КАРТА САЙТА 

Математические методы решения химических задач

Расчет состава смесей по химическим формулам

            Смеси бывают двухкомпонентные и многокомпонентные. Среди приемов, которые будут рассмотрены, можно выделить, пригодные только для двухкомпонентных смесей и те, которые подходят для расчета состава смесей с любым количеством компонентов.

            Предлагаемые способы решения удобнее рассмотреть на конкретных примерах.

             Задача 1.1. В каком объемном соотношении необходимо смешать водород  и углекислый газ, чтобы получить газовую смесь по плотности равную воздуху.

            А. Квадрат Пирса (правило креста).  Как известно (закон Авогадро) , равные количества газов занимают равные объемы. Следовательно, если молярные массы газов равны, значит, равны и их плотности.  Поэтому, нужно смешать водород и углекислый газ так, чтобы средняя молярная масса полученной газовой смеси была равна молярной массе воздуха (29 г/моль). Определив молярные массы H2  и СO2 , зная среднюю молярную массу воздуха, расставим их в виде треугольника:

 

H2  2

воздух           29

СO2  44 

 

Найдем разницу в числах по диагонали 2-29=-27; 44-29=15. Отбросив минус, проставим их, в соответствии с диагональю, по которой они были определены 27 - напротив CO2; 15 - напротив H2: 

 

                                           H2     2         15

                                        воздух     29

                                          CO2    44        27

Cоотношение 15:27 и будет ответом. Ответ:  Углекислый газ и водород необходимо смешать в объемном соотношении 15:27.

            Б. Введем два неизвестных. Примем количество одного компонента за x, а второго - за y.  Воспользуемся формулой n=m/M и, преобразовав, получим Mсм= mсм/nсм . Помня, что mcм=m(H2) + m(CO2), а nсм=n(H2) + n(CO2) получим 29=(2х + 44y)/(x + y). Упростив, получим, что  27х=15y. Полученное соотношение говорит о том что, водород с углекислым газом необходимо смешать в молярном (объемном) соотношении 27:15, что подтверждает ответ, полученный при решении способом А.

            В. Примем количество одного из компонентов за 1 моль, а второго -  за x.  Данный способ позволяет рассчитать количество углекислого газа, требуемого на 1 моль водорода. Преобразования, описанные в Б варианте решения, позволяют получить следующее уравнение: 29=(2 + 44x)/1+x . Þ  29 + 29x= 2 + 44x Þ 27=15x . Полученное выражение означает, что водород с углекислым газом необходимо смешать в соотношении 27:15.

            Г. Примем общее количество реагентов за 1 моль, а первого компонента за Х, следовательно, количество второго компонента  будет равно 1-x.  Воспользовавшись формулой nсм=mсм/Mсм, получим 1=(2х + 44(1-x))/29, Þ 29=2x + 44 - 44x. Совершив необходимые преобразования, получим 42x=15 Þ x=15/42, а 1-x=27/42 Þ x/(1-x)=15/27. Полученный ответ подтверждает справедливость выбранного способа решения.

            Д.  Решение задачи с использованием понятия “доля”. Можно воспользоваться следующим правилом: вклад выделенной величины X, характеризующей каждый компонент смеси, в суммарную величину, характеризующую всю смесь, пропорционален его доле (которую в общем виде можно обозначить как e). Для смеси, состоящей из компонентов а, b, …,i, математически это правило можно выделить следующим образом:

 X(a)e(a) + X(b) e(b) + … + X(i)e(i)= X(см).                                (13)

             Исходя их определения доли, необходимо помнить, что сумма долей всех компонентов смеси равна 1 или 100% (в зависимости от способа выражения). Выбор вида доли (массовая, объемная, мольная) определяется анализом условия каждой конкретной задачи.

            Для решения задачи данным методом нужно определить характеристику, о которой идет речь в задании - это молярная масса смеси и составляющих компонентов. Приняв мольную долю H2 за x, а CO2 - за (1-x) получим выражение 29=2x + 44(1-x). Преобразовав, получим 42 x=15 Þ x=15/42; 1-x=27/42, а отношение x/(1-x)=15:27.

            Задача 1.2.  Природный хлор представлен двумя изотопами 35Сl и 37Сl. Во сколько раз ядер 35Сl больше, чем ядер 37Сl?

            Для решения представленной задачи подходят все описанные способы решения (А-Д). Однако, наиболее простым получается решение при использовании правила креста (А).

 

 35Сl    35             1,5

                 35,5

   37Cl 37                0,5

            Полученное соотношение 1,5:0,5 свидетельствует, что атомов хлора с массовым числом 35 в три раза больше.

            Задача 1.3. Какие массы 96% и 10% серной кислоты необходимо взять для получения 400 г 40% серной кислоты?

            Подходят все способы решения (А-Д).  Наиболее простым способом для решения задач подобного типа является правило креста (А):

     96          30

            40

     10           56 

30: 56 или 15:28 (на 15 массовых частей 96% серной кислоты нужно взять 28 частей 10%  кислоты). Т.е. 15x + 28x=400 Þ 43x=400, x=9,3. Масса 96% серной кислоты равна 15·9,3=139,5; Масса 10% серной кислоты равна: 28·9,3=260,5.

             Рассмотрим способ решения этой задачи через введение двух неизвестных (Б).

            Однако, в данном случае, удобнее оперировать с массами. Примем массу 96% серной кислоты за x, а 10% - за y. Тогда, из определения массовой доли  (5) получим: 0,4=(0,96x + 0,10y)/(x + y)  Þ 0,4x + 0,4y = 0,96x + 0,10y Þ 0,30y = 0,56x.  C другой стороны x + y = 400.

Получив систему уравнений 0,30y = 0,56x

                                                    y = 400 - x,

решим ее 0,3 ·(400 - x) = 0,56x Þ 120 - 0,3x = 0,56x Þ 0,86x = 120 Þ x=139,5, что вполне согласуется с ответом, полученным при решении задачи методом креста.         

Задача 1.4. Найдите массовую долю этанола в водном растворе спирта, в котором содержание кислорода как элемента составляет 50%.

            Подходят все способы, но проще задача решается методом креста:

Определив массовые доли кислорода в этаноле и в воде  по уравнению (5).

Расставим их согласно правилу

этанол  (wo%) 35      39

смесь (wo%)      50

вода (wo­%)    89        15

            Полученные значения показывают, что этанол с водой необходимо смешать в массовом соотношении 39:15. Отсюда, массовая доля этанола равна 39/(39+15)=0,722 или 72,2%.

            Задача 1.5. Найдите массовую долю формальдегида в формалине (водный раствор формальдегида), в котором  на 11 протонов приходится 9 нейтронов.

            Решить эту задачу, используя правило креста (А), вряд ли удастся. Тем не менее, для ее решения подойдет любой из методов (Б-Д). Воспользуемся методом В, приняв количество формальдегида за 1, а воды за x. Подсчитаем суммарное количество протонов и суммарное количество нейтронов в означенных количествах веществ (в молекуле формальдегида на 16 протонов приходится 14 нейтронов, а в молекуле воды - на 10 протонов - 8 нейтронов). Суммарное количество протонов будет равно (в молях) (16 + 10x);  а нейтронов (14 + 8x).  Откуда, (16 + 10x)/(14 + 8x) = 11:9. Преобразовав уравнение, получим 144 + 90x = 154 + 88x Þ 2x=10, а x=5. Полученный результат показывает, что на 1 моль формальдегида необходимо взять 5 моль воды. Воспользовавшись уравнением (5) найдем массовую долю формальдегида: w=30/(30 + 5·18)= 0,25 или 25%.

            Задача 1.6. Определить объемную долю SO2 в смеси с SO3, в которой на 5 атомов серы приходится 12 атомов кислорода.

            Для решения этой задачи подойдут все методы (Б-Д), кроме правила креста.  Воспользуемся для ее решения методом Г. Примем общее количество газов за 1 моль, количество SO2 - за x моль, а SO3 - за (1-х)моль. Подсчитаем общее количество атомов серы - (x + (1-x)) и атомов кислорода - (2x + 3(1-x)). Разделив полученные выражения, приравняем их к требуемому значению: 1/(3-x)=5:12. Воспользовавшись правилом пропорции, получим: 15-5x=12 Þ 5x=3. Полученное выражение свидетельствует, что мольная (для газов значит и объемная) доля SO2 составляет 3/5, а SO3 - 2/5 (60% и 40%, соответственно).

            Задача 1.7:  Определить массу 10 л (н. у.) газовой смеси, в которой на 1 молекулу метана приходится  2 молекулы этана, 3 молекулы пропана и 4 молекулы бутана.

            1 способ: Для решения этой задачи подходит способ Д. Воспользовавшись уравнением 11, определим среднюю молярную массу смеси. Мольные доли метана, этана, пропана и бутана равны 0.1, 0.2, 0.3 и 0.4 соответственно. Поэтому, уравнение 11 приобретет вид Mсм=0.1·16 + 0.2·30 + 0.3·44 + 0.4·58. Þ Мсм=44,8 г/моль. Воспользовавшись уравнениями (1) и (2) определим массу 10 л газовой смеси.  m=10:22,4·44,8=20 г.

            2 способ: Решение данной задачи возможно и через введение неизвестного. Определим объемы газов. Если, объем метана равен х, тогда объем этана - 2х, пропана - 3х, а бутана - 4х. Тогда х + 2х + 3х + 4х = 10 Þ х = 1 л. Определив массы 1 л метана, 2 л этана, 3 л пропана и 4 л бутана, сложим их, найдя массу  10 л газовой смеси: 1:22,4·16 + 2:22,4·30 + 3:22,4·44 + 4:22,4·58 = 20 г.

            Задача 1.8. Какую массу 5% раствора сульфата меди  и медного купороса CuSO4·5H2O необходимо взять для получения 400 г 10% раствора сульфата меди?

            Оптимальный способ решения данной задачи правило креста. Для использования данного способа необходимо определить массовую долю сульфата меди в кристаллогидрате: w=160/250=0,64.
Далее расположим полученные данные в виде креста

5 % р-р          5     54

смесь               10

СuSO4·5H2O 64     5

Находя разницу по диагонали, получим отношение масс при смешении. Таким образом, масса кристаллогидрата будет равна wuSO4·5H2O) ·400 = 54/(54+5) · 400= 366,1 г. Следовательно масса 5 % раствора будет равна 400 - 366,1 = 33,9 г