. При повторении одного геометрического мотива промежутки фона между фигурами также приобретают вид узора. Тогда весь орнамент кажется нам как бы двухмерным: узор и фон становятся равноправными и могут меняться местами. Такой прием особенно характерен для вышивок, исполненных в технике цветной перевити.
Среди различных мотивов можно выделить следующие, характерные для русского орнамента.

 Мотив «обереговых» знаков, которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища
 Мотив плетёнки, характерный для так называемых русальских браслетов, которые трактовались как знак воды и царства подземного владыки Переплута
 Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения преставления о великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования
 Мотив древа жизни
Большое место орнамент занял в народном художественном ремесле. Один из крупнейших чешских исследователей народной культуры Йозеф Выдра выделяет четыре главные функции орнамента:
1) конструктивную — она поддерживает тектонику предмета и влияет на его пространственное восприятие;
2) эксплуатационную — она облегчает пользование предметом;
3) репрезентационную — она увеличивает впечатление ценности предмета;
4) психическую — она действует на человека своим символизмом и, таким образом, волнует или успокаивает его.
Древнейшие мотивы, изображавшие подобие пиктограммы (квадрат, ромб, круг) являлись условными символами солнца и считались священными изображениями. Кроме геометрического, в орнаменте Древней Руси, очень часто можно встретить различные древние языческие сюжеты. Например, женская фигура олицетворяла богиню земли, плодородия; водоплавающие птицы — водную стихию. В языческом искусстве древо жизни воплощало силу живой природы, оно изображало божественное древо, от которого зависело произрастание трав, хлебных злаков, деревьев и «рост» самого человека. Очень часто можно встретить сюжеты магических календарных обрядов, которые связанны с основными этапами сельскохозяйственных работ.
Из всего богатства мотивов орнаментального искусства Древней Руси, все-таки можно выделить самый популярный мотив – растительный. Растительный мотив присутствует в основе всех орнаментов Древней Руси. Самый распространенный из них мотив вьющейся лозы с крупными цветами, заключенными в круги, образованные отростками.
Орнаментальное искусство Древней Руси играет очень большую роль как в развитии декоративно-прикладного искусства на Руси, так и искусства в целом. Орнамент – это уникальный инструмент, который достоин, существовать как самостоятельное направление искусства.

4. ВИДЫ СИММЕТРИИ.

Симметрия – это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самим собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях.
В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные (например, розетки) и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном (волнистая линия, меандр и т д), в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

4.1 Зеркальная симметрия.
Наиболее распространенный вид симметрии в орнаментах. Предмет или фигура делятся на две половины плоскостью так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Можно встретить зеркальную симметрию и в изобразительных композициях вовсе не орнаментального характера. Особенно присущее искусствам древних народов стремление придавать изображениям устойчивую неподвижность, воплощать в них не что-то переходящее, временное, но вечное и неизменное, побуждало прибегать к строгой симметрии, уравнивать правую и левую часть композиции, подобно чашкам весов. Зеркальная симметрия способствует впечатлению уравновешенности и покоя, так как она делает полярные направления – в обе стороны от плоскости симметрии – равноценными для нашего взгляда. Она уравнивает его возможности двигаться от этой плоскости в ту или другую сторону. И в орнаменте применение зеркальной симметрии связано с тем же ощущением равновесия и покоя.

4.2 Осевая симметрия.
Принципиально иной вид симметрии присущ тем фигурам, которые совмещаются с самими собой без помощи зеркального отражения, посредством поворота вокруг некой оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Это осевая симметрия, а число таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выражаемый целым числом порядок – от второго до бесконечности (первый порядок означает совмещение фигуры с самой собой лишь в одном, первоначальном её положении, такая фигура ассиметрична). Фигур с осевой симметрией может быть бесчисленное множество, но все они весьма четко организованы, их равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точки, через которые проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. Все углы поворотов, при которых фигура очередной раз совпадает с собой, должны быть равны, иначе полного совмещения не произойдет, расстояния от однохарактерных точек ее контура до центра также должны быть одинаковыми. Осевая симметрия нередко встречается в природе и широко используется в орнаментах: это симметрия цветка и орнаментального орнамента – розетки. Если фигура имеет только осевую симметрию и никакой другой, то она производит впечатление беспокойной подвижности, выражает интенсивное вращательное движение. Но чаще нам приходиться видеть розетки, имеющие не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии. Подобные формы гораздо уравновешеннее, спокойнее: вращение правое здесь как бы уравновешивается равноценным ему движением левым. Уравновешена и потому статична такого рода розетка и внутри себя, поскольку здесь отсутствует ассиметрия не только в целом, но и в каждом отдельно взятом элементе ее структуры.
Из сказанного может быть ясно, почему именно мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяют организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии. В. А. Фаворский говорил, что розетки есть формы «фасовые» - как «глаза». Это значит, что они обращены от поверхности к зрителю, а не вдоль нее, и потому более статичны, не участвуют в ритмическом беге узора. Поэтому именно розетки могут придать орнаментальной поверхности своеобразную активность в третьем, перпендикулярном к ней измерении.

4.3 Параллельный перенос.
Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней. На практике линейный, ленточный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломанной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.
Линейный бордюр – один из распространеннейших и важных видов орнамента. Он постоянно применяется там, где нужно ограничить какую-либо поверхность, замкнуть её или же разделить, обособить поверхности с различным художественным качеством.
Бордюр, кроме симметрии переноса, может так же обладать (или не обладать) и другими элементами симметрии. Они возникают в тех случаях, когда тот или другой вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента, определенным образом ориентированному по отношению к оси.
5. ОРНАМЕНТЫ КИРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

5.1 Зеркальная симметрия.

Орнамент на ротонде Александровского сада

5.3 Параллельный перенос
Решетка сквера около стадиона Динамо

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ОРНАМЕНТОВ ГОРОДА КИРОВА

В ходе нашего исследования мы выявили, что в орнаментах нашего города нет какого-то определенного преобладающего вида симметрии. В большинстве орнаментов соединены зеркальная и осевая симметрии. Из этого мы можем сделать вывод, что архитекторы города придерживались уравновешенности и гармонии в его оформлении. Мы также заметили, что многие орнаменты состоят из кругов, ромбов, что в древности символизировало солнце, солнечный свет.
Большинство орнаментов расположены на малых архитектурных формах: на ротондах, арках, решетках. По нашему предположению на решетках орнаменты использовались в качестве оберегов. Они как бы охраняют территорию, которую ограждает эта решетка.
7. САМООЦЕНКА РАБОТЫ.

Мы считаем, что достигли цели нашего проекта. С помощью этой работы студенты могут расширить свои знания по теме «Симметрия» и сформировать умения выявлять виды симметрии в пространстве.
В ходе работы мы столкнулись с некоторыми препятствиями, например в поиске орнаментов города Кирова, так как не все они хорошо сохранились или дошли до наших времен. Также мы узнали много нового из истории орнамента: какое значение придавалось орнаменту в древности. Мы научились верно различать виды симметрии в окружающем мире, непосредственно в орнаментах.
Нам было интересно выполнять эту работу, несмотря на трудности, изучать историю орнамента, находить его на фасадах зданий и на решетках нашего города.

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Афанасьев А. Н. Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.
2. Климова Н. Т. Народный орнамент в композиции художественных изделий. – М.: Изобразительное искусство, 1993.
3. Рыбаков Б. А. Язычество Древней Руси. – М.: Наука, 1988.
4. Фокина Л. В. Орнамент
5. Тарасов Л. В. Этот удивительно симметричный мир: пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1982.
6. Тинский А. Г. Планировка и застройка города Вятки в 17-19 веках. - Киров, Волго-Вятская кн. изд-во, Кировское отд., 1976.