Макарова Т.И. Симметрия в растительном орнаменте Древней Руси / в книге «Древняя Русь и славяне». - М., 1978. - С. 370.

Орнамент в произведениях древнерусского искусства редко являлся предметом специального исследования. Между тем наблюдение за его развитием позволяет установить определенные закономерности, облегчающие его осмысление. Цель настоящей статьи - проследить формальные закономерности построения орнамента в памятниках искусства XI-XIII вв. и определить причины их стилистической общности. Больше всего этот вопрос был разработан па памятниках письменности.

Палеографом В. Щепкиным были выработаны методологические основы изучения древнерусского орнамента. В. Щепкин заложил основы генетического анализа орнамента, выявляя его исходный элемент (мотив) и характер его изменений (удвоением, делением и т.д.). Далее, он сформулировал механизм создания композиций из отдельных элементов: «комбинация мотивов в орнаменте происходит... на основании инстинктов симметрии и ритма». Наконец, он дал характеристику орнамента в целом, определив, что орнаменты различаются между собой
«1) по содержанию своих мотивов,
2) по способу их сочетания,
3) по характеру своей рамы».
Однако в литературе чаще вспоминают другой аспект работы В. Щепкина - ту классификацию русского книжного орнамента с XI в. до нового времени, которая в основных чертах остается в силе и поныне. Нам представляется, что предложенная В. Щепкиным методика изучении книжного орнамента заслуживает внимания для исследования орнамента в разных областях древнерусского искусства. Попытаемся показать это на примере анализа растительного орнамента Древней Руси.

Н. Щепкин, исходя из перечисленных выше принципов, пришел к выводу, что орнаментация древнейших русских рукописных книг представляет собой известное стилистическое единство. Мысль эта была и в его время уже не новой, но именно В. Щепкину принадлежит попытка вскрыть суть этого единства. Оно, по его мнению, обусловлено тем, что в основе растительного орнамента лежит один и тот же мотив ветка. В тексте В. Щепкин ничего не говорит о происхождении этого мотива, однако на таблице графически показывает, что он образован делением трехлепесткового ростка, который правильнее всего назвать крином 4 (рис. 1, 1, 2), Именно этот элемент лежит в основе растительной орнаментации старейших русских книг: Остромирова Евангелия (1056 г.), Изборника Святослава (1073 г.), Мстислава Евангелия (до 1117 г.), Служебника Вярлмама Хутынсного (XII в.), Юрьевского Евангелия (1119-1123 гг.).

Еще в начале нашего века Н.П. Кондаков отмечал сходство орнаментации древнейших русских миниатюр с перегородчатой эмалью. Это же обстоятельство побудило Б.А. Рыбакова назвать рукописи с орнаментом, близким перегородчатым эмалям, финифтяными. Исследование орнаментации изделий с перегородчатыми эмалями показало, что эта близость заключает в себе нечто большее, чем простое подражание. В основе растительного орнамента и в данном случае оказался тот же элемент крин 8 (рис. 1, 15, 6). Иногда он идентичен крину рукописен, иногда не вполне, по общая схема их рисунка одна: в простейшем варианте это трехлепестковый цветок.

В настоящее время ближневосточное происхождение ростка-криля признается всеми исследователями. Возникновение этого символа в искусство древнейшего очага земледелия вполне логично, как логично его возрождение в земледельческих культурах Европы и Византии. Символика самого образа не исключала попыток (может быть, интуитивных) запечатлеть в нем черты окружающей природы. Но содержание его образа, как символа вечно возрождающихся сил природы, оставалось неизменным. Не будем останавливаться на вопросе, когда этот символ и выражаемая им идея впервые проникли в Восточную Европу. Вероятно, исследование этой проблемы увело бы нас во времена индоевропейской общности. Важнее другое - как эта идея в том конкретном воплощении, которое нам дают древнейшие рукописи, участвовала в построения орнаментальных композиций растительного характера. Этим аспектом проблемы мы и займемся, оставив в стороне вопросы семантики орнамента. В орнаменте крин в простейшем варианте встречается не так уж часто. Как правило, мы имеем дело с его многочисленными модификациями. Здесь мы сталкиваемся со вторым, не менее важным фактором сходства растительного орнамента рукописей и эмалей: в изменениях крина при построении из него композиций наблюдается определенное сходство, какая-то единая программа. Попытаемся проанализировать характер изменений крина сначала на примере рукописного орнамента. Для этого, исходя из сформулированных В. Щепкиным принципов, наметим самую общую его типологию.

Все композиция мы разделяем на два больших отдела: розетку и бордюр. В каждом из них разные группы композиций зависят от тех изменений, которые претерпевает основной элемент растительного орнамента рукописей крин или его производное ветка. Законы симметрии покаpывают, что бесконечное разнообразие орнамента явление кажущееся. Оно сводится к трем основным категориям: розетке, бордюру и сетке, а каждая из них может быть сведена к нескольким видам симметрии.

Рассмотрим основные композиции, образованные крином в растительном орнаменте рукописей, и с точки зрения видов симметрии.

В рукописном растительном орнаменте использованы две категории симметрии: розетка и бордюр. Они дадут два самых крупных деления в нашей типологии. Большинство композиций, составляющих основу богатого ковра растительных узоров рукописных заставок, относятся к розеткам с так называемой зеркальной симметрией. Их характеризует строгое равенство правой и левой половин.

Простейший ее пример демонстрирует крин, заключенный в круг или сердцевидную фигуру (рис. 1, 3, 4). Вторым типом композиции оказывается розетка, в которой подобный крин повторяется четырехкратно (рис. 1,5).

Третий тип композиции обусловлен дальнейшим изменением крина за счет бесконечного усложнения самой схемы его рисунка (рис. 1, 6, 7). При этом зеркальная симметрия постоянно сохраняется. Она присутствует и тогда, когда увеличивается количество лепестков, одни отгибаются вниз, другие отрываются от общего стебля и первоначальный крин с трудом угадывается в пышном цветке (рис. 1, 6); она строго соблюдается и тогда, когда крин сохраняет более строгие очертания, превращаясь в древовидную фигуру с выраженным стволом (рис. 1, 7).

Четвертый тип композиции строится из ветви, образованной делением крина пополам (рис. 1, 7, 2; 8, Л). Из ветвей-полукринов возникают пышные древа, в рисунке которых часто присутствует и крин (рис. 1, 11).

Зеркальная симметрия, одинаково характерная для всех описанных нами четырех групп композиций, придает им уравновешенный, статичный характер.

Рассмотрим теперь вторую категорию орнаментальных композиций рукописей- бордюр, т. е. ленту, состоящую из фигур, вытянутых вдоль одной прямой. Вдоль этой прямой основная фигура как бы переносится бесконечно. В бордюрах рукописного орнамента такой основной фигурой оказывается крин в простейшем (рис. 1, 13) или усложненном виде (рис. 1, 14) или ветвь-полукрин (рис 1, 12). В зависимости от этих основных фигур можно разделить бордюры на два тина. Один из них образует бордюры из повторяющихся или чередующихся кринов разных очертаний (рис. 1, 13, 14)

В другой тип бордюров мы выделяем бесконечный побег, образованный ветвями-полукринами (рис. 1, 12). Ветвь по движению бордюра как бы переносится то вниз, то вверх и создает впечатление беспрерывного движения. Для этого излюбленного в средневековом искусстве мотива, часто называемого бегунком или византийской лозой, характерен строго определенный вид симметрии. Теперь сравним композиции растительного орнамента.

Несмотря на то что на изделиях с перегородчатой эмалью крин получает иногда очертания, для кринов рукописей не свойственные (рис. 1, 18, 20), характер его изменений при построении композиций оказывается тем же, что и в растительном орнаменте рукописей. Здесь мы находим розетки с четырехкратными повторениями крина (рис. 1, 19, 20), усложненные крины древа разных очертаний (рис. 1, 23, 27).

Исключением оказывается розетка с «ветвями-полукринами», не встречающаяся в рукописном орнаменте (рис. 1, 28, 29). С точки зрения теории симметрии они представляют новый ее вид - центральную симметрию, существенно отличную от зеркальной симметрии рассмотренных выше розеток. Для нас интересно отметить, что основным элементом, многократно повторенным в этой розетке, оказывается не симметричный крин, а его половина ветвь, сама по себе асимметричная. Полученная фигура создает влечатление вращения, чем отличается от статичных розеток с кринами (рис. 1, 5; 19, 20).

Бордюры в эмалях дают нам сходные по смыслу и механизму построения композиции. На миниатюрных золотых изделиях нет места бордюру, поэтому с вариантом ленты из розеток с кринами мы встречаемся только дважды (рис. 1). Как мы видим, в растительном орнаменте рукописей и эмалей, помимо сходства основного мотива крина, одинаково сходным оказался и механизм построения композиций. Его обусловливают общие виды симметрии. Исследователь орнамента Узбекистана Л.И. Ремпель пришел к выводу, что наиболее стабильными в орнаменте оказываются не излюбленные мотивы, а «система простейших типических ритмов», образующих как бы его «каркас» 16.

Именно характерные виды симметрии и составили тот «каркас», который оказался одинаковым и в рукописях, и в эмальерном деле. Поэтому можно говорить в данном случае о единой системе орнаментации, поскольку порядок, обусловленный правильным расположением элементов в определенной связи, и означает систему.

Возникает вопрос, в каком отношении находилась рассмотренная система растительной орнаментации в рукописях и эмалях с другими видами искусства Древней Руси? Обратимся для ответа к растительному орнаменту в монументальном искусстве. Это будет логичным потому, что живопись и скульптура представляют вершину в развитии древнерусского орнамента в целом. Немалое значение имеет также и то, что она издана, изучена и поэтому обозрима. Кроме того, те памятники, которые мы возьмем для сравнения: мозаики и фрески Софии Киевской и настенную скульптуру трех соборов Владимиро-Суздальской Руси - Дмитриевского, Рождественского и Георгиевского дают нам возможность проследить эволюцию растительного орнамента на Руси от XI до XIII в. Выбор этот обусловлен и рамками статьи, так как орнамент в узловых памятниках монументального искусства неминуемо должен отразить общие закономерности развития орнамента на Руси.

Итак, обратимся к растительному орнаменту, который выполнен в технике мозаики и фрески в интерьере Софии Киевской, и разберем его структуру, следуя методу, каким пользовались выше.

Простейшим элементом и здесь оказывается крин, по несколько иных очертаний (рис. 1, 32, 33). Он образует розетку, подобную по композиции розеткам в рукописях и эмалях (рис. 1, 34, 35, 46). То же композиционное сходство мы наблюдаем и часто своеобразных по рисунку пышных кринах (рис. 1, 36, 37, 47, 48), всегда остающихся фигурами в зеркальной симметрии. По тому же принципу образованы древа из ветвей (рис. 1, 55, 59, 49, 50).

Наконец, на фресках встречается и центральная симметрия полукринов, создающая впечатление стремительного вращения (рис. 1, 51).
Знакомые композиционные решения дают и бордюры в мозаиках и фресках Софии. В усложненном рисунке лозы легко угадывается более ясный бегунок рукописей (рис. 1, 40, 52). Помимо уже знакомых композиций из чередующихся в горизонтальной ленте кринов (рис. 1, 41, 42), встречается здесь и вертикальная лента кринов (рис. 1, 55). Это единственно новая с точки зрения симметрии композиция, которая не встречалась ни в рукописях, ни в эмалях. Ее композиционная близость с горизонтальными лентами несомненна. Возникновение такого решения бордюра легко объяснимо: его вертикальная лента должна была украшать громадные плоскости интерьера храма, в мелких вещах и небольшом рисунке для нее нет места.

Итак, не во всех вариантах крин мозаик и фресок Софии совершенно идентичен кринам рукописей и эмалей. Иногда он напоминает листья аканта, иногда крылатые пальметты, но при этом остается неизменным характер их вариантов, тот каркас, который так четко наметился в финифтяном орнаменте. Это и позволяет утверждать, что система ранней орнаментации рукописей, эмалей и интерьера Софии Киевской едина.

Если сопоставить эту систему орнаментации с растительным орнаментом, покрывающим стены храмов Владимиро-Суздальской Руси, то простейшим его элементом и здесь оказывается крин. В отдельных случаях он повторяет знакомые трехлепестковые фигуры (рис. 1, 71), чаще же принимает очертания лиственного дерева лесной полосы (рис. 1, 54, 62, 70). Наличие своеобразных вариантов (рис. 1, 64, 73) все же не нарушает типологической близости его с кринами, украшавшими заставку рукописи, золотой колт с эмалью или роспись Софии. Однако розетка с четырехкратно повторенным крипом излюбленная в этих многоцветных узорах к белокаменной пластике не встречается. Очевидно, в трудоемкой резьбе по камню мастера просто избегали мелких форм. Может быть, поэтому эволюция крина здесь пошла как будто по другому пути. Росток превращается в пышный крин (рис. 1, 65, 67) или древо, в рисунке которого многократно повторяется крин (рис. 1, 56, 66). Но самой излюбленной композицией стало разросшееся многоярусное древо, симметрично раскинутые ветви которого заканчиваются то кринами, то полукринами (рис. 1, 78). Упрощенные его варианты (рис. 1, 57, 76, 77) часто повторяют уже встречавшиеся нам древа (рис. 1, 11,26, 39). Во всех этих случаях строго соблюдается принцип зеркальной симметрии, и именно этим многометровые древа владимиро-суздальских храмов родственны кринам рукописей и эмалей.

Больше сходства в бордюрах. Вьющийся побег здесь не частый сюжет, но все же встречается и в простом (рис. 1, 58), и в усложненном вариантах (рис. 1, 79). Зато бордюры другой группы, состоящие из чередующихся или буквально повторяющихся кринов, чрезвычайно разнообразны. Одни из них очень близки бордюрам рукописным (рис. 1, 81), другие представляют как бы их вертикальный вариант (рис. 1, 55, 68), а некоторые усложнены дополнительными фигурами и более вычурны по рисунку самого крина (рис. 1, 80). Композиционное их сходство с рассмотренными ранее бордюрами несомненно.

Итак, на протяжении трех столетий, с XI по XIII в., в растительном орнаменте, украшавшем рукописные книги, драгоценные изделия с перегородчатой эмалью, величественный интерьер главного храма Руси Софии Киевской и знаменитые белокаменные церкви Владимиро-Суздальской земли, устойчиво сохраняется тяга к излюбленным композициям. Ее не нарушают вариации в рисунке символа древа жизни крина, продиктованные и особенностями техники, и многочисленными импульсами, которые получало художественное творчество древнерусских мастеров из разных уголков цивилизованного мира. Каркас создаваемых их фантазией композиций оставался в сущности неизменным. Он был обусловлен определенным набором утвердившихся в разных областях искусства Руси видов симметрии.

Исследование орнаментов народов Сибири, проделанное С.В. Ивановым, показало, что такой набор излюбленных видов симметрии оказывается у каждого парода своим, стабильным на протяжении многих столетий.

В растительном орнаменте городского искусства Руси наиболее постоянным оказался тоже обусловленный законами симметрии композиционный каркас и простейший элемент крин, который у разных народов символизировал вечные силы природы.

Б.Л. Рыбаков в своих работах о декоративном искусстве Древней Руси убедительно показал, что оно было «удивительно единым по своему духу и образам». Орнамент, пронизавший все стороны быта и одинаково царивший во всех областях искусства, во многом способствовал этому единству, «определяя их общий стиль и эпоху».

Мы попытались вскрыть основы этого единства, которое стойко сохранялось в растительном орнаменте «женского узорочья, орнаментике книг и декора архитектуры» на протяжении трех ярчайших столетий русской истории.

Симметрия, воспринимаемая как проявление порядка, обладает эстетической ценностью, то есть воспринимается как нечто красивое.

Простой пример убеждает нас в этом. Чернильная клякса сама по себе не красива, но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит другое впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы и определит ее красоту.

Узор на рисунке получен с помощью зеркальной симметрии (рис. 28). Однако закон его построения слишком прост и очевиден, поэтому и эстетическая ценность такого узора невелика.

Рис. 28. Узор, полученный с помощью зеркальной симметрии

Переносная симметрия (копирование фигуры и ее сдвиг по горизонтали) представляет собой простейший прием создания орнаментального ряда - бордюр (рис. 29).

Создавая различные промежутки между копиями, можно добиваться различного ритма в пределах ряда - например, сдвигать фигуры парами (рис. 30).

Можно чередовать пары с одиночным изображением (рис. 31).

Следующий бордюр имеет более сложный закон построения. Такой прием нередко используется при создании многорядных орнаментов. Сдвинув вертикально вверх или вниз весь ряд, получим два абсолютно одинаковых ряда (рис. 32).

Рис. 30. Примеры переносной симметрии с добавлением ритма в пределах ряда

Рис. 31. Примеры чередования пары с одиночным изображением

Рис. 32. Примеры сдвига ряда

Рис. 33. Примеры симметрии с интервалами между изображениями

Рис. 34. Примеры комбинирования

Он может быть сплошным или с определенными интервалами между изображениями (рис. 33).

Комбинированным. Вертикальный и горизонтальный сдвиг с зеркальной симметрией (рис. 34).

Возникающие пустоты можно заполнить другими элементами (риc. 35).

Рис. 35. Пример заполнения пустот

Чередование горизонтальных и вертикальных сдвигов, выполненных в определенном ритме, создает основу для извилистой линии, объединяющей элементы орнамента. Возникающие промежутки также могут быть заполнены иным орнаментом (рис. 36).

Многократный сдвиг горизонтальных рядов по вертикали (или вертикальных по горизонтали) позволяет заполнить изображениями всю декорируемую плоскость (рис. 37).

Рис. 36. Пример заполнения пустот

Рис. 37. Примеры многократного сдвига горизонтальных рядов по вертикали

Иная картина получается при использовании другого приема пространственного переноса - вращения, мы получаем фигуру, обладающую радиальной симметрией, так называемую «розетку». Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360 градусов / n (n = 2, 3, 4......), то есть обладают поворотной симметрией n- ого порядка (рис. 38).

Рис. 38. Примеры радиальной симметрии полученной путем вращения

Возможны несколько вариантов построения розетки. Например, центр вращения может находиться на одном из краев фигуры (рис. 39).

Центр вращения находится в пределах элемента (рис. 40).

Центр вращения находится за пределами элемента (рис. 41).

В центре получившейся розетки оказывается свободное пространство, которое можно заполнить иным изображением, или вписать туда другую розетку (рис. 42).

Рис. 39. Пример радиальной симметрии с центром вращения на краю фигуры

Рис. 40. Пример радиальной симметрии с центром вращения в пределах элемента

Рис. 41. Пример радиальной симметрии с центром вращения за пределом фигуры

Рис. 42. Пример радиальной симметрии с заполненным свободным пространством

Предполагается, что при создании розеток мы поворачиваем элемент изображения так, чтобы все углы были равны, и при делении 360 градусов (развернутый угол) на угол поворота получалось целое натуральное число - 3, 5, 8, 12 и т.д. Другими словами, круг при этом делится на определенное число секторов, в каждом из которых находится элемент розетки.

Вернемся к другому приему, рассмотренному выше, - зеркальному отражению. Нетрудно проверить, что ни вращением, ни боковым переносом образовавшуюся копию не получить. Она зеркально симметрична относительно исходной.

Положение плоскости, в которой отражается элемент орнамента, может быть произвольным. Необходимо получить одну - единственную зеркальную копию элемента (рис. 43). Все иные отражения, произведенные с помощью иначе расположенных плоскостей, можно получить путем вращения первой зеркальной копии относительно некоторого центра.

Рис. 43. Примеры зеркального отражения

Зеркально можно отразить целый ряд (рис. 44).

Рис. 44. Примеры зеркального отражения ряда

Получив одну «зеркальную» пару, можно получить ее зеркальное отражение (рис. 45).

Рис. 45. Примеры зеркального отражения «зеркальной» пары

Комбинируя сдвиг и зеркальное отражение, удается получить интересное решение линейного орнамента (рис. 46).

Рис. 46. Примеры комбинации сдвига и зеркального отражения

Прием зеркального отражения можно применять при создании розеток. В этом случае необходимо получить пару зеркально отображенных секторов, а затем вращать их вокруг центра (в этом случае количество секторов, на которые разбит круг розетки, обязательно должно быть четным) (рис. 47).

Рис. 47. Примеры розеток, полученных приемом зеркального отражения

Наконец, орнаментальная симметрия строится на одной из пяти возможных плоских решеток. Предварительное вычерчивание решеток является полезным вспомогательным приемом при построении орнамента.

Простейшая решетка создается за счет вертикального и горизонтального сдвигов квадрата. При этом элементы орнамента могут располагаться в разных квадратиках решетки, что значительно облегчает рисование (рис. 48).

Орнамент, построенный с помощью квадратной решетки (рис. 49).

Рис. 48. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе плоской решетки

Рис. 49. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе квадратной решетки

Также орнамент строится с помощью треугольной и ромбической решетки (рис. 50).

Шесть равносторонних, смежных треугольников образуют гексагональную (шестиугольную) решетку.

Рис. 50. Примеры орнамента, построенного на основе треугольной и ромбической решеток

(На основе правильных шестиугольников часто строятся орнаменты в некоторых исламских странах).

Орнаментальная симметрия является основным принципом построения любого орнамента.

В основе построения орнамента, составленного из абстрактных или изобразительных мотивов, лежит многократное повторение этих мотивов по законам симметрии.

Симметрия -- это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. Различные виды симметрии изучаются специальными разделами математики

В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные (например, розетки) и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном (волнистая линия, меандр и т. п.), в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

Среди наиболее распространенных видов симметрии, используемых при создании орнаментальных композиций, находится зеркальная симметрия. Это когда предмет или фигура делятся плоскостью на две половины так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Зеркальная симметрия присуща телу человека, телам многих животных. Она способствует впечатлению уравновешенности и покоя. В орнаменте сохраняется то же ощущение.

Другой вид симметрии -- осевая симметрия, при которой фигуры совмещаются посредством поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Количество таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выраженный целым числом порядок -- от второго до бесконечности.

Фигур с осевой симметрией может быть бесконечное множество. Для них характерна четкая организация, когда равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точка, через которую проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. При этом все углы поворотов совпадения фигуры с самой собой должны быть равны, иначе полного совпадения не произойдет. Расстояние от одноха-рактерных точек фигуры до центра также должно быть одинаково.

Осевая симметрия часто встречается в природе, широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога -- розетки.

Когда фигура имеет узор, построенный на основе только осевой симметрии, то этот орнамент производит впечатление бесконечной подвижности и выражает вращательное движение в определенном направлении.

орнамент стиль морфологический художественный

Изразцовый фриз. Россия. Вторая половина XVIIв.

Чаще встречаются розетки, совмещающие в себе осевую и зеркальную симметрии (в этом случае имеются не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии). Тогда плоскости обязательно проходят через ось, пересекаются в ней, и их число соответствует порядку осевой симметрии фигуры. Такого рода формы гораздо уравновешеннее, спокойнее. Зеркальное отражение такой фигуры не отличается от нее самой, и может быть с ней совмещено не только зеркальным способом. Такая форма представляется глазу наиболее завершенной и ясной: по всем направлениям от ее центра отходят одинаковые, взаимно уравновешивающие друг друга элементы. Уравновешена и потому статична такая розетка и внутри себя, поскольку в ней отсутствует асимметрия не только в целом, но и в каждом отдельно взятом элементе ее структуры (в розетке без плоскостей симметрии такие элементы были сами по себе асимметричны и вызывали ощущение вращения).

Поэтому мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяет организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии.

Все рассматриваемые выше симметрии относятся к ограниченным симметричным структурам конечных фигур орнамента. Знакомство с новым видом симметрии -- параллельным переносом поможет понять, как устроены потенциально бесконечные узоры.

Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней.

Ленточный (линейный) бордюр -- один из наиболее распространенных и важных видов орнамента. Он постоянно используется для ограничения какой-либо поверхности, отличающейся разнообразными художественными качествами. На практике линейный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломаной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.

Бордюр кроме симметрии переноса может также обладать и другими элементами симметрии. Они возникают тогда, когда тот или иной вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента. Всего разных видов симметрии бордюров насчитывается семь, и впечатление от них, художественные возможности каждого примененного в орнаменте вида оказываются различными.

Ритмичное движение бордюра с асимметричным исходным мотивом, не создающим дополнительных симметрии, односторонне. Если перевернуть такой узор зеркально, то он «потянет» в обратную сторону. Кроме того, подобный орнамент по-разному обращен к тем частям, которые он разделяет. Тем самым он характеризует эти поверхности не одинаково и может создать ощущение их различной плотности и глубины.

Орнаментальный мотив, обладающий зеркальной симметрией, сообщит такую симметрию и бордюру, если только плоскости отражения будут расположены перпендикулярно или параллельно его оси.

Случается, что в подобном орнаменте взаимно отражающие друг друга мотивы сдвинуты вдоль оси переносов. Чтобы восстановить зеркальную симметрию, нужно несколько сместить по оси одну из половинок бордюра. Этот вид симметрии называется «скользящим отражением». Обычно в таком бордюре используется парный мотив, например, отражение листа, а лист занимает место отраженного цветка. Ритм орнамента оказывается, при всей его четкости, богаче и сложнее, чем в узорах без скользящего отражения.

Бордюрам также может быть свойственна и осевая симметрия, наряду с плоскостями отражения или без них. Это значит, что весь бордюр может совпадать с самим собой при повороте на 180° вокруг любой из бесконечного множества осей, расположенных на равных расстояниях между собой и проходящих через продольную осевую линию узора. Можно выделить три вида таких орнаментов: бордюр без зеркальных плоскостей, тогда оба края одинаковы по характеру рисунка, их ритм ведет глаз в противоположные стороны. Такой орнамент выглядит беспокойным и напряженным (например, классический меандр).

Если же к поворотным осям добавляются также и плоскости отражения, ритмическое напряжение узора ослабевает, он выглядит более спокойным. Вместе с поперечными плоскостями такой узор обогащается и скользящим отражением.

Другой вид бордюра сочетает в себе поперечные плоскости отражения с продольной и обладает, наряду с зеркальной, также осевой симметрией. Он строго статичен, на все стороны уравновешен. В нем имеют одинаковый характер и оба края, и оба направления оси переносов.

Основой сетчатых орнаментов (раппортов) является простая сетка. Ячейки такой сетки могут быть квадратами, ромбами, прямоугольниками, параллелограммами или равносторонними треугольниками. В зависимости от этого меняется характер симметрии самой сетки, а значит, и построенного на ней орнамента. Кроме того, на симметрию узора влияют, как и в бордюрах, элементы симметрии самого повторяемого мотива.

Всего математики насчитывают 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях уже известные нам виды симметрии: поворотная -- второго, третьего, четвертого и шестого порядка, зеркальная, скользящее отражение. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления.

Если плоскости отражения, придающие обычному узору равновесие и устойчивость, повернуть вкось, весь орнамент станет казаться далеко не таким спокойным и конструктивным.

В искусстве орнамента нередко используется заполнение плоскости прямолинейными одинаковыми фигурами. Такой рисунок придает поверхности четкую ритмическую организацию. Только два рода фигур -- различные параллелограммы (включая прямоугольники, квадраты, ромбы) и шестиугольники с попарно параллельными сторонами -- заполняют плоскость сплошь, без припусков и наложений, с помощью одних только переносов сохраняя ту же самую ориентацию.

Симметрия подобия встречается в орнаменте достаточно часто. В этом случае одинаковые или сходные по форме элементы узора не равны по размеру. Они могут образовывать нарастающие или убывающие ряды или заполнять поверхность расходящимися из одной точки и увеличивающимися по мере удаления от нее подобными фигурами.

Орнаменты, построенные на принципе подобия, всегда чрезвычайно динамичны, активно овладевают поверхностью и создают ощущение движения.

Районная научно-исследовательская конференция «Юниор»

Исследовательская работа

Симметрия в окружающем мире

(секция точных наук)

Выполнила: Меризанова Анна,

Елисеенко Вера,

ученица 8 класса

Руководитель: Колесникова

Людмила Александровна,

учитель математики

Введение. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Симметрия сквозь века . 7

Глава 2. Симметрия вокруг нас. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Заключение . 11

Библиографический список . 12

Введение

В этом учебном году рассматривали данную тему на уроках математики. Нас заинтересовала тема «Симметрия». И мы решили создать проект по этой теме, т. к. в учебнике по геометрии мало уделено внимания на изучение темы «Симметрия», при этом ученики часто задают вопрос: зачем она нужна, где она встречается, зачем её вообще изучают.

А ведь симметрия встречается в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии.

Симметрия, свойственна разным явлениям, лежащим в основе всех вещей, она описывает многие явления жизни и многих наук

В результате работы перед собой мы поставили вопросы:

Для чего надо знать симметрию, где в окружающем мире она встречается?

Мы поставили перед собой цель:

сформировать представлений о симметрии, через систематизацию знаний о симметрии, а также через анализ явлений природы, человеческой деятельности.

Для раскрытия темы нашей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться распознавать симметричные фигуры среди других.

Познакомиться с использованием симметрии в природе, быту, искусстве, технике.

Продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

Осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

Для написание работы мной были использованы различные методы:

2) метод индуктивного обобщения, конкретизации;

3) использование компьютерного инвентаря.

Глава 1. Первые представления о симметрии

В данной главе нами описаны первые представления о симметрии, исторические сведения по данной теме; приведены некоторые примеры симметричных фигур; рассмотрены примеры исследовательского характера по теме:: «Симметрия».

1.1. Историческое развитие и осмысление понятия симметрии

В процессе исторического развития и осмысления симметрии особый этап симметрии как меры красоты и гармонии связани с работой выдающегося математика Германа Вейля «Симметрия» (1952). Г. Вейль под симметрией понимал неизмеримость (инвариантность) какого-либо объекта при преобразованиях: предмет является симметричным в том случае, когда его подвергнуть какой-нибудь операции, после которой он будет выглядеть так же, как и до преобразования.

Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность», «пропорциональность», «одинаковость в расположении частей». Однако часто под словом «симметрия» понимают более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений (времен года, дня и ночи и т. д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях добродетельной человек. Римский врач Гален (2в. н. э.) под симметрией понимал состояние духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и беспорядку. Об этом говорит гравюра Мариуса Эшера «Порядок и Хаос» (рис. 196), где, как писал сам художник, «звездчатый додекаэдр, символ красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

1.2. Математическое представление о симметрии

Представления о симметрии, изложенные выше, носят общий характер и для математики не являются точными и строгими.

Определение 1. Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Математическое строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19 в., когда были введены понятия зеркальной и поворотной симметрии.

Розетки, снежинки – это симметричные и очень красивые фигуры.

В планиметрии существует осевая (симметрия относительно прямой), центральная симметрии (симметрия относительна точки), а также поворотная, зеркальная, переносная.

Определение 2. Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой а , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а

Определение 2 . Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят, фигура обладает осевой симметрией . Фигуры, которые имеют ось симметрии: прямоугольник, ромб, квадрат, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, круг и т. д.

Определение 3. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Определение 4. Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О , называется центром симметрии фигуры . Говорят, фигура обладает центральной симметрией . Примеры фигур, которые обладают центральной симметрией: круг, параллелограмм, треугольник и т. д.

Математика изучает немало фигур, которые обладают и осевой, и центральной симметрией (круг, квадрат и др.), только осевой симметрией (например, равнобедренный треугольник), только центральной симметрией (например, параллелограмм общего вида).

Чтобы разобраться в данной теме мы произвели ряд исследовательских заданий.

Исследовательские задания.

Задание 1. На прямой АВ найдите точку, сумма расстояний от которой до двух данных точек М и N была бы наименьшей.

Обсуждение. 1 случай. Пусть М и N лежат по разные стороны от , кратчайшее расстояние между ними есть , следовательно, искомая точка Х лежит на пересечении и https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace=12" width="187" height="132">Всякая другая точка прямой АВ не обладает этим свойством, так как .gif" width="36" height="23"> Строим М1 , симметричную М относительно https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=">, то искомая точка Х есть точка пересечения прямых М N и AB .

Задание 2. Даны прямые АВ и точки М и N . Найдите на https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140">Обсуждение. 1 случай. Точки М и N лежат по одну сторону от прямой АВ (и притом на разных расстояниях от неё. Тогда точка Х прямой АВ, для которой разность расстояний от точек М и N наибольшая, есть точка пересечения прямой АВ с продолжением отрезка MN. Тогда всякая другая точка Х1 прямой АВ не обладает этим свойством, так как (следствие аксиомы треугольника). Если М и N находится на одинаковом расстоянии от https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148">2 случай. Точки М и N лежат по разные стороны от . Тогда искомая точка , где .

Если точки М и N находятся по разные стороны от и на одинаковом от неё расстоянии, то задача не имеет решений.

Задание 3 . Исследовать имеют ли центр симметрии: 1) отрезок; 2) луч; 3) квадрат.

Обсуждение. 1) да; 2)нет; 3 да

Задание 4. Исследовать какие из следующих точек латинского алфавита имеют центр симметрии: А, О, M, Х.

Обсуждение. О и Х

Обсуждение. 1) две; 2) «бесконечное множество»: любая прямая, перпендикулярная к данной, а также сама прямая; 3) одну.

Задание 6. Исследовать какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, г, Е, О в алфавите.

Обсуждение. А, Е, О

Вывод: Данные примеры нам показывают, что даже точки стоящие в алфавите имеют симметричное положение. Ось симметрии имеют различные геометрические фигуры.

1.3. Симметрия древнерусского орнамента

Для русского орнамента характерны как растительные и геометрические формы, так и изображения птиц, зверей и фантастических животных. Особенно ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке. Наиболее часто использовались так называемые плетенки – переплетения лент, ремней, стеблей цветов. В 17 в. зодчий Степан Иванов создал свой знаменитый орнамент «Павлинье око».

По мнению академика, известного археолога и историка с мировым именем, в основу древнерусского орнамента вошли универсальные различные представления о мире. Сознание древнего славянина было обусловлено мифологическими восприятиями действительности. Всё это отражалось в мотивах, характерных для русского орнамента.

· Мотив «обереговых» знаков , которые наносились на одежду, предметы быта и различные детали жилища..jpg" width="300" height="239 src=">

· Мотив плетёнки , характерный для русальских браслетов, который трактовали как знак воды и царства подземного владыки Переплута.

· Мотив древней богини Мокоши как специфического воплощения представления о Великой Праматери, общего для всех народов на определённой стадии исторического существования. Мокоша (Макошь) – единственный женский образ в древнерусской мифологии. Её имя наводит на мысль о мокроте, влаге, воде. Мокошь покровительствовала всем женским занятиям, особенно прядению, и почитали её преимущественно женщины.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

В русском орнаменте с древних времён сложилась особая система расположения символов, представляемых движение Солнца вокруг Земли. Встречается несколько типов солнечных знаков, для них характерна поворотная симметрия. Наиболее распространён круг, разделённый радиусами на разные секторы («Колесо Юпитера»), а также круг с крестом внутри.

Вывод: проанализировав литературу по данному вопросу мы пришли к выводу, что в древнерусском орнаменте часто встречаются симметричные символы. В традиционных национальных украшениях и предметах быта можно встретить все виды симметрии на плоскости: центральную, осевую, поворотную, переносную.

1.4. Симметрия сквозь века

В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею симметрии. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином «асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли и ее движения по сфере вокруг некоего «центрального огня», где двигались также 6 известных тогда планет вместе с луной, Солнцем, звездами.

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самооского, пытались связать симметрию с числом.

Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали «золотое отношение». У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили поразительный факт: существует всего пять правильных выпуклых многогранников, названия которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

В данной главе описана теория в которой указывается различные представления симметрии в природе, в этой главе мы доказываем, что строения, созданные человеком также имеют симметричные фигуры.

2.1. Роль симметрии в познании природы

Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку.

Недостающие элементы симметрии определил академик Аксель Вильгельмович Гадолин (). Известный профессор минералогии из немецкого города Марбурга Иоганн Гессель в 1830г. Опубликовал свой труд о симметрии кристаллов. Его труд по некоторым причинам остался незамеченным. Но в 1897г. Работу Гесселя переиздали, и с тех пор его имя вошло в историю науки.

Итак, симметрию кристаллов научились изучать и сравнивать. Существуют 9 элементов симметрии и только 32 различных набора элементов симметрии – групп симметрии, которые и определяют внешнюю форму кристаллов. Но коль скоро число элементов симметрии кристаллов, конечно, то конечно число их наборов – комбинации, описывающих симметрию внешней формы. Отсюда следует, что симметрия – строгий и всеобъемлющий закон, управляющий царством кристаллов. Она задаёт форму кристалла, число его граней и ребер, она же диктует и его внутреннее строение.

Симметрию можно обнаружить у обитателей моря, например у морской звезды, морского ежа и некоторых медуз.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы и плоды растений. Для некоторых из них характерна только зеркальная симметрия, или только поворотная симметрия, скользящая.

Интересно, что среди растений одного вида существуют такие, у которых встречается как левая структура листьев, так и правая.

Живая природа характеризуется не только известными видами симметрии. Так, изогнутый стебель растения, закрученная форма моллюска не менее симметричны, чем кристалл. Но это другая симметрия – криволинейная, которая была обнаружена в 1926г.

А в 1960г. Академик ввел в рассмотрение симметрию подобия. Подобными фигурами считаются одной и той же формы. Симметрия подобия состоит из переноса (поворота) фигуры с одновременным уменьшением или увеличением ее размеров.

2.2. Симметрия в архитектурных сооружениях

Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Интересны древнерусские постройки, в частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию красоты в средневековой Руси.

Примером может служить храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Храм состоит из десяти различных храмов, каждый из которых строго симметричен, но в целом он не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Можно привести много примеров использования симметрии и асимметрии в скульптуре. Например, скульптура пелопонесского мастера из школы Пифагора «Дельфийский возничий», которая изображает победителя на состязаниях конных колесниц. Фигура юноши в длинном хитоне в целом симметрична, но легкий поворот торса и головы нарушает зеркальную симметрию, что порождает иллюзию движения, и статуя кажется живой.

Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни. Пример того, что парадокс симметрии служит не только для передачи движения, но и для усиления впечатления, - это изображение греческой вазы из пещеры Камарес на острове Крит.

Заключение

Симметрия – это нечто общее, свойственное разным явлениям, лежащее в основе всех вещей, а асимметрия выражает некие индивидуальные особенности вещей и явлений. И в природе, и в науке, и в искусстве – во всем обнаруживается единство и противоборство симметрии и асимметрии. Мир существует благодаря единству этих двух противоположностей.

Проанализировав работу, мы пришли к выводу, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колёса.

В результате реализации проекта:

u расширили знания о симметрии;

u узнали, какие явления из жизни и

некоторых наук описывает симметрия;

u новые практические приемы : работа с учебной, научно-познавательной литературой;

u обобщили понятия, представления, знания, на получение которых нацелен результат проекта : рассмотрели, где в жизни встречается симметрия.

Библиографический список

1. Афанасьев А. Н, Мифология Древней Руси. – М.: Эксмо, 2006.

2. Вейль Г. Симметрия. – Изд. 2-е, стер. – М.: Единториал УРСС, 2003.

3. Гнеденго по истории математики в России. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: КомКнига, 2005.

4. Изобразительные мотивы в русской народной вышивке. Музей народного искусства. – М.: Советская Россия,1990.

5. Климова орнамент в композиции художественных изделий. – м.: Изобразительное искусство,1993.