Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками, поскольку сила роста – универсальный показатель. Однако наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции).

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k н = (1 + j / m ) m = (1 + j / 365) 365

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e j :

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV e j n = P e δ n

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (j ).

Пример. Кредит в размере на 100 тыс. долларов получен сроком на 3 года под 8% годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

б) ежедневно;

в) непрерывно.

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

начисление один раз в год

FV = 100"000 (1 + 0,08) 3 = 125"971,2 долларов;

ежедневное начисление процентов

FV = 100"000 (1 + 0,08 / 365) 365 3 = 127"121,6 долларов

непрерывное начисление процентов

FV = 100"000 e 0,08 3 = 127"124,9 долларов.

12. Расчет срока кредита:

В любой простейшей финансовой операции всегда присутствуют четыре величины: современная величина (PV ), наращенная или будущая величина (FV ), процентная ставка (i ) и время (n ).

Иногда при разработке условий финансовой сделки или ее анализе возникает необходимость решения задач, связанных с определением отсутствующих параметров, таких как срок финансовой операции или уровень процентной ставки.

Как правило, в финансовых контрактах обязательно фиксируются сроки, даты, периоды начисления процентов, поскольку фактор времени в финансово-коммерческих расчетах играет важную роль. Однако бывают ситуации, когда срок финансовой операции прямо в условиях финансовой сделки не оговорен, или когда данный параметр определяется при разработке условий финансовой операции.

Обычно срок финансовой операции определяют в тех случаях, когда известна процентная ставка и величина процентов.

Если срок определяется в годах, то

n = (FV - PV ) : (PV i ),

а если срок сделки необходимо определить в днях, то появляется временная база в качестве сомножителя:

t = [(FV - PV ) : (PV i )] T .

Так же как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

• срок ссуды:

n = / = / ;

• ставка сложных процентов:

Таким образом, увеличение вклада за три года в три раза эквивалентно годовой процентной ставке в 44,3%, поэтому размещение денег под 46% годовых будет более выгодно.

13. Расчет срока кредита:

14. Расчет процентной ставки:

- при наращении по сложной годовой ставке %,

- при наращении по номинальной ставке % m раз в году,

- при наращении по постоянной силе роста.

15. Расчет процентной ставки:

- при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке,

- при дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году.

1. Постоянная сила роста

При использовании дискретной номинальной ставки наращенная сумма определяется по формуле:

При переходе к непрерывным процентам получим:

Множитель наращения при непрерывной капитализации процентов.

Обозначая силу роста через, получим:

т.к. дискретные и непрерывные ставки функционально связаны друг с другом, то можно записать равенство множителей наращения

На первоначальный капитал 500 тыс. руб. начислили сложные проценты - 8% годовых в течении 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок

В формуле (4.21) можно определить современную величину

Непрерывная процентная ставка, используемая при дисконтировании называется силой дисконта. Она равна силе роста, т.е. используется для дисконтирования силы дисконта или силы роста приводят к одному и тому же результату.

Определить современную стоимость платежа при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера.

Анализ финансовых результатов деятельности предприятия ООО "СМР"

Резервы роста прибыли - это количественно измеримые возможности ее увеличения за объема продукции рассчитывается по формуле: , (1.22) где: - резерв роста прибыли за счет увеличения объема продукции; структуры производственной системы...

Анализ финансовых результатов деятельности предприятия СХПК "Родина"

Государственные финансовые ресурсы России, возможности их роста в современных условиях

Второе звено финансовых ресурсов -- внебюджетные специальные фонды. Внебюджетные фонды имеют строго целевое назначение -- расширить социальные услуги населению, стимулировать развитие отсталых отраслей инфраструктуры...

Действия с непрерывными процентами

С помощью этой характеристики моделируются процессы наращения денежных сумм с изменяющейся процентной ставкой. Если сила роста описывается некоторой непрерывной функцией времени, то справедливы формулы...

Детерминанты стоимости компании

Итак, как показало проведенное исследование, детерминанты стоимости компании могут быть различного рода, и от их сочетания и развитости, а так же внешних факторов очень многое зависит. Но, нельзя забывать...

Инфляция

В настоящее время инфляция - одна из самых острых тем не только в России, но и за рубежом. Но в то время как мировое сообщество переживает спад инфляции, в России этот показатель до сих пор составляет двузначное число. Более того...

Оценка финансового состояния и эффективности функционирования предприятия ООО "Актор"

Для анализа деловой активности используем «золотое правило экономического роста»: Тбп>Твр>Твб>100%. В нашем случае: Таблица 11 Темпы прироста, % БП 110,47 ВР 98,7 ВБ 101,2 Как видим...

Политика управления заемными источниками финансирования

Модель устойчивого экономического роста (МУЭР) позволяет определить возможный прирост продаж (выручки) без нарушения финансовой устойчивости. МУЭР определяется по формуле:...

Применение различных методик по оценке налоговой нагрузки для хозяйствующих субъектов

Дополнительная формулировка: «Несоответствие темпов роста расходов по сравнению с темпом роста доходов по данным налоговой отчетности с темпами роста расходов по сравнению с темпом роста доходов, отраженными в финансовой отчетности»...

Разработка финансового плана предприятия (на примере ОАО "Ракитянский арматурный завод")

Экономический рост предприятия показывает максимум роста продаж, который может достичь предприятие, не изменяя прочие оперативные показатели. Эк. рост = коэф. реинв.*эффект фин. рычага * коэф...

Финансовый анализ деятельности компании ОАО "Промсвязьбанк"

· себестоимости и объема продаж · постоянных затрат и объема продаж · активов и объема продаж: Таблица 6 Показатели На начало периода На конец периода Темп прироста Выручка от продажи 43 754 131 49 343 607 12...

Финансовый менеджмент

Модель SGR: где g - потенциально возможный рост объема продаж, %; b - доля чистой прибыли...

Формирование финансовой политики и стратегии устойчивого роста ПАО "Фабрика №5"

Сформируем бухгалтерский баланс и отчет о прибылях и убытках организации на конец отчетного периода на основании данных таблиц А.3. Таблица 3.1 - Бухгалтерский баланс, руб...

Формирование финансовых результатов предприятия на примере ЗАО "ДС-Контролз"

Б.И. Герасимов считает, результаты факторного анализа прибыли и рентабельности позволяют выявить резервы их роста. Резервы роста прибыли - это количественно измеримые возможности ее увеличения за счет роста объема реализации продукции...

Эффект финансового рычага

В ходе масштабного исследования возможностей отечественного бизнеса по управлению структурой капитала на первом этапе исследовался вопрос, управляют ли российские компании структурой своего капитала и осознают ли...

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

P - исходная сумма;

S - наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами);

i - процентная ставка, выраженная в долях;

n - число периодов начисления.

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря, S = (1 + i) n P

В этом случае говорят о сложной процентной ставке .

Часто рассматривается следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет j, а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12). Тогда формула для наращенной суммы будет выглядеть:

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке.

Иногда рассматривают ситуацию так называемых непрерывно начисляемых процентов, то есть годовое число периодов начисления m устремляют к бесконечности. Процентную ставку обозначают δ, а формула для наращенной суммы:

В этом случае номинальную процентную ставку δ называют сила роста .

Реальная и номинальная ставки

Различают номинальную и реальную процентную ставку.

Реальная процентная ставка - это процентная ставка, очищенная от инфляции. Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой:

i r = i n − π

i n - номинальная процентная ставка; i r - реальная процентная ставка;

π - ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Ирвинг Фишер предложил более точную модель взаимосвязи реальной, номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера:

При небольших значениях уровня инфляции π результаты мало отличаются, но если инфляция велика, то следует применять формулу Фишера.

Формула сложных процентов

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

Проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

S = P + I = P + P i = P (1 + i )– за один период начисления;

S = (P + I ) (1 + i ) = P ( 1 + i ) ( 1 + i ) = P (1 + i ) 2

– за два периода начисления; отсюда, за n периодов начисления формула примет вид: S= P (1 + i ) n = P k н , где

S – наращенная сумма долга;

P – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен: (1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид: (1 + i ) n .

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .

При краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i ,

если 0 < n < 1, то (1 + ni ) > (1 + i ) n ;

если n > 1, то (1 + ni ) < (1 + i ) n ;

если n = 1, то (1 + ni ) = (1 + i ) n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

Более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

Более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

Обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример 1. Сумма в размере 2"000 руб. дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма

S= P (1 + i ) n = 2"000 (1 + 0,1) 2 = 2"420 руб.

S = P k н = 2"000 1,21 = 2"420 руб.,

где k н = 1,21

Сумма начисленных процентов

I = S - P = 2"420 - 2"000 = 420 руб.

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2"420 руб., из которой 2"000 руб. составляет долг, а 420 руб. – "цена долга".

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

-общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

S = P (1 + i ) n , n = a + b,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

-смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

S= P (1 + i ) a (1 + bi ).

Поскольку b < 1, то (1 + bi ) > (1 + i ) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример 2. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. руб. со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами.

Решение:

Общий метод:

S = P (1 + i ) n = 250 (1 + 0,095) 2,9 = 320,87 тыс. руб.

Смешанный метод:

S = P (1 + i ) a (1 + bi ) =

250 (1 + 0,095) 2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 тыс. руб.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. руб.,

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. руб.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

В практически финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста.

Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста как δ . Тогда наращенная сумма по непрерывной ставке составит:

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения

следует: ,

.

Пример: Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн. руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Определить наращенную сумму.

Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно наращению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке:

В итоге получим:

Формула дисконтирования:

.

Дисконтный множитель равен .

Пример: Определить современную стоимость платежа, если наращенная стоимость равна 5000 тыс. руб. при условии дисконтирования по силе роста 12%. Срок платежа – 5 лет.