Производственная функция и выбор оптимального размера производства. Производственные функции

Производственная функция

Соотношение между вводимыми факторами и итоговым выходом продукции описывается производственной функцией. Она является исходным пунктом в микроэкономических расчетах фирмы, позволяет найти оптимальный вариант использования производственных возможностей.

Производственная функция показывает возможный максимальный выпуск продукции (Q) при определенном сочетании производственных факторов и избранной технологии.

Для каждой технологии производства существует своя особая функция. В наиболее общем виде она записывается:

где Q– объем производства,

K–капитал

M– природные ресурсы

Рис. 1 Производственная функция

Производственная функция характеризуется определенными свойствами :

Существует предел для роста объема производства, который может быть достигнут за счет увеличения объема использования одного фактора при условии, что другие факторы производства не меняются. Данное свойство получило название закона убывающей производительности фактора производства . Он действует в краткосрочном периоде.

Существует определенная взаимодополняемость факторов производства, но без сокращения производства возможна и определенная взаимозаменяемость этих факторов.

Изменения в использовании факторов производства более эластичны на продолжительном отрезке времени, чем за короткий период.

Производственная функция может рассматриваться как однофакторная и многофакторная. Однофакторная полагает, что при прочих равных условиях, изменяется только фактор производства. Многофакторная предполагает изменение всех факторов производства.

Для краткосрочного периода используется однофакторная, а для долгосрочного – многофакторная.

Краткосрочный период – это такой период, в течение которого хотя бы один фактор остаётся неизменным.

Долгосрочный период – это период времени, в течение которого все факторы производства изменяются.

При анализе производства используются такие понятия как общий продукт (ТР) – объём товаров и услуг, произведенных за определённый период времени.

Средний продукт (АР) характеризует количество продукции, приходящейся на единицу используемого фактора производства.Он характеризует производительность фактора производства и рассчитывается по формуле:

Предельный продукт (МР) - дополнительная продукция, произведенная дополнительной единицей фактора производства. МРхарактеризует производительность дополнительно нанятой единицы фактора производства.

Таблица 1 - Результаты производства в краткосрочном периоде

Затраты капитала (К)	Затраты труда (L)	Объем производства (ТР)	Средний продукт труда (АР)	Предельный продукт труда (МР)

Анализ данных таблицы 1 позволяет выявить ряд закономерностей поведения общего, среднего и предельного продукта. В точке максимума общего продукта (ТР) предельный продукт (МР) равен 0. Если при росте объема используемого в производстве труда предельный продукт труда больше среднего, то значение среднего продукта растет и это свидетельствует о том, что отношение труда к капиталу далеко от оптимального и часть оборудования не используется в силу нехватки труда. Если при росте объема труда предельный продукт труда меньше среднего продукта, то средний продукт труда будет уменьшаться.

Закон замещения факторов производства.

Равновесное положение фирмы

Один и тот же максимальный объем производства фирмы можно обеспечить за счет разного сочетания факторов производства. Это обусловлено способностью одного ресурса вытесняться другим без ущерба для результатов производства. Такая способность называется взаимозаменяемостью факторов производства.

Так, если объемы ресурса труда увеличиваются, то использование капитала может уменьшаться. В этом случае мы прибегаем к трудоемкому варианту производства. Если, напротив, возрастает объем используемого капитала, а труд вытесняется, то речь идет о капиталоемком варианте производства. Скажем, вино можно произвести трудоемким ручным способом или капиталоемким способом с применением машинного оборудования для выжимки винограда.

Технология производства фирмы - это способ соединения факторов производства для выпуска продукции, основанный на определенном уровне знаний. По мере развития технологий фирма в состоянии получить такой же или больший объем выпуска при неизменном наборе производственных факторов.

Количественное соотношение взаимозаменяемых факторов позволяет оценить коэффициент, называемый предельной технологической нормой замещения (MRTS ).

Предельная норма технологического замещения труда капиталом представляет собой величину, на которую можно сократить капитал за счет использования дополнительной единицы труда без изменения объема выпуска. Математически это можно выразить так:

MRTS LK = - dK / dL = - ΔK / ΔL

где ΔK - изменение величины используемого капитала;

ΔL изменение трудозатрат на одну единицу продукции.

Рассмотрим вариант расчетов производственной функции и замещения факторов производства для гипотетической фирмы X.

Предположим, что данная фирма может изменять объемы производственных факторов, труд и капитал от 1 до 5 единиц. Изменения объемов выпуска, связанные с этим, могут быть представлены в виде таблицы, которая носит название «Производственная сетка» (табл. 2).

Таблица 2

Производственная сетка фирмы Х

Затраты капитала	Затраты труда
Затраты капитала

Для каждой комбинации основных факторов мы определили максимально возможный выпуск продукции, т. е. значения производственной функции. Обратим внимание на тот факт, что, скажем, объем выпуска в 75 единиц достигается при четырех различных комбинациях труда и капитала, объем в 90 единиц - при трех комбинациях, 100 - при двух и т. д.

Представив производственную сетку графически, мы получим кривые, которые являются еще одним вариантом модели производственной функции, ранее зафиксированной в виде алгебраической формулы. Для этого мы соединим точки, которые соответствуют сочетаниям труда и капитала, позволяющим получить один и тот же объем выпуска (рис. 1).

Рис. 1. Карта изоквант.

Созданная графическая модель называется изоквантной. Набор изоквант - картой изоквант.

Итак, изокванта - это кривая, каждая точка которой соответствует сочетаниям производственных факторов, обеспечивающим определенный максимальный объем выпуска продукции фирмы.

Для того чтобы получить один и тот же объем выпуска, мы можем сочетать факторы, двигаясь в поиске вариантов вдоль изокванты. Движение по изокванте вверх означает, что фирма отдает предпочтение капиталоемкому производству, увеличивая количество станков, мощность электродвигателей, число компьютеров и т. п. Движение вниз отражает предпочтение фирмы в пользу трудоемкого производства.

Выбор фирмы в пользу трудоемкого или капиталоемкого варианта производственного процесса зависит от условий предпринимательства: общей суммы денежного капитала, которым располагает фирма, соотношения цен на факторы производства, производительности факторов и так далее.

Если D - денежный капитал;Р K - цена на капитал;Р L - цена на труд, то количество факторов, которое может приобрести фирма, полностью расходовав денежный капитал,К – количество капитала,L – количество труда, будет определяться формулой:

D = P K K + P L L

Это уравнение прямой, все точки которой соответствуют полному использованию денежного капитала фирмы. Такая кривая называется изокостой или бюджетной линией.

Рис. 2. Равновесие производителя.

На рис. 2 мы совместили линию бюджетного ограничения фирмы, изокосту (АВ) с картой изоквант, т. е. набором альтернатив производственной функции (Q 1 ,Q 2 ,Q 3), чтобы показать точку равновесия производителя(Е).

Равновесие производителя - это такое положение фирмы, для которого характерно полное использование денежного капитала и при этом достижение максимально возможного для данного количества ресурсов объема выпуска.

В точке Е изокванта и изокоста имеют равный угол наклона, величину которого определяет показатель предельной нормы технологического замещения(MRTS ).

Динамика показателя MRTS (он возрастает при движении вверх вдоль изокванты) показывает, что существуют пределы взаимозамещения факторов, связанные с тем, что эффективность использования производственных факторов ограничена. Чем большее количество труда используется для вытеснения капитала из производственного процесса, тем меньше производительность труда. Аналогичным образом замещение труда все большим количеством капитала снижает отдачу последнего.

Производство требует сбалансированного сочетания обоих производственных факторов для наилучшего их использования. Предпринимательская фирма готова заменить один фактор на другой при условии выигрыша или, по меньшей мере, равенства потери и выигрыша в производительности.

Но на рынке факторов важно учитывать не только их производительность, но и цены на них.

Наилучший вариант использования денежного капитала фирмы, или положение равновесия производителя, подчиняется следующему критерию: положение равновесия производителя достигается, когда предельная норма технологического замещения факторов производства равна соотношению цен на эти факторы. Алгебраически это можно выразить так:

- P L / P K = - dK / dL = MRTS

где P L , P K - цены на труд и капитал;dK , dL - изменение количества капитала и труда;MTRS - предельная норма технологического замещения.

Анализ технологических аспектов производства фирмы, максимизирующей прибыль, представляет интерес лишь с точки зрения достижения наилучших конечных результатов, т. е. продукта. Ведь вложения в ресурсы для предпринимателя являются только издержками, которые необходимо нести, чтобы получить продукт, реализуемый на рынке и приносящий доход. Затраты приходится сопоставлять с результатом. Показатели результата, или продукта, приобретают поэтому особое значение.

Производственными функциями называются экономико-математические модели, связывающие переменные величины затрат с величинами выпуска. Понятия "затраты" и "выпуск" имеют отношение, как правило, к процессу производства продукции; это объясняет происхождение названия данного типа моделей. Если рассматривается экономика региона или страны в целом, то разрабатываются агрегированные производственные функции, в которых выпуском служит показатель совокупного общественного продукта. Частными случаями производственных функций являются функции выпуска (зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов), функции издержек (связь объема продукции и издержек производства), функции капитальных затрат (зависимость капитальных вложений от производственной мощности создаваемых предприятий) и др.

Широко используются мультипликативные формы представления производственных функций. В самом общем виде мультипликативная производственная функция записывается следующим образом:

Здесь коэффициент А определяет размерность величин и зависит от избранных единиц измерения затрат и выпуска. Сомножители X i представляют влияющие факторы и могут иметь различное экономическое содержание в зависимости от того, какие факторы влияют на величину выпуска Р. Степенные параметры α, β, ..., γ показывают ту долю в приросте конечного продукта, которую вносит каждый из факторов-сомножителей; они называются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса и показывают, на сколько процентов возрастает выпуск при увеличении затрат данного ресурса на один процент.

Сумма коэффициентов эластичности имеет важное значение для характеристики свойств производственной функции. Предположим, что затраты всех видов ресурсов возрастают в k раз. Тогда величина выпуска в соответствии с (7.16) составит

Следовательно, если , то при увеличении затрат в к раз выпуск возрастает также в k раз; производственная функция в этом случае является линейно однородной. При Е > 1 такое же увеличение затрат приведет к росту выпуска более чем в к раз, а при Е < 1 – менее чем в к раз (так называемый эффект масштаба).

В качестве примера мультипликативных производственных функций можно привести широко известную производственную функцию Кобба – Дугласа:

N – национальный доход;

А – коэффициент размерности;

L, К – объемы приложенного труда и основного капитала соответственно;

α и β – коэффициенты эластичности национального дохода но труду L и капиталу К.

Эта функция применялась американскими исследователями при анализе развития экономики США в 30-х годах прошлого века.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя основными показателями: средняя (абсолютная ) эффективность ресурса

и предельная эффективность ресурса

Экономический смысл величины μi очевиден; в зависимости от типа ресурса она характеризует такие показатели, как производительность труда, фондоотдача и др. Величина v i показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат i-го ресурса на "малую единицу" (на 1 руб., на 1 нормо-час и т.д.).

Множество точек n -мерного пространства факторов производства (ресурсов), удовлетворяющих условию постоянства выпуска Р (Х ) = С, называется изоквантой. Важнейшими свойствами изоквант являются следующие: изокванты не пересекаются друг с другом; большей величине выпуска соответствует более удаленная от начала координат изокванта; если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с координатными гиперплоскостями и с осями координат.

В материальном производстве большое значение приобретает понятие взаимозаменяемости ресурсов. В теории производственных функций возможности замещения ресурсов характеризуют производственную функцию с точки зрения различных комбинаций затрат ресурсов, приводящих к одному и тому же уровню выпуска продукта. Поясним это на условном примере. Пусть производство определенного количества сельхозпродукции требует 10 работников и 2 т удобрений, а при внесении в почву только 1 т удобрений потребуется уже 12 работников для получения того же урожая. Здесь 1 т удобрений (первый ресурс) заменяется трудом двух работников (второй ресурс).

Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в некоторой точке вытекают из равенства dP = 0:

Отсюда предельная норма замещения (эквивалентной заменяемости) каких-либо двух ресурсов k и l задается формулой

(7.20)

Предельная норма замещения как показатель производственной функции характеризует относительную эффективность допускающих взаимную замену факторов производства при движении вдоль изокванты. Например, для функции Кобба – Дугласа предельная норма замещения затрат труда затратами капитала, т.е. производственными фондами, имеет вид

(7.21)

Знак минус в правых частях формул (7.20) и (7.21) означает, что при фиксированном объеме производства увеличению одного из взаимозаменяемых ресурсов соответствует уменьшение другого.

Пример 7.1. Рассмотрим пример производственной функции Кобба – Дугласа, для которой известны коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу: α = 0,3; β = 0,7, а также затраты труда и капитала: L = 30 тыс. чел.; К = 490 млн руб. В этих условиях предельная норма замещения производственных фондов затратами труда равна

Таким образом, в этом условном примере в тех точках двухмерного пространства (L, К ), где ресурсы труда и капитала взаимозаменяемы, уменьшение производственных фондов на 7 тыс. руб. может быть компенсировано увеличением затрат труда на 1 чел., и наоборот.

С понятием предельной нормы замещения связано понятие эластичности замещения ресурсов. Коэффициент эластичности замещения характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы замещения этих ресурсов:

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов должно измениться отношение между взаимозаменяемыми ресурсами, чтобы предельная норма замещения этих ресурсов изменилась на 1%. Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности () не существует границ взаимозаменяемости ресурсов. При нулевой эластичности замещения () возможность замены отсутствует; в этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном соотношении.

Рассмотрим в дополнение к функции Кобба – Дугласа некоторые другие производственные функции, широко используемые в качестве эконометрических моделей. Линейная производственная функция имеет вид

– оцениваемые параметры модели;

, – факторы производства, взаимозамещаемые в любых пропорциях (эластичность замещения ).

Изокванты этой производственной функции образуют семейство параллельных гиперплоскостей в неотрицательном ортанте n -мерного пространства факторов.

Во многих исследованиях применяются производственные функции с постоянной эластичностью замещения .

(7.23)

Производственная функция (7.23) является однородной функцией степени п. Все эластичности замещения ресурсов равны между собой:

вследствие этого данная функция называется функцией с постоянной эластичностью замещения (функцией CES ). Если , эластичность замещенияменьше единицы; если , величина больше единицы; при функция CES преобразуется в мультипликативную степенную производственную функцию (7.16).

Двухфакторная функция CES имеет вид

При п = 1 и р = 0 эта функция преобразуется в функцию типа функции Кобба – Дугласа (7.17).

Кроме производственных функций с постоянными коэффициентами эластичности выпуска от ресурсов и постоянной эластичностью замещения ресурсов в экономическом анализе и прогнозировании применяются и функции более общего вида. В качестве примера можно привести функцию

Эта функция отличается от функции Кобба – Дугласа множителем , где z = K/L – фондовооруженность (капиталовооруженность) труда, и в ней эластичность замещения принимает различные значения в зависимости от уровня капиталовооруженности труда. В связи с этим данная функция относится к типу производственных функций с переменной эластичностью замещения (функции VES ).

Перейдем к рассмотрению ряда вопросов практического использования производственных функций в экономи-

ческом анализе. Макроэкономические производственные функции применяются как инструмент прогнозирования объемов валовой продукции, конечного продукта и национального дохода, для анализа сравнительной эффективности факторов производства. Так, важным условием роста производства и производительности труда является увеличение фондовооруженности труда. Если для функции Кобба – Дугласа

задать условие линейной однородности , то из соотношения между производительностью труда (P/L ) и фондовооруженностью труда (K/L )

(7.24)

следует, что производительность труда растет медленнее фондовооруженности, так как . Этот вывод, как и многие другие результаты анализа на основе производственных функций, всегда справедлив для статических производственных функций, не учитывающих совершенствования технических средств труда и качественных характеристик используемых ресурсов, т.е. без учета технического прогресса. Для оценки параметров модели (7.24) ее линеаризируют путем логарифмирования:

Наряду с количественным увеличением используемых объемов ресурсов (трудовых ресурсов, производственных фондов и т.д.) важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, заключающийся в совершенствовании технических средств и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации управления производством. Статические эконометрические модели, в том числе и статические производственные функции, не учитывают фактор технического прогресса, поэтому используются динамические макроэкономические производственные функции, параметры которых определяются путем обработки временных рядов. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях в виде тенденции развития производства, зависящей от времени.

Например, функция Кобба – Дугласа с учетом фактора технического прогресса приобретает следующий вид:

В модели (7.25) множитель отражает тенденцию развития производства, связанную с научно-техническим прогрессом. В этом множителе t – время, а λ – темп прироста выпуска продукции благодаря техническому прогрессу. При практическом использовании модели (7.25) для оценки ее параметров проводится линеаризация путем логарифмирования, аналогично модели (7.24):

Следует особо отметить, что при построении производственных функций, как и для всех многофакторных эконометрических моделей, весьма важным моментом является правильный отбор влияющих факторов . В частности, необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности факторов и явлений автокорреляции внутри каждого из них. Этот вопрос детально описан в параграфе 7.1 данной главы. При оценке параметров производственных функций на основе статистических наблюдений, включая временные ряды, основным методом является метод наименьших квадратов.

Рассмотрим применение производственных функций для экономического анализа и прогнозирования на условном примере из области экономики труда.

Пример 7.2. Пусть объем выпуска продукции отрасли характеризуется производственной функцией типа функции Кобба – Дугласа:

Р – объем выпуска продукции (млн руб.);

Т – численность работников отрасли (тыс. чел.);

Ф – среднегодовая стоимость основных производственных фондов (млн руб.).

Допустим, параметры этой производственной функции известны и равны: а = 0,3; β = 0,7; коэффициент размерности А = = 0,6 (тыс. руб./чел.)0,3. Известна также величина среднегодовой стоимости основных производственных фондов Ф = 900 млн руб. В этих условиях требуется:

1) определить количество работников отрасли, необходимое для выпуска продукции в объеме 300 млн руб.;
2) выяснить, как изменится выпуск продукции при увеличении численности работающих па 1% и тех же объемах производственных фондов;
3) оценить взаимозаменяемость материальных и трудовых ресурсов.

Чтобы ответить на вопрос первого задания, линеаризируем эту производственную функцию путем логарифмирования по натуральному основанию;

откуда следует, что

Подставляя исходные данные, получим

Отсюда (тыс. чел.).

Рассмотрим второе задание. Так как , данная производственная функция является линейно однородной; в соответствии с этим коэффициенты аир являются коэффициентами эластичности выпуска по труду и фондам соответственно. Следовательно, увеличение числа работающих отрасли на 1% при неизменном объеме производственных фондов приведет к росту выпуска продукции на 0,3%, т.е. выпуск составит 300,9 млн руб.

Переходя к третьему заданию, рассчитаем предельную норму замещения производственных фондов трудовыми ресурсами. В соответствии с формулой (7.21)

Таким образом, при условии взаимозаменяемости ресурсов для обеспечения постоянства выпуска (т.е. при движении по изокванте) уменьшение производственных фондов отрасли на 3,08 тыс. руб. может быть возмещено увеличением трудовых ресурсов на 1 чел., и наоборот.

Рассмотрим простейшие модели производства и потребления. Модели производства строятся с помощью производственных функций, а модели потребления на основе целевой функции потребления.

Производственные функции и их характеристики

Простейшую модель производства можно представить как некоторую систему, перерабатывающую различные виды ресурсов в готовую продукцию.

В качестве ресурсов могут выступать:

сырье;
трудовые затраты;
энергозатраты;
научно-исследовательские ресурсы;
технологические ресурсы;
транспортные ресурсы и др.

Производственной функцией называется зависимость между объёмом произведённой продукции у, и затратами различных видов ресурсов, необходимых для выпуска этой продукции :
.
На практике для упрощения модели часто используют двухфакторную производственную функцию , включающую два вида ресурсов:
1. материальные , включающие затраты сырья, энергии, транспортные и др. ресурсы;
2. трудовые ресурсы .
Производственная функция должна удовлетворять ряду требований :
1. Без затрат ресурсов нет выпуска: f (0,0)=0.
2. С увеличением затрат любого из ресурсов выпуск растёт, т.е. производственная функция должна быть возрастающей по любому из факторов.
3. Закон убывания эффективности : при одних и тех же абсолютных увеличениях затрат любого из ресурсов Δх прирост объёма производства Δу тем меньше, чем больше выпуск продукции. Другими словами, производственная функция должна быть выпуклой по каждому аргументу.
Зная производственную функцию, можно рассчитать ряд числовых характеристик . Рассмотрим основные из них.
1. Средней производительностью
, ,
которые имеют смысл среднего выпуска продукции из расчета единичных затрат данного ресурса.
Если - материальные затраты, а - трудовые, то A 1 называется капиталоотдачей, а А 2 - называетсяпроизводительностью труда.
2. Предельной или маржинальной производительностью по каждому ресурсу называются величины:
, .
Эти величины показывают приближённо на сколько единиц изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на единицу: .
3. Частной эластичностью по каждому ресурсу называются величины:

Эластичности приближенно показывают на сколько процентов изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на один процент: .
Величина называется полной эластичностью или эластичностью производства .
4. Технологической нормой замены называется величина , которая приближенно показывает как изменится выпуск, если единицу одного ресурса заменить единицей другого.
ПРИМЕР. Производственная функция имеет вид . Найти средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены.
Решение.
Средние производительности равны:

Предельные производительности равны:

Эластичности равны:

Технологическая норма замены есть
.

Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейная и Кобба-Дугласа.
Линейная производственная функция имеет вид:
.
Она строится в случаях, когда объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяетпервому и третьему требованиям к производственным функциям, поэтому ее можно использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок). Для выполнения второго требования необходимо выполнение условий .
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
.
Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий:
Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций.
Для линейной функции будет:

Таким образом, коэффициенты а 1 и а 2 линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей и их можно вычислять по формулам:
. (6.1)
Для производственной функции Кобба-Дугласа будет:

Таким образом, коэффициенты а 1 и а 2 производственной функции Кобба-Дугласа имеют смысл частных эластичностей и их можно вычислять по формулам:
(6.2)
Пример. Некоторое предприятие, затрачивая для производства 65 единиц материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.
Решение.

Линейная функция

. Для нахождения параметров а 1 и а 2 используем формулу (8.1):

Получаем

. Для нахождения b

решаем уравнение относительно b , получаем . В итоге получаем линейную производственную функцию

.
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид . По формуле (8.2) находим коэффициенты уравнения:

.
Получаем уравнение вида . Для нахождения b подставляем в уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы:

. Вычисляя, получаем

. В результате, производственная функция имеет вид:

Целевая функция потребления

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.
Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U . Предположим, что имеется n видов благ Б 1 , Б 2 ,…, Б n . В качестве благ могут выступать:
- продовольственные товары;
- товары первой необходимости;
- товары второй необходимости;
- предметы роскоши;
- платные услуги и т.д.
Пусть количество потребления каждого блага равно х 1 , х 2 ,…, х n . Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х 1 , х 2 ,…,х n . Эта функция имеет вид: .
В пространстве потребительских благ каждому уравнению соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называетсяповерхностью безразличия . Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде: , где С - константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б 1 и непродовольственные товары, включая платные услуги Б 2 . Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С . Для этого выражают количество потребления одного блага х 1 через другое х 2 . Рассмотрим пример.
Пример. . Найти кривые безразличия.
Решение. Кривые безразличия имеют вид , или или (при этом следует отметить, что должно выполняться ).
Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако, максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р 1 , р 2 ,…, р n , а доход потребителя через D . Тогда должно выполняться бюджетное ограничение , имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:
.
В результате, для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:
(6.3)
Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х 1 – объем потребления продуктов питания и х 2 . – потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых и неравенство превратиться в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:
(6.4)
Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.
Из бюджетного ограничения системы (8.4) можно выразить переменную . Подставив это выражение в целевую функцию, получаем функцию одной переменной , максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: .
Пример. Целевая функция потребления имеет вид: . Цена на благо Б 1 равна 20, цена на благо Б 2 равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.
Решение. Кривые безразличия имеют вид:
.
Получаем множество гипербол расположенных в первой координатной четверти и расположенных на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С .
Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

Для ее решения выражаем их бюджетного ограничения одну переменную через другую:

Получаем .
Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

или , откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .
Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу:
.

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов - материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию.Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.

2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды.Мгновенный период - период, когда все ресурсы являются фиксированными.Короткий период - период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным.Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.

Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:

A, α, β - заданные параметры. ПараметрА - это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величинаА возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β - это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.

Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.

Рис. 8.1. Изокванта

Если отложить по горизонтальной оси количество единиц труда, а по вертикальной - количество единиц капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится кривая, представленная на рисунке 14.1 и называемая изоквантой.

Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов, при которой фирма выпускает заданный объем продукции.

Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант .

Свойства изоквант

Свойства стандартных изоквант аналогичны характеристикам кривых безразличия:

1. Изокванта, так же как и кривая безразличия, является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек.

2. Для любого заданного объема выпуска может быть проведена своя изокванта, отражающая различные комбинации экономических ресурсов, обеспечивающих производителю одинаковый объем производства (изокванты, описывающие данную производственную функцию, никогда не пересекаются).

3. Изокванты не имеют участков возрастания (Если бы участок возрастания существовал, то при движении вдоль него увеличивалось бы количество как первого, так и второго ресурса).

Понятие рынка. В самом общем виде рынок - это система экономических отношений, складывающихся в процессе производства, обращения и распределения товаров, а также движения денежных средств. Рынок развивается вместе с развитием товарного производства, вовлекая в обмен не только произведенные продукты, но и продукты, не являющиеся результатом труда (земля, дикорастущий лес). В условиях господства рыночных связей все отношения людей в обществе охвачены куплей-продажей.

Более конкретно рынок представляет сферу обмена (обращения), в которой

осуществляется связь между агентами общественного производства в форме

купли-продажи, т. е. связь производителей и потребителей, производства и

потребления.

Субъектами рынка являются продавцы и покупатели. В качестве продавцов

и покупателей выступают домохозяйства (в составе одного или нескольких

лиц), фирмы (предприятия), государство. Большинство субъектов рынка

действуют одновременно и как покупатели, и как продавцы. Все хозяйственные

субъекты тесно взаимодействуют на рынке, образуя взаимосвязанный «поток»

купли-продажи.

Фирма – это самостоятельный экономический субъект, занимающийся коммерческой и производственной деятельностью и обладающий обособленным имуществом.

Фирма имеет следующие признаки:

представляет собой экономически обособленную, самостоятельную хозяйственную единицу;
юридически зарегистрирована и в этом плане относительно независима: имеет собственный бюджет, устав и бизнес-план
является своеобразным посредником в производстве
любая фирма самостоятельно принимает все решения, связанные с ее функционированием, поэтому можно говорить о ее производственной и коммерческой независимости
целями фирмы считаются получение прибыли и минимизация издержек.

Фирма как самостоятельный экономический субъект выполняет ряд важных функций.

1. Производственная функция подразумевает способность фирмы организовать производство по изготовлению товаров и услуг.

2. Коммерческая функция обеспечивает материально-техническое снабжение, сбыт готовой продукции, а также маркетинг и рекламу.

3. Финансовая функция: привлечение инвестиций и получение кредитов, расчеты внутри фирмы и с партнерами, выпуск ценных бумаг, уплата налогов.

4. Счетная функция: составление бизнес-плана, балансов и смет, проведение инвентаризации и отчетов в органы государственной статистики и налогов.

5. Административная функция – функция управления, включающая организацию, планирование и контроль над деятельностью в целом.

6. Правовая функция осуществляется через соблюдение законов, норм и стандартов, а также через выполнение мер по охране факторов производства.

Нельзя отождествлять эластичность и наклон кривой спроса, ибо это разные понятия. Различия между ними можно проиллюстрировать на эластичности прямой линии спроса (рис. 13.1).

На рис. 13.1 мы видим, что прямая линия спроса в каждой точке имеет одинаковый наклон. Однако выше середины спрос эластичный, ниже середины спрос неэластичный. В точке, расположенной посередине, эластичность спроса равна единице.

Об эластичности спроса можно судить по наклону только вертикальной или горизонтальной линии.

Рис. 13.1. Эластичность и наклон - разные понятия

Наклон кривой спроса – его пологость или крутизна - зависит от абсолютных изменений цены и количества продукции, тогда как теория эластичности имеет дело с относительными, или процентными, изменениями цены и количества. Различие между наклоном кривой спроса и его эластичностью можно также вполне уяснить себе, подсчитав показатель эластичности для различных комбинаций цены и количества продукции, расположенных на прямолинейной кривой спроса. Вы обнаружите, что, хотянаклон, очевидно, остается неизменным на всем протяжении кривой, спрос является эластичным на отрезке высоких цен и неэластичным - на отрезке низких цен.

ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА ПО ДОХОДУ - мера чувствительности спроса к изменению дохода; отражает относительное изменение спроса на какое-либо благо вследствие изменения дохода потребителя.

Эластичность спроса по доходу выступает в следующих основных формах:

· положительная, предполагающая, что увеличение дохода (при прочих равных условиях) сопровождается ростом объемов спроса. Положительная форма эластичности спроса по доходу относится к нормальным товарам, в частности, к товарам роскоши;

· отрицательная, предполагающая сокращение объема спроса с увеличением дохода, т. е. существование обратного соотношения между доходом и объемом покупок. Эта форма эластичности распространяется на некачественные блага;

· нулевая, означающая, что объем спроса нечувствителен к изменению дохода. Это блага, потребление которых нечувствительно к доходам. К ним, в частности, относятся товары первой необходимости.

Эластичность спроса по доходу зависит от следующих факторов:

· от значимости того или иного блага для бюджета семьи. Чем больше благо нужно семье, тем меньше его эластичность;

· является ли данное благо предметом роскоши или первой необходимости. Для первого блага эластичность выше, чем для последнего;

· от консерватизма спроса. При увеличении дохода потребитель не сразу переходит на потребление более дорогих благ.

Необходимо отметить, что для потребителей, имеющих разный уровень дохода, одни и те же товары могут относиться или к предметам роскоши, или к предметам первой необходимости. Подобная оценка благ может иметь место и для одного и того же индивида, когда у него изменяется уровень дохода.

На рис. 15.1 изображены графики зависимости QD от I при различных значениях эластичности спроса по доходу.

Рис. 15.1. Эластичность спроса по доходу: а) качественные неэластичные блага; б) качественные эластичные блага; в) некачественные блага

Сделаем краткий комментарий к рис. 15.1.

Спрос на неэластичные блага увеличивается с ростом дохода лишь при низких доходах домохозяйств. Затем начиная с некоторого уровня I1 спрос на эти блага начинает сокращаться.

Спрос на эластичные блага (например предметы роскоши) до некоторого уровня I2 отсутствует, поскольку домохозяйства не имеют возможности приобретать их, а затем увеличивается с увеличением дохода.

Спрос на некачественные блага вначале увеличивается, но начиная со значения I3 сокращается.

Похожая информация.

Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства..

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов .

Производственная функция может быть представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства. Такой вид функции, когда устанавливается явная зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска.

В частности, широко используются функции выпуска в сельском хозяйстве, где с их помощью изучается влияние на урожайность таких факторов, как, напр., разные виды и составы удобрений, методы обработки почвы. Наряду с подобными производственной функцией используются обратные к ним функции производственных затрат. Они характеризуют зависимость затрат ресурсов от объемов выпуска продукции (строго говоря, они обратны только к ПФ с взаимозаменяемыми ресурсами). Частными случаями ПФ можно считать функцию издержек (связь объема продукции и издержек производства), инвестиционную функцию: зависимость потребных капиталовложений от производственной мощности будущего предприятия .

Существует широкий выбор алгебраических выражений, которые можно использовать для представления производственных функций. Простейшая модель - это специальный случай общей модели анализа производства. Если фирме доступен только один вид деятельности, то производственную функцию можно представить прямоугольными изоквантами с постоянной отдачей от масштаба. Возможность изменять соотношение факторов производства отсутствует, и эластичность замены, безусловно, равна нулю. Это крайне специализированная производственная функция, но ее простота объясняет ее широкое применение во многих моделях .

Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени ..

Производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска.

Рисунок 2 _ Изокванты, соответствующие различному объему производства

На рис. 1 представлено три изокванты, соответствующие объему производства в 200, 300 и 400 единиц продукции. Можно сказать, что для выпуска 300 единиц продукции необходимо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда или K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, или любая другая их комбинация из того множества, которое представлено изоквантой Y 2 = 300.

В общем случае в множестве X допустимых наборов производственных факторов выделяется подмножество X c , называемое изоквантой производственной функции, которое характеризуется тем, что для всякого вектора справедливо равенство

Таким образом, для всех наборов ресурсов, соответствующих изокванте, оказываются равными объемы выпускаемой продукции. По существу изокванта представляет собой описание возможности взаимной замены факторов в процессе производства продукции, обеспечивающей неизменный объем производства. В связи с этим оказывается возможным определить коэффициент взаимной замены ресурсов, используя дифференциальное соотношение вдоль любой изокванты

Отсюда коэффициент эквивалентной замены пары факторов j и k равен:

Полученное соотношение показывает, что если производственные ресурсы замещаются в отношении, равном отношению приростных продуктивностей, то количество производимой продукции остается неизменным. Нужно сказать, что знание производственной функции позволяет охарактеризовать масштабы возможности осуществить взаимную замену ресурсов в эффективных технологических способах. Для достижения этой цели служит коэффициент эластичности замены ресурсов по продукции

который вычисляется вдоль изокванты при неизменном уровне затрат прочих производственных факторов. Величина sjk представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на sjk процентов, то коэффициент взаимной замены sjk изменится на один процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность s jk = 1. Соответственно большие значения sjk свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо .

Для степенных производственных функций для любой пары взаимозаменяемых ресурсов справедливо равенство s jk = 1.

Представление эффективного технологического множества с помощью скалярной производственной функции оказывается недостаточным в тех случаях, когда нельзя обойтись единственным показателем, описывающим результаты деятельности производственного объекта, но необходимо использовать несколько (М) выходных показателей (рисунок 3).

Рисунок 3 _ Различные случаи поведения изоквант

В этих условиях можно использовать векторную производственную функцию

Важное понятие предельной (дифференциальной) продуктивности вводится соотношением

Аналогичное обобщение допускают все остальные главные характеристики скалярных ПФ.

Подобно кривым безразличия изокванты также подразделяются на различные типы.

Для линейной производственной функции вида

где Y объем производства; A , b 1 , b 2 параметры; K , L затраты капитала и труда, и полном замещении одного ресурса другим изокванта будет иметь линейную форму (рисунок 4, а).

Для степенной производственной функции

Тогда изокванты будут иметь вид кривых (рисунок 4,б).

Если изокванта отражает лишьодин технологический способ производства данного продукта, то труд и капитал комбинируются в единственно возможном сочетании (рисунок 4,в).

г) Ломаные изокванты

Рисунок 4 - Разные варианты изоквант

Такие изокванты иногда называют изоквантами леонтьевского типа по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода inputoutput (затраты выпуск).

Ломаная изокванта предполагает наличие ограниченного количества технологий F (рисунок 4,г).

Изокванты подобной конфигурации используются в линейном программировании для обоснования теории оптимального распределения ресурсов. Ломаные изокванты наиболее реалистично представляют технологические возможности многих производственных объектов. Однако в экономической теории традиционно используют главным образом кривые изокванты, которые получаются из ломаных при увеличении числа технологий и увеличении соответственно точек излома .

Наиболее широко распространены мультипликативно-степенные формы представления производственных функций. Их особенность состоит в следующем: если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается в нуль. Легко заметить, что это реалистично отражает тот факт, что в большинстве случаев в производстве участвуют все анализируемые первичные ресурсы и без любого из них выпуск продукции оказывается невозможным. В самой общей форме (она называется канонической) эта функция записывается так:

Здесь коэффициент А, стоящий перед знаком умножения, учитывает размерность, он зависит от избранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (выпуск). Напр., в ПФ, которая применяется для изучения экономики в целом, можно в качестве результативного показателя принять объем конечного продукта, а сомножителей - численность занятого населения x1, сумму основных и оборотных фондов x2, площадь используемой земли x3. Только два сомножителя у функции Кобба-Дугласа, с помощью которой была сделана попытка оценить связь таких факторов, как труд и капитал, с ростом национального дохода США в 20-30-е гг. ХХ в.:

N = A · Lб · Kв,

где N - национальный доход; L и K - соответственно объемы приложенного труда и капитала (подробнее см.;Кобба-Дугласа функция).

Степенные коэффициенты (параметры) мультипликативно-степенной производственной функции показывают ту долю в процентном приросте конечного продукта, которую вносит каждый из сомножителей (или на сколько процентов возрастет продукт, если затраты соответствующего ресурса увеличить на один процент); они являются коэффициентами эластичности производства относительно затрат соответствующего ресурса. Если сумма коэффициентов составляет 1, это означает однородность функции: она возрастает пропорционально росту количества ресурсов. Но возможны и такие случаи, когда сумма параметров больше или меньше единицы; это показывает, что увеличение затрат приводит к непропорционально большему или непропорционально меньшему росту выпуска - эффект масштаба .

В динамическом варианте применяются разные формы производственной функции. Например в 2-факторном случае: Y(t) = A(t) Lб(t) Kв(t), где множитель A(t) обычно возрастает во времени, отражая общий рост эффективности производственных факторов в динамике.

Логарифмируя, а затем дифференцируя по t указанную функцию, можно получить соотношения между темпами прироста конечного продукта (национального дохода) и прироста производственных факторов (темпы прироста переменных принято здесь описывать в процентах).

Дальнейшая “динамизация” ПФ может заключаться в использовании переменных коэффициентов эластичности.

Описываемые ПФ соотношения носят статистический характер, т. е. проявляются только в среднем, в большой массе наблюдений, поскольку реально на результат производства воздействуют не только анализируемые факторы, но и множество неучитываемых. Кроме того, применяемые показатели как затрат, так и результатов неизбежно являются продуктами сложного агрегирования (напр., обобщенный показатель трудовых затрат в макроэкономической функции вбирает в себя затраты труда разной производительности, интенсивности, квалификации и т. д.).

Особая проблема - учет в макроэкономических ПФ фактора технического прогресса (подробнее см. в ст. “Научно-технический прогресс”). С помощью ПФ изучается также эквивалентная взаимозаменяемость факторов производства (см. Эластичность замещения ресурсов), которая может быть либо неизменной, либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресурсов). Соответственно функции делят на два вида: с постоянной эластичностью замены (CES - Constant Elasticity of Substitution) и с переменной (VES - Variable Elasticity of Substitution) (см. ниже).

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических ПФ: на основе обработки временных рядов, на основе данных о структурных элементах агрегатов и о распределении национального дохода. Последний метод называется распределительным.

При построении производственной функции необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - в противном случае неизбежны грубые ошибки.

Приведем некоторые важные производственные функции.

Линейная производственная функция:

P = a1x1 + ... + anxn,

где a1, ..., an - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях.

Функция CES:

P = A [(1 - б) K-b + бL-b]-c/b,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от K, ни от L и, следовательно, постоянна:

Отсюда и происходит название функции.

Функция CES, как и функция Кобба- Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа .

Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).
2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

В наиболее общем виде производственная функция выглядит следующим образом:

где - объем выпуска;

K- капитал (оборудование);

М- сырье, материалы;

Т - технология;

N - предпринимательские способности.

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К).

Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые - экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

где А - производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и труд;

б,в -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

Если б = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

2) непропорционально - возрастающую

3) убывающую

Рассмотрим короткий период деятельности фирмы, в котором из двух факторов переменным является труд. В такой ситуации фирма может увеличить производство за счет использования большего количества трудовых ресурсов (рисунок 5).

Рисунок 5_ Динамика и взаимосвязь общего среднего и предельного продуктов

На рисунке 5 виден график производственной функции Кобба - Дугласа с одной переменной изображен - кривая ТРн .

Функция Кобба-Дугласа имела долгую и успешную жизнь без серьезных соперников, но недавно ей составила сильную конкуренцию новая функция Эрроу, Ченери, Минхаса и Солоу, которую мы будем называть сокращенно SMAC. (Браун и Де Кани также разработали эту функцию независимо). Основное отличие функции SMAC заключается в том, что вводится постоянная эластичности замещения у, отличная от единицы (как в функции Кобба-Дугласа) и нуля: как в модели затраты- выпуск .

Разнообразие рыночных и технологических условий, какое наблюдается в современной экономике, внушает мысль о невозможности удовлетворить основным требованиям разумного агрегирования, за исключением, может быть, отдельных фирм в одной и той же отрасли или ограниченных секторов экономики .

Таким образом, в экономико-математических моделях производства каждая технология графически может быть представлена точкой, координаты которой отражают минимально необходимые затраты ресурсов K и L для производства данного объема выпуска. Множество таких точек образуют линию равного выпуска, или изокванту. Т.е., производственная функция графически представляется семейством изоквант. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем производства она отражает. В отличие от кривой безразличия, каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска от количества используемых труда и капитала.