1. Идеальный газ, изопроцессы.

2. Уравнение Клапейрона-Менделеева.

3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

4. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

5. Число степеней свободы молекулы.

6. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.

7. Теплоемкости (удельная, молярная).

8. Смесь газов. Закон Дальтона.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Законы идеальных газов

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева)

где m – масса газа; M – его молярная масса; R – универсальная газовая постоянная; n=m/M – количество молей вещества; T – абсолютная температура.

Закон Дальтона

P=P 1 +P 2 +. . .+P n ,

где Р – давление смеси газов; P i – парциальное давление i-го компонента смеси; n – число компонентов смеси.

Молярная масса смеси газов

M=(m 1 +m 2 +. . . +m k)/(n 1 +n 2 +. . .+ n k),

где m i – масса i-го компонента смеси; n i – количество вещества i-го компонента смеси; к – число компонентов смеси.

Массовая доля i-й компоненты смеси газов

где m i – масса i-го компонента смеси; m – масса смеси.

Молекулярно-кинетическая теория газов (МКТ)

Количество вещества

где N – число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т.п.); N A – число Авогадро; m – масса газа; M– молярная масса.

Молярная масса вещества

Масса одной молекулы вещества

Количество вещества смеси

где n i , m i – количество вещества и масса i-го компонента смеси; к – число компонентов смеси.

Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы

где N – число частиц системы; V – ее объем; r – плотность вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

где P – давление газа; n – его концентрация; <e П > – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы

где k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на все возбужденные степени свободы молекулы

где i – число возбужденных степеней свободы молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

Молярная C и удельная с теплоемкости газа связаны между собой соотношением

где M – молярная масса газа.

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении равны соответственно

C v =iR/2; C p =(i+2)R/2,

где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная.

Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

Уравнение Майера для молярных теплоемкостей

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Давление 1 мм рт. ст.=133 Па.

Давление 1 атм=760 мм рт. ст.

Молярная масса воздуха M =29×10 -3 кг/моль.

Молярная масса аргона M =40×10 -3 кг/моль.

Молярная масса криптона M =84×10 -3 кг/моль.

Нормальные условия: P=1,01×10 5 Па, Т=273 К.

Постоянная Больцмана k=1,38×10 -23 Дж/К.

Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль×К).

Число Авогадро N A =6,02×10 23 моль -1 .

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Каковы основные положения термодинамического и молекулярно-кинетического (статистического) методов изучения макроскопических систем?

2. Назовите основные параметры термодинамической системы.

3. Дайте определение единицы термодинамической температуры.

4. Запишите уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона).

5. Каковы физический смысл, размерность и численное значение универсальной газовой постоянной R?

6. Сформулируйте законы изопроцессов идеального газа.

7. Дайте определение единицы количества вещества 1 моль.

8. Сколько молекул содержится в моле любого вещества?

10. На чем основан вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для давления? Сравните это уравнение с уравнением Менделеева-Клапейрона.

11. Получите соотношения р=nkT и =3kT/2.

12. Каковы физический смысл, численное значение и единицы измерения постоянной Больцмана k?

13. Каково содержание одного из основных положений статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы?

14. Считая, что средняя энергия молекулы идеального газа =ikT/2, где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы, получите выражение для внутренней энергии произвольной массы идеального газа.

15. Что такое удельная и молярная теплоемкости идеального газа? Почему для идеального газа существуют два вида теплоемкостей?

16. Получите уравнение Майера для молярных теплоемкостей.

17. Запишите закон Дальтона и объясните его физический смысл. Какие физические величины, характеризующие смесь, можно складывать?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(5.20) Чему равна плотность r воздуха в сосуде, если сосуд откачан до наивысшего разрежения, создаваемого современными лабораторными способами (P=10 -11 мм рт. ст.)? Температура воздуха равна 15 0 С.

Ответ: r=1,6×10 -14 кг/м 3 .

2.(5.21) m=12 г газа занимают объем V=4×10 -3 м 3 при температуре t=7 0 С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна r=6×10 -4 г/см 3 . До какой температуры нагрели газ?

Ответ: Т=1400 0 К.

3.(5.28) В сосуде находится m 1 =14 г азота и m 2 =9 г водорода при температуре t=10 0 C и давлении Р=1 МПа. Найти: 1) молярную массу смеси, 2) объем сосуда.

Ответ: M=4,6×10 -3 кг/моль; V=11,7×10 -3 м 3 .

4.(5.29) В закрытый сосуд, наполненный воздухом при температуре 20 0 С и давлении 100 кПа., вводится диэтиловый эфир (С 2 H 5 OC 2 H 5). После того, как эфир испарился, давление в сосуде стало равно Р=0,14 МПа. Какое количество эфира было введено в сосуд? Объем сосуда V=2 л.

Ответ: m=2,43×10 -3 кг.

5.(5.58) Чему равна энергия теплового движения m=20 г кислорода (О 2) при температуре t=10 0 С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения, а какая – на долю вращательного?

Ответ: W=3,7 кДж; W пост. =2,2 кДж; W вр. =1,5 кДж.

6.(5.61) Чему равна энергия теплового движения молекул двух-
атомного газа, заключенного в сосуд объемом V=2 л и находящегося под давлением Р=150 кПа?

Ответ: W=750 Дж.

7.(5.69) Для некоторого двухатомного газа удельная теплоемкость при постоянном давлении равна c р =14,67×10 3 Дж/(кг×K). Чему равна молярная масса этого газа?

Ответ: M=2×10 -3 кг/моль.

8.(5.71) Найти удельные теплоемкости c v и c р некоторого газа, если известно, что его молярная масса M=0,03 кг/моль и отношение c p /c v =1,4.

Ответ: c v =693 Дж/(кг×К); c р =970 Дж/(кг×К).

9.(5.76) Найти удельную теплоемкость при постоянном давлении газовой смеси, состоящей из n 1 =3 кмоль аргона (Аr) и n 2 =2 кмоль азота (N 2).

Ответ: c р =685 Дж/(кг×К).

10.(5.77) Найти отношение c р /c v для газовой смеси, состоящей из m 1 =8 г гелия (He) и m 2 =16 г кислорода (О 2).

Ответ: c р /c v =1,59.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(2.2) Баллон емкостью V=20 л содержит смесь водорода (H 2) и гелия (He) при температуре Т=300 К и давлении Р=8 атм. Масса смеси m=25 г. Определить массы водорода m 1 и гелия m 2 . 1 атм.=100 кПа.

Ответ: m 1 =0,672×10 -3 кг; m 2 =24,3×10 -3 кг.

2.(2.3) В сосуде находится смесь m 1 =7 г азота (N 2) и m 2 =11 г углекислого газа (СО 2) при температуре Т=290 К и давлении Р=1 атм. Найти плотность r этой смеси, считая газы идеальными.
1 атм.=100 кПа.

Ответ: r=1,49 кг/м 3 .

3.(2.4) Сосуд объемом V=60 л содержит смесь кислорода (О 2) и водорода (H 2) при температуре Т=360 К и давлении Р=750 мм рт. ст. Масса смеси m=19 г. Определить парциальные давления кислорода р 1 и водорода р 2 . 1 мм рт. ст.=133 Па.

Ответ: р 1 =24,9 кПа; р 2 =74,8 кПа.

4.(2.7) В сосуде находится смесь m 1 =8 г кислорода (О 2) и m 2 =7 г азота (N 2) при температуре Т=400 К и давлении Р=10 6 Па. Найти плотность смеси газов r, парциальные давления компонент р 1 , р 2 и массу одного моля смеси M .

Ответ: r=9,0 кг/м 3 ; р 1 =р 2 =0,5 МПа; m=30×10 -3 кг.

5.(2.8) Оболочка аэростата, находящегося у поверхности земли, наполнена водородом на 7/8 своего объема, равного V=1600 м 3 , при давлении Р 1 =100 кПа и температуре Т 1 =290 К. Аэростат поднялся на некоторую высоту, где давление Р 2 =80 кПа и температура Т 2 =280 К. Определить массу водорода Dm, вышедшего из оболочки аэростата при его подъеме.

Ответ: Dm=6,16 кг.

6.(2.51) Двухатомный газ массой m=10 г занимает объем V=6 л при давлении Р=10 6 Па и температуре t=27 0 С. Определить удельную теплоемкость c v этого газа.

Ответ: c v =5×10 3 Дж/(кг×К).

7.(2.52) Определить удельную теплоемкость смеси c P при постоянном давлении, если смесь состоит из m 1 =20 г углекислого газа (СО 2) и m 2 =40 г криптона (Кr).

Ответ: c P =417 Дж/(кг×К).

8.(2.55) Одному киломолю некоторого идеального газа в процессе изобарического расширения сообщили количество тепла
Q=249 кДж, при этом его температура увеличилась на
DT=(Т 2 –Т 1)=12 К. Определить число степеней свободы газа i.

Ответ: i=3.

9.(2.56) Найти массу m одного киломоля и число степеней свободы i молекулы газа, у которого удельные теплоемкости равны: c V =750 Дж/(кг×К), c P =1050 Дж/(кг×К).

Ответ: m=27,7 кг, i=5.

10.(2.58) Плотность некоторого трехатомного газа при нормальных условиях составляет r=1,4 кг/м 3 . Определить удельную теплоемкость c V этого газа при изохорическом процессе. Атмосферное давление P 0 =100 кПа.

Ответ: c V =785 Дж/(кг×К).

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. В сосуде находится смесь кислорода (О 2) и водорода (H 2). Масса m смеси равна 3,6 г. Массовая доля W 1 кислорода составляет 0,6. Определить количество вещества n смеси, n 1 и n 2 каждого газа в отдельности.

Ответ: n=788 ммоль; n 1 =68 ммоль; n 2 =720 ммоль.

2. В баллоне вместимостью V=1 л находится азот (N 2) при нормальных условиях. Когда азот нагрели до температуры Т=1,8 кК, то часть молекул азота оказалась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации a=0,3. Определить: 1) количество вещества n и концентрацию n молекул азота до нагревания; 2) количество вещества n м и концентрацию n м молекул молярного азота после нагревания; 3) количество вещества n a и концентрацию n a атомов атомарного азота после нагревания; 4) полное количество вещества n пол и концентрацию n пол частиц в сосуде после нагревания. Диссоциацией молекул при нормальных условиях пренебречь. (Степенью диссоциации называют отношение числа молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа).

Ответ: 1) 44,6 ммоль, 2,69×10 25 м -3 ; 2) 31,2 ммоль, 1,88×10 25 м -3 ;

3) 26,8 ммоль, 1,61×10 25 м -3 ; 4) 58 ммоль, 3,49×10 25 м -3 .

3. По газопроводу течет углекислый газ (СО 2) при давлении Р=0,83 МПа и температуре t=27 0 С. Какова скорость течения газа в трубе, если за t=2,5 мин через поперечное сечение трубы площадью S=5 см 2 протекает m=2,2 кг газа?

Ответ: м/с.

4. Резиновый шарик массой m=2 г надувается гелием (Hе) при температуре t=17 0 С. При достижении в шарике давления Р=1,1 атм он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем, как лопнуть, он имел сферическую форму? Резиновая пленка рвется при толщине d=2×10 -3 см. Плотность резины r=1,1 г/см 3 . Условие d<

Ответ: кг.

5. Три одинаковых сосуда, соединенных трубками, заполнены газообразным гелием при температуре Т=40 К. Затем один из сосудов нагрели до Т 1 =100 К, а другой - до Т 2 =400 К, а температура третьего не изменилась. Во сколько раз возросло давление в системе? Объемом соединительных трубок пренебречь.

Ответ:

6. Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде его необходимо прогревать при откачке с целью удалить адсорбированные газы. Определить на сколько повысится давление в сферическом сосуде радиусом R=10 см, если все адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, площадь поперечного сечения одной молекулы s равно 10 -15 см 2 . Температура прогрева Т=600 К.

Ответ: Па.

7. В сосуде А объемом V 1 =2 л находится газ под давлением Р 1 =3×10 5 Па, а в сосуде В объемом V 2 =3 л находится та же масса того же газа, что и в сосуде А. Температура обоих сосудов одинакова и постоянна. Под каким давлением Р будет находиться газ после соединения сосудов А и В трубкой. Объемом соединительной трубки пренебречь.

Ответ: Р=2Р 1 V 1 /(V 1 +V 2)=2,4×10 5 Па.

8. Молекулярный пучок падает перпендикулярно на поглощающую стенку. Концентрация молекул в пучке n, масса молекулы m 0 , скорость каждой молекулы u. Найти давление Р, испытываемое стенкой, если: а) стенка неподвижна; б) стенка движется в направлении нормали со скоростью u

Ответ: а) Р=nm 0 u 2 , б) Р=nm 0 (u±u) 2 .

9. Какие ответы будут в задаче 8, если стенка абсолютно упругая, а пучок падает на стенку под углом a к ее нормали. В п. б) скорость движения стенки u

Ответ: а) Р=2nm 0 u 2 cos 2 a, б) Р=2nm 0 (ucosa±u) 2 .

10. Вычислить среднюю энергию поступательного , вращательного и колебательного движений двухатомной молекулы газа при температуре Т=3×10 3 К.

Ответ: =6,2×10 -20 Дж, ==4,1×10 -20 Дж.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Статистический и термодинамический методы исследования. Молекулярная фи­зика и термодинамика - разделы физики, в которых изучаются макроскопические

процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих про­цессов применяют два качественно раз­личных и взаимно дополняющих друг дру­га метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Пер­вый лежит в основе молекулярной физики, второй - термодинамики.

Молекулярная физика - раздел физи­ки, изучающий строение и свойства ве­щества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.

Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим философом Демокритом (460-370 до н. э.). Атомисти­ка возрождается вновь лишь в XVII в. и развивается в работах М. В. Ломоно­сова, взгляды которого на строение ве­щества и тепловые явления были близки к современным. Строгое развитие молеку­лярной теории относится к середине XIX в. и связано с работами немецкого физика Р.Клаузиуса (1822-1888), ан­глийского физика Дж. Максвелла (1831 - 1879) и австрийского физика Л. Больцма­на (1844-1906).

Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокуп­ного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа моле­кул, являясь статистическими закономер­ностями, изучаются с помощью статисти­ческого метода. Этот метод основан на

том, что свойства макроскопической систе­мы в конечном счете определяются свой­ствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями ди­намических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.). Например, температура тела определяется скоростью беспорядочного движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения мо­лекул. Нельзя говорить о температуре од­ной молекулы. Таким образом, макроско­пические характеристики тел имеют физи­ческий смысл лишь в случае большого числа молекул.

Термодинамика - раздел физики, изу­чающий общие свойства макроскопиче­ских систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и про­цессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микро­процессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух на­чалах - фундаментальных законах, уста­новленных в результате обобщения опыт­ных данных.

Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим мето­дом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько огра­ничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавли­вает связи между макроскопическими

свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.

Термодинамика имеет дело с термоди­намической системой - совокупностью макроскопических тел, которые взаимо­действуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинами­ческого метода - определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) - совокупностью физических величин, ха­рактеризующих свойства термодинамиче­ской системы. Обычно в качестве парамет­ров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.

Температура - одно из основных по­нятий, играющих важную роль не только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура - физическая величина, ха­рактеризующая состояние термодинами­ческого равновесия макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шка­лы - термодинамическую и Международ­ную практическую, градуированные соот­ветственно в Кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С).

В Международной практической шка­ле температура замерзания и кипения во­ды при давлении 1,013 10 5 Па соответ­ственно 0 и 100 °С (так называемые реперные точки).

Термодинамическая температурная шкала определяется по одной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давле­нии 609 Па находятся в термодинамиче­ском равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К, (точно). Градус Цельсия равен Кельвину. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению, термодинамиче­ская температура и температура по Меж­дународной практической шкале связаны соотношением T=273,15+t. Температура T=0 называется нулем кельвин. Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.

Удельный объем v - это объем едини­цы массы. Когда тело однородно, т. е. его плотность =const, то v= V/m= 1/. Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то мак­роскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.

Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термоди­намической системе, связанное с измене­нием хотя бы одного из ее термодинамиче­ских параметров, называется термодина­мическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой систе­мы при этом не изменяются).

Глава 8

Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

§ 41. Опытные законы идеального газа

В молекулярно-кинетической теории поль­зуются идеализированной моделью идеаль­ного газа, согласно которой:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутству­ют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно ис­пользовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нор-

мальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся по­правки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекуляр­ные силы, можно перейти к теории реаль­ных газов.

Опытным путем, еще до появления молекулярно-кинетической теории, был уста­новлен целый ряд законов, описывающих поведение идеальных газов, которые мы и рассмотрим.

Закон Бойля - Мариотта : для дан­ной массы газа при постоянной температу­ре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

pV = const (41.1) при Т= const, m =const.

Кривая, изображающая зависимость меж­ду величинами р и V, характеризующими свойства вещества при постоянной темпе­ратуре, называется изотермой. Изотермы представляют собой гиперболы, располо­женные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит про­цесс (рис. 60).

Закон Гей-Люссака : 1) объем дан­ной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

V=V 0 ( 1+  t) (41.2) при p = const, m = const;

2) давление данной массы газа при по­стоянном объеме изменяется линейно с температурой:

p = p 0 ( 1+  t) (41.3) при V =const, m =const.

В этих уравнениях t - температура по шкале Цельсия, р 0 и V 0 - давление и объем при 0°С, коэффициент =1/273,15 К -1 .

Процесс, протекающий при постоян­ном давлении, называется изобарным. На диаграмме в координатах V, t (рис.61) этот процесс изображается прямой, на­зываемой изобарой. Процесс, протекаю­щий при постоянном объеме, называется изохорным. На диаграмме в координатах р, t (рис. 62) он изображается прямой, называемой изохорой.

Из (41.2) и (41.3) следует, что изо­бары и изохоры пересекают ось темпера­тур в точке t =-1/=-273,15 °С, опре­деляемой из условия 1+t=0. Если сместить начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис. 62), откуда

T=t+ 1/  .

Вводя в формулы (41.2) и (41.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удоб­ный вид:

V=V 0 (1+  t)=V 0 = v 0  t ,

p=p 0 (1+  t)=p 0 =р 0  Т, или

V 1 /V 2 = T 1 /T 2 (41.4)

при p = const, m = const,

р 1 /р 2 = T 1 /T 2 (41.5) при V =const, m =const,

где индексы 1 и 2 относятся к произволь­ным состояниям, лежащим на одной изо­баре или изохоре.

Закон Авогадро : моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нор­мальных условиях этот объем равен 22,41 10 -3 м 3 /моль.

По определению, в одном моле различ­ных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:

n а = 6,022 10 23 моль -1 .

Закон Дальтона : давление смеси идеальных газов равно сумме парциаль­ных давлений входящих в нее газов, т. е.

p=p 1 +p 2 +... + p n ,

где p 1 ,p 2 , ..., p n -парциальные давле­ния - давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.

10 класс

Контрольная работа № 5

Вариант 1

25 м -3 .

3 -23

6 (м/с) 2 25 м -3 -26 кг?

25 м -3

3 -12 Па?

10 класс

Контрольная работа № 5

«Основы молекулярно-кинетической теории идеального газа»

Вариант 2

5 м 3 18 молекул?

5 3 м/с.

21 Дж.

3 H 8

10 класс

Контрольная работа № 5

«Основы молекулярно-кинетической теории идеального газа»

Вариант 1

1. Определите температуру водорода и среднюю квадратичную скорость его молекул при давлении 100 кПа и концентрации молекул 10 25 м -3 .

2. Сосуд, имеющий форму куба со стороной 1 м, содержит идеальный газ в количестве 10 -3 моль. Найдите давление газа, если масса одной молекулы 3 ∙ 10 -23 г и средняя скорость теплового движения молекул 500 м/с.

3. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул 10 6 (м/с) 2 , концентрация молекул 3 ∙ 10 25 м -3 , а масса каждой молекулы 5 ∙ 10 -26 кг?

4. Концентрация молекул газа 4 ∙ 10 25 м -3 .Рачитайте давление газа при температуре 290 К.

5. Какое число молекул находится в сосуде объемом 5 м 3 при 300 К, если давление газа 10 -12 Па?

10 класс

Контрольная работа № 5

«Основы молекулярно-кинетической теории идеального газа»

Вариант 2

1. Какова средняя скорость теплового движения молекул, если при давлении 250 кПа газ массой 8 кг занимает объем 15 м 3 ?

2. Какое давление производят пары ртути в баллоне ртутной лампы вместимостью 3 · 10 -5 м 3 при300 К, если в ней содержится 10 18 молекул?

3. Определить плотность кислорода при давлении 1,3 ∙ 10 5 Па, если средняя квадратичная скорость его молекул равна 1,4 ∙ 10 3 м/с.

4. При какой температуре средняя кинетическая энергия молекул газа равна 10,35 ∙ 10 -21 Дж.

5. В резервуаре объемом 3000 л находится пропан (C 3 H 8 ), количество вещества которого 140 моль, а температура 300 К. Какое давление оказывает газ на стенки сосуда?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение, положенное в основу молекулярно-кинетической теории, связывает макроскопические величины, описывающие (например, давление) с параметрами его молекул (их и скоростями). Это уравнение имеет вид:

Здесь – масса газовой молекулы, – концентрация таких частичек в единице объема, – усреднённый квадрат скорости молекул.

Основное уравнение МКТ наглядно объясняет, каким образом идеальный газ создает на окружающие его стенки сосуда. Молекулы все время ударяются о стенку, воздействуя на нее с некоторой силой F. Тут следует вспомнить : когда молекула ударяется о предмет, на нее действует сила -F, вследствие чего молекула «отбивается» от стенки. При этом мы считаем соударения молекул со стенкой абсолютно упругими: механическая энергия молекул и стенки полностью сохраняется, не переходя во . Это значит, что при соударениях изменяются только молекул, а нагревания молекул и стенки не происходит.

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул , а не квадрат усредненной скорости : усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

1. Соударения молекул с окружающими объектами абсолютно упругие. Для реальных же газов это не совсем так; часть молекул всё-таки переходит во внутреннюю энергию молекул и стенки.
2. Силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь. Если же реальный газ находится при высоком давлении и сравнительно низкой температуре, эти силы становятся весьма существенными.
3. Молекулы считаем материальными точками, пренебрегая их размером. Однако размеры молекул реальных газов влияют на расстояние между самими молекулами и стенкой.
4. И, наконец, основное уравнение МКТ рассматривает однородный газ – а в действительности мы часто имеем дело со смесями газов. Как, например, .

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

Как известно из законов , кинетическая энергия любого тела или частицы . Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

Также кинетическая энергия газовых молекул выражается формулой , что нередко используется в задачах. Здесь k – это постоянная Больцмана, устанавливающая связь между температурой и энергией. k=1,38 10 -23 Дж/К.

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение	Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным. Давление газа: Можем заметить, что произведение – это газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы. Тогда предыдущее уравнение примет вид: В нормальных условиях давление равно 10 5 Па, плотность воздуха 1,29кг/м 3 – эти данные можно взять из справочной литературы. Из предыдущего выражения получим молекул воздуха:
Ответ	м/с

ПРИМЕР 2

Задание	Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение	Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: , как и любых материальных частичек: . Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид: