Линии токов жидкости и вихревые линии. Плавно и резко изменяющееся движение

Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый замкну­тый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.

В любой точке трубки тока, т. е. боковой поверхности струйки, векторы скорости направлены по касательной, а нормальные к этой поверхности составляющие скорости отсутствуют, следовательно, при установившемся движении ни одна частица жидкости, ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроницае­мой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоя­тельный элементарный поток.

Рис 1.12 Рис 1.3

Линии тока Трубка тока

Потоки конечных размеров будем сначала рассматривать как совокупность элементарных струек, т. е. будем предполагать течение струйным. Из-за различия скоростей соседние струйки будут сколь­зить одна по другой, но не будут перемешиваться одна с другой. Живым сечением, или просто сечением потока, называется в общем случае поверхность в пределах потока, проведенная нормально к ли­ниям тока. Далее будем рассматривать в потоках такие участки, в которых струйки можно считать параллельными и, следовательно, живые сечения - плоскими.

Различают напорные и безнапорные течения жидкости. Напор­ными называют течения в закрытых руслах без свободной поверхно­сти, а безнапорными - течения со свободной поверхностью. При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное, при безнапорном - постоянное (на свободной поверхности) и чаще всего атмосферное. Примерами напорного течения могут служить течения в трубопроводах с повышенным (или пониженным) давлением, в гид­ромашинах или других гидроагрегатах. Безнапорными являются течения в реках, открытых каналах и лотках.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое течение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерить в единицах объёма, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объёмный Q, весовой Q G и массовый Q m расходы.

Для элементарной струйки, имеющий бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объёмный(м 3 /с), весовой(Н/с) и массовый(кг/с) расходы

;

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек.

Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость

v ср =Q/S, откуда Q= v ср S.

Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для устано­вившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:

dQ=v 1 dS 1 =v 2 dS 2 =const (вдоль струйки)

Это уравнение называется уравнением объемного расхода для эле­ментарной струйки.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости.

Вихревое движение. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки. Теорема Стокса. Формула Био-Савара.

Если в какой-то области пространства , это означает, что частицы жидкости перемещаются не только поступательно, но при своём движении вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через полюс частицы. Такое движение жидкости называется вихревым, при этом мгновенная угловая скорость вращения жидкой частицы Векторы угловых скоростей бесконечно малых объёмов жидкости в различных точках потока образуют векторное поле угловых скоростей (или векторное поле вихрей вектора скорости ). Векторное поле угловой скорости или ротора вектора скорости (вихря) характеризуется следующими геометрическими образами: вихревая линия и вихревая трубка.

Вихревая линия – линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени направлена по вектору ротора скорости, т.е. || , где - элемент вихревой линии. Принимая во внимание, что = получаем уравнение вихревой линии:

(4.1)

где - проекции вектора угловой скорости на оси координат. При установившемся движении вихревые линии в различные моменты времени совпадают друг с другом.

Вихревая трубка – совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, не являющуюся вихревой линией.

Вихревой шнур – часть жидкости, ограниченная вихревой трубкой.

2-я теорема Гельмгольца - Поток вектора ротора скорости через любое сечение вихревой трубки в данный момент времени одинаков вдоль всей трубки:

(4.2)

Поток вектора вихря является величиной, характерной для вихревой трубки. Его называют интенсивностью вихревой трубки:

(4.3)

Для элементарной вихревой трубки соотношение (4.3) можно записать следующим образом:

(4.4)

Из выражения (4.4) вытекают два следствия:

1. Сечение вихревой трубки не может стать равным нулю ни в одной точке внутри жидкости.

2. Вихревые трубки не могут начинаться и заканчиваться сечением конечных размеров внутри жидкости.

Вихревые трубки либо образуют замкнутые кольца, либо начинаются и заканчиваются на ограничивающих жидкость поверхностях или свободной поверхности.

Теорема Стокса : Интенсивность вихревой трубки равна циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающему:

(4.5)

Если в пространстве имеется несколько вихревых трубок с интенсивностями , а в остальной области пространства вне вихревых трубок , то циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру, однократно охватывающему вихревые трубки, равна алгебраической сумме интенсивностей этих трубок:

(4.6)

Формула Био-Савара – позволяет рассчитать поле скоростей в окрестности заданной вихревой нити L (вихревого шнура) с циркуляцией (интенстивностью) Г. Скорость, индуцированная в точке М элементом вихревой нити по формуле Био-Савара равна:

(4.7)

где (см. рис.) - элемент вихревого шнура, - радиус-вектор, направленный из начала элемента вихревого шнура в точку М , - угол между и .

Вектор направлен перпендикулярно векторам и (по правилу векторного произведения векторов). Для нахождения скорости , индуцированной всем вихревым шнуром в точке М, необходимо провести интегрирование выражения (4.7) по всей длине вихревого шнура.

За редким исключением, движение жидкости или газа почти всегда бывает вихревым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе, когда скорость распределяется по параболическому закону, течение в пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное течение. Если обтекание тела происходит при больших числахRe , завихренность порождается в пограничном слое, а затем сносится в основной поток, где формируются отчетливо видимые вихри, некоторое время эволюционирующие и сохраняющие свою индивидуальность. Например, за плохообтекаемым телом образуется регулярная вихревая дорожка Кармана. Вихреобразование в следе за плохообтекаемым телом определяет основную часть лобового сопротивления тела, а образование вихрей у концов крыльев летательных аппаратов вызывает дополнительное индуктивное сопротивление .

Основы теории подобия. Теоремы подобия .

Критерии подобия. Критерии Рейнольдса, Эйлера, Фруда, Струхала, Маха. Приближенное моделирование.

Несмотря на высокий уровень развития современной гидромеханики, далеко не все задачи могут быть решены теоретически с достаточной для практики точностью и надежностью. Значительная часть гидромеханических проблем и практических задач решается до настоящего времени экспериментальным путем. Основные экспериментальные исследования проводятся на модельных установках, где могут использоваться различные рабочие тела, а сами испытания проводятся при скоростях и параметрах жидкости, отличающихся от натурных. Смысл моделирования в том, чтобы по результатам опытов на модели судить о явлениях, происходящих в натурных условиях. Поэтому при постановке эксперимента необходимо решить две задачи:

Как должна быть изготовлена модель испытуемого объекта;

В основе моделирования лежит понятие о подобии сравниваемых течений. Два течения подобны, если по характеристикам одного можно получить характеристики другого посредством простого умножения характеристик первого на некоторые постоянные коэффициенты, называемые коэффициентами подобия. В гидромеханике различают геометрическое, кинематическое, динамическое и тепловое подобие.

Два тела геометрически подобны, если сходственные отрезки тел пропорциональны и углы между сходственными отрезками равны между собой:

(12.1)

где – длины сходственных отрезков, – углы между сходственными отрезками, – линейный масштаб моделирования. Линейный масштаб выбирается из практических соображений. Если выбрать в качестве единиц измерения характерные сходственные размеры и натуры и модели, то любые линейные размеры можно выразить в долях от этих величин:

Можно показать, что , т.е. безразмерные координаты сходственных точек в натуре и модели одинаковы.

Потоки кинематически подобны, если скорости в сходственных точках пропорциональны и углы между векторами скорости и осями координат одинаковы. Пусть потоки геометрически подобны. Если отношения

(12.3)

одинаковы для любой пары сходственных точек, то потоки кинематически подобны ( – масштаб моделирования по скорости). Из кинематического подобия потоков вытекает геометрическое подобие их линий тока.

Для динамического подобия необходима пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы, и равенство углов между соответствующими векторами сил и осями координат. Пусть и - силы, действующие на сходственные элементы в натуре и модели. Если

(12.4)

Есть величина постоянная для любой пары сходственных элементов, то потоки динамически подобны. Безразмерные значения сил в сходственных точках одинаковы. Кинематическое и динамическое подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия. Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобия, то ее называют группой механически подобных явлений. Механическое подобие частный случай общего подобия физических процессов.

Для механически подобных потоков безразмерные координаты сходственных точек, безразмерные скорости и безразмерные силы в сходственных точках одинаковы. Безразмерные поля физических параметров механически подобных потоков одинаковы. Гидромеханическое явление определяется полями характеризующих его физических величин При подобии явлений (систем) поля соответствующих параметров двух систем подобны в пространстве и во времени. Если потоки подобны, то характеристики натурного течения получаются из характеристик модельного течения умножением их на соответствующие коэффициенты подобия (масштабы моделирования).

Для полного подобия двух течений необходима пропорциональность всех величин, описывающих процесс. Практически ограничиваются частичным подобием некоторых наиболее существенных для данного явления характеристик.

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Опирается на учение о размерности физических величин и служит основой моделирования. Предметом теории подобия является установление критериев подобия физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений.

В основе теории подобия лежат следующие теоремы:

Похожая информация.

Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω 0, т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называетсявихревым (например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем ω0 (∂w / ∂n 0).

Линия называетсявихревой , когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скоростиω. Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношенияωdl = 0 и имеет вид

Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривойC (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

Потоком вектора угловой скоростиJ  через поверхностьназывают интеграл:

где ω n – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности .

Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю . Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул (1.11) получим, с одной стороны, что

а

с другой, – что если поверхностьзамкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),

где V – объем, ограниченный поверхностью .

Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка

Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями ( 1 и  2) и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений  1 и 2 , получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называютинтенсивностью (или напряжением )вихревой трубки .

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим

ω 1 n  1 = ω 2 n  2 = ω in  i = const.

На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае ω , что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии .

Циркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Тогда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса:интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру , один раз опоясывающему вихревую трубку :

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей (необходимое для вычисления rotw ) и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое (w = 0, rotw = 0), т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю (Г = 0). Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяетэффект действия вихрей на поле скоростей в потоке жидкости.

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вих ревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора Ω, а плотность их в любой области пропорциональна величине Ω. Из уравнения (II) дивергенция Ω всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7(вып.5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля В: они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду v, вы можете вычислить Ω. Зная v, можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью v. А с новым значением Ω можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину v. (Точно как в задаче о нахождении поля В по данным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто закон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым линиям (фиг. 40.13,а). Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости будет находиться где-то в другом месте. Вообще говоря, он будет иметь форму цилиндра с другим диаметром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение Ω на площадь цилиндра А будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без танген циальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции / на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности Ω. Момент же инерции цилиндра пропорционален тr 2 . Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что

Но масса будет одной и той же (M 1 = M 2 ), а площадь пропорциональна R 2 , так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости измениться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14. Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

Кольца дыма (фиг. 40.15,а) — это просто баранка из вихревых линий. Поскольку Ω=Vx v, то эти вихревые линии описывают также циркуляцию v (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направлении, составляющем с направлением Ω правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внут ренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед. Поскольку линии Ω переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

Здесь необходимо указать на одну серьезную трудность. Как мы уже отмечали, уравнение (40.90) говорит, что если первоначально завихренность Ω была равна нулю, то она всегда останется равной нулю. Этот результат — крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение Ω равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя. Однако в нашем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы не ударили по барабану, внутри него v = 0 и Ω = 0.) Все знают, что, загребая веслом, можно создать в воде вихри. Несомненно, для полного понимания поведения жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды.

Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотрении потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.11), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела. В нашей теории скорость на поверхности твердого тела могла иметь любое значение, зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жидкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости должна на поверхности твердого тела сходить на нуль,— экспериментальный факт. Следовательно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без нее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.

Мы уже выписывали общие уравнения потока несжимаемой жидкости при наличии завихренности:

Физическое содержание этих уравнений было на словах описано Гельмгольцем в трех теоремах. Прежде всего представьте себе, что мы вместо линий потока нарисовали вихревые линии. Под вихревыми линиями мы подразумеваем линии поля, которые имеют направление вектора , а плотность их в любой области пропорциональна величине . Из уравнения (II) дивергенция всегда равна нулю [вспомните гл.3,§ 7(вып.5): дивергенция ротора всегда нуль]. Таким образом, вихревые линии подобны линиям поля : они нигде не кончаются и нигде не начинаются и всегда стремятся замкнуться. Формулу (III) Гельмгольц описал словами: вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Это означает, что если бы вы пометили частички жидкости, расположенные на некоторой вихревой линии, например окрасив их чернилами, то в процессе движения жидкости и переноса этих частичек они всегда отмечали бы новое положение вихревой линии. Каким бы образом ни двигались атомы жидкости, вихревые линии движутся вместе с ними. Это один из способов описания законов. Он также содержит и метод решения любых задач. Задавшись первоначальным видом потока, скажем задав всюду , вы можете вычислить . Зная , можно также сказать, где будут вихревые линии немного позднее: они движутся со скоростью . А с новым значением можно воспользоваться уравнениями (I) и (II) и найти новую величину . (Точно как в задаче о нахождении поля по данным токам.) Если нам задан вид потока в какой-то один момент, то в принципе мы можем вычислить его во все последующие моменты. Мы получаем общее решение невязкого потока.

Мне бы хотелось показать вам, как (по крайней мере частично) можно понять утверждение Гельмгольца, а следовательно, формулу (III). Фактически это просто закон сохранения момента импульса, примененный к жидкости. Представьте себе маленький жидкий цилиндр, ось которого параллельна вихревым линиям (фиг. 40.13,а). Спустя некоторое время, тот же самый объем жидкости будет находиться где-то в другом месте. Вообще говоря, он будет иметь форму цилиндра с другим диаметром и находиться в другом месте. Он может еще иметь другую ориентацию (фиг. 40.13,б). Но если изменяется диаметр, то длина тоже должна измениться так, чтобы объем остался постоянным (поскольку мы считаем жидкость несжимаемой). Кроме того, поскольку вихревые линии связаны с веществом, их плотность увеличивается обратно пропорционально уменьшению площади поперечного сечения цилиндра. Произведение на площадь цилиндра будет оставаться постоянной, так что в соответствии с Гельмгольцем

Фиг. 40.13. Группа вихревых линий в момент (а) и те же самые линии в более поздний момент (б).

Теперь обратите внимание, что при нулевой вязкости все силы на поверхности цилиндрического объема (или любого объема в этом веществе) перпендикулярны поверхности. Силы давления могут заставить его изменить форму, но без тангенциальных сил величина момента количества движения жидкости внутри измениться не может. Момент количества движения жидкости внутри маленького цилиндра равен произведению его момента инерции на угловую скорость жидкости, которая пропорциональна завихренности . Момент же инерции цилиндра пропорционален . Поэтому из сохранения момента количества движения мы бы заключили, что

.

Но масса будет одной и той же , а площадь пропорциональна , так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости момент количества движения элемента жидкости измениться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14. Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резиновым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает кольцевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело утверждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоящей в 3-6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной скоростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предварительно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

Фиг. 40.14. Распространяющиеся вихревые кольца.

Кольца дыма (фиг. 40.15,а) - это просто баранка из вихревых линий. Поскольку , то эти вихревые линии описывают также циркуляцию (фиг. 40.15,б). Для того чтобы объяснить, почему кольцо движется вперед (т. е. в направлении, составляющем с направлением правый винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличивается к внутренней поверхности кольца, причем скорость внутри кольца направлена вперед. Поскольку линии переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью . (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

Фиг. 40.15. Движущееся вихревое кольцо (а) и его поперечное сечение (б).

Здесь необходимо указать на одну серьезную трудность. Как мы уже отмечали, уравнение (40.90) говорит, что если первоначально завихренность была равна нулю, то она всегда останется равной нулю. Этот результат - крушение теории «сухой» воды, ибо он означает, что если в какой-то момент значение равно нулю, то оно всегда будет равно нулю, и ни при каких обстоятельствах создать завихренность нельзя. Однако в нашем простом опыте с барабаном мы могли породить вихревые кольца в воздухе, который до того находился в покое. (Ясно, что пока мы не ударили по барабану, внутри него и .) Все знают, что, загребая веслом, можно создать в воде вихри. Несомненно, для полного понимания поведения жидкости следует перейти к теории «мокрой» воды.

Другим неверным утверждением в теории «сухой» воды является предположение, которое мы делали при рассмотрении потока на границе между ним и поверхностью твердого предмета. Когда мы обсуждали обтекание потоком цилиндра (например, фиг. 40.11), то считали, что жидкость скользит по поверхности твердого тела. В нашей теории скорость на поверхности твердого тела могла иметь любое значение, зависящее от того, как началось движение, и мы не учитывали никакого «трения» между жидкостью и твердым телом. Однако то, что скорость реальной жидкости должна на поверхности твердого тела сходить на нуль, - экспериментальный факт. Следовательно, наши решения для цилиндра и с циркуляцией, и без нее неправильны, как и результат о создании вихря. О более правильных теориях я расскажу вам в следующей главе.