I (школьный) етап Всероссийской математической олимпиады с решениями и критериями

Задачи (с критериями) к олимпиаде по математике 6 класс

Учитель математики МБОУ СОШ №15 г.Мичуринска

Летуновская Е.Н.

Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должны получиться в одном ведре ).

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? (Напишите решение задачи, а не только ответ ).

В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите

1 . Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий: 100 = (33:3 – 3:3) (33: 3 – 3:3). Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100. (Достаточно привести один пример ).

Решение. Например: 1) 100 = 333:3 – 33:3 , 2) 100 = 33 3 + 3:3 . Есть и другие решения.

2. Разрежьте фигуру на 3 равные части.

Решение. Смотри рисунок.

3. Как отмерить 2 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л? (2 л воды должно получиться в одном ведре).

Решение. Запишем в виде таблицы последовательность наполнения ведер:

Ведро вместимостью 10 л

Ведро вместимостью 6 л

Комментарий

Сначала

0 л

1 шаг

10 л

0 л

2 шаг

4 л

6 л

3 шаг

4 л

0 л

4 шаг

0 л

4 л

Перелили из первого ведра во второе

5 шаг

10 л

4 л

Первое ведро наполнили из реки

6 шаг

8 л

6 л

Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

7 шаг

8 л

0 л

Вылили из второго ведра в реку

8 шаг

2 л

6 л

Перелили из первого ведра во второе до его наполнения

4. Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа?

Ответ. 90 шагов.

Решение. 1 способ. Назовем расстояние, равное 3 шагам Маши и 5 шагам Яши, шагом Великана. Пока Великан делает один шаг, Маша и Яша делают вместе 8 шагов. Так как они сделали вместе 400 шагов, то Великан за это время сделал бы 400:8=50 великанских шагов. Если Великан сделал 50 шагов, то Маша сделала 150 шагов. Посчитаем теперь их «пятерками». 150 - это 30 раз по 5 шагов. Значит, папа сделал 30 раз по 3 шага, то есть 90 шагов.

2 способ. Пока Маша делает 3 5 =15 шагов, папа делает 3 3 = 9 шагов, а Яша делает 5 5 = 25 шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают 15+25=40 шагов. А пока они сделают 400 шагов, папа сделает тоже в 10 раз больше шагов, т.е. 9 10 = 90 шагов.

5 . В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.

Решение. Смотри рисунок.

б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зал побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите , что большее количество залов он посмотреть не мог.

Ответ. 15.

Решение. Один из возможных маршрутов показан на рисунке.

Докажем, что если турист хочет побывать в каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15 залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак, маршрут не может проходить больше чем через 15 залов.

Задача 1. Любой верный пример – 7 баллов. Два или несколько примеров, среди которых есть верные и неверные – 5 баллов.

Задача 2. Верное разрезание – 7 баллов. Обоснования не требуются. Разрезание на неравные фигуры равной площади – 2 балла.

Задача 3. Правильный алгоритм – 7 баллов. Разумные продвижения, например, отмерено 8 л – до 3 баллов.

Задача 4. Полное решение – 7 баллов. Решение на рисунке (по клеточкам и т.п.) без достаточных объяснений – 4-5 баллов. Верное решение с арифметической ошибкой – 4 балла. Только ответ – 0 баллов.

Задача 5. а) Верное решение – 1 балл.

б) Приведен пример верного маршрута (конечно, не обязательно такого, как в решении выше) и доказано, что маршрут не может быть длиннее – 6 баллов. Приведен пример верного маршрута, но не доказано, что маршрут не может быть длиннее – 2 баллов.

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.

Ответ : будет.

Решение.
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

Критерии оценивания:

0 баллов – ответ неверный;

4 балла - записаны правильные действия, но без пояснения.

Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A – 48.

Ответ : С.
Решение.
Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.
Также 90-18=72 делится на искомое число.
Их разность также делится на искомое число: 96-72=24.
Следовательно, искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.

Критерии оценивания:

0 баллов – ответ неверный;

4 балла – записаны правильные действия, но без пояснения.

2 балла – дан верный ответ без обоснования;

7 баллов – дан верный ответ с обоснованием.

Одной черепахе 300 лет, а другой 15 лет. Через сколько лет первая черепаха будет вдвое старше второй?

Ответ. Через 270 лет . Решение. Разница между черепахами всегда 300-15=285 лет. Одна будет вдвое старше другой, когда второй будет столько лет, какова разница, т.е. 285. А 285 лет второй черепахе исполнится через 285-15=270 лет.

Критерии оценивания:

Верное решение - 7 баллов.

Записаны правильные действия, но без пояснения - 4 балла.

Только ответ без всяких пояснений – 2 балла .

Неверное решение – 0 баллов.

9. Сад разбит на квадраты. Садовник начал обход с верхнего правого квадрата, обошел весь сад и вернулся в тот же угловой квадрат. В закрашенных квадратиках он не был (там располагаются пруды). Во всех остальных квадратиках он побывал по одному разу, причем через вершины квадратов он не проходил. Начертите возможный путь садовника.

Критерии оценивания:

Правильный пример – 7 баллов .

Пример незамкнутого пути или пути не по всем клеткам – 0 баллов .

10.Винни-Пуху дали полную тарелку манной каши. Он съел половину и положил в тарелку еще столько же меда. Затем он съел треть содержимого тарелки (каши с медом) и снова доложил мед. Потом съел четверть содержимого и опять доложил медом, после чего с аппетитом все съел. Чего в итоге Винни-Пух съел больше: каши или меда?

Ответ. Меда он съел больше. Решение. Видно, что Пух в итоге съел тарелку каши. Посчитаем, сколько он съел меда: 1/2+1/3+1/4 = 13/12>1.

Критерии оценивания

Верное решение - 7 баллов

Решение верное, но не доведено до конца – 2 балла.

Вычислительная ошибка – минус 1 балл (если вычислительных ошибок несколько, соответственно вычитается больше).

Только один ответ без решения - 1 балл .

Неверное решение – 0 баллов.

Степновский район

2016/17 учебного года
Математика
5 класс

1. Найдите среди чисел вида 3а + 1 первые три числа, которые кратны 5.

2. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

3. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.

4. Восстановите запись:
*2*3
**
***87
*****
2*004*

5. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем – еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
Степновский район
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
2016/17 учебного года
Математика
6 класс
1.

2. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
A) в понедельник; B) в среду; C) в четверг; D) в пятницу; E) во вторник.
3. У двузначного числа "n" цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число "n" обязательно:
четное; B) нечетное; C) меньше 20; D) делится на 3; E) делится на 6.

4. Сколько воды надо добавить к 600 г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получился 12 % -ый раствор этой соли?

5. Разместите 8 козлят и 9 гусей в 5 хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

Степновский район
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
2016/17 учебного года
Математика
7 класс

Таня и Ваня ели арбуз. Таня съела половину трети от четверти арбуза, а Ваня – четверть половины от трети арбуза. Кто съел больше арбуза?

На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?

Ковбой Билл зашел в оружейную лавку и попросил у продавца кольт за 3 до
·ллара и шест коробок патронов, цену которых он не знал. Продавец потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда продавец пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл понял, что продавец пытался его обсчитать?

Квадрат со стороной 4 см разрежьте на 5 прямоугольников с периметром 8 см. (Любой квадрат также является прямоугольником).

В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.
б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог.
Степновский район
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
2016/17 учебного года
Математика
8 класс

Какой цифрой оканчивается сумма 13EMBED Equation.31415 ?

Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

Найдите 3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма обратных величин этих чисел равна 1.

Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.
5-6 4Рисунок 15-6 4

1. Вася может получить число 100, используя десять троек, скобки и знаки арифметических действий:

100 = (33: 3 — 3: 3) · (33: 3 — 3: 3)

Улучшите его результат: используйте меньшее число троек и получите число 100.

(Достаточно привести один пример ).

2. Разрежьте фигуру на 3 равные части.

3. Как отмерить 8 л воды, находясь около реки и имея два ведра вместимостью 10 л и 6 л?

(8 л воды должно получиться в одном ведре).

(Напишите решение задачи, а не только ответ ).

5. В музее 16 залов, расположенных как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.