Исследовательская работа. Научно-исследовательская работа «Графы вокруг нас Выполнила: Лобурец Виктория

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение -

средняя общеобразовательная школа № 51

г. Оренбург.

Проект на тему:

учитель математики

Егорчева Виктория Андреевна

2017

Гипотеза : Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.

Цель: Ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач.

Задачи:

1)Расширить знания о способах построения графов.

2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.

3) Исследовать использование графов в математике.

« Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй ».

Доминик Араго.

I . Введение. стр.

II . Основная часть.

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах. стр.

2. Свойства графов. стр.

3. Задачи с применением теории графов. стр.

Ш. Заключение.

Значение графов. стр.

IV . Список используемой литературы. стр.

I . ВВЕДЕНИЕ.

Теория графов - наука сравнительно молодая. «Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография».

В своей работе я рассматриваю, каким образом используется теория графов в различных областях жизни людей. Каждый учитель математики и практически каждый ученик знает, сколько трудностей доставляет решение геометрических задач, а также текстовых задач по алгебре. Исследовав возможность применения теории графов в школьном курсе математики, я пришла к выводу, что эта теория значительно упрощает понимание и решение задач.

II . ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. Понятие графа.

Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук и начиналась с рассмотрения задачи о кенигсбергских мостах.

Вы наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В 17 веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых из многих стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Леонард Эйлер, уроженец города Базеля родился 15 апреля, 1707 года. Научные заслуги Эйлера огромны. Он оказал влияние на развитие почти всех разделов математики и механики как в области фундаментальных исследований, так и в их приложениях. Леонард Эйлер не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения этих задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке.

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом . Точки A , B , C , D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребра графа. На рисунке из вершин B , C , D выходят по 3 ребра, а из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.

2.Свойства графа.

Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

1.Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

2.Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

3.Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

4.Число нечетных вершин графа всегда четное.

5.Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Например, если фигура имеет четыре нечетные, то её можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

3.Решение задач с помощью графов.

1. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

Попытки нарисовать одним росчерком пера каждую из следующих фигур приводят к неодинаковым результатам.

Если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком пера, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5.

Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Легко сообразить, что вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6. В фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В.

Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. Сказанного достаточно, чтобы безошибочно распознавать, какие фигуры нельзя нарисовать одним росчерком и какие можно, а также, с какой точки надо начинать вычерчивание.

Предлагаю начертить одним росчерком следующие фигуры.

2. Решение логических задач.

ЗАДАЧА №1.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?

РЕШЕНИЕ:

Построим граф как показано на рисунке.

Сыграно 7 игр.

На этом рисунке граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр.

ЗАДАЧА №2

Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика - к желтой калитке, от синего - к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались.

РЕШЕНИЕ:

Решение задачи приведено на рисунке.

3. Решение текстовых задач.

Для решения задач методом графов надо знать следующий алгоритм:

1.О каком процессе идет речь в задаче? 2.Какие величины характеризуют этот процесс? 3.Каким соотношением связаны эти величины? 4.Сколько различных процессов описывается в задаче? 5.Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы, анализируем условие задачи и записываем его схематично.

Например . Автобус шёл 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошёл автобус за эти 5 часов?

S
¹=90 км V ¹=45 км/ч t ¹=2ч

S = VT

S ²=180 км V ²=60 км/ч t ²=3 ч

S ¹ + S ² = 90 + 180

Решение:

1)45 x 2 = 90 (км) - прошёл автобус за 2 ч.

2)60 x 3 = 180 (км) - прошёл автобус за 3 ч.

3)90 + 180 = 270 (км) -прошёл автобус за 5 ч.

Ответ: 270 км.

III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате работы над проектом я узнала, что Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Для себя сделала вывод, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений. Не приходится сомневаться в полезности ознакомления нас, учащихся, с основными понятиями теории графов. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность. Многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если воспользоваться графами. В особенности это относится к таким областям математики, как математическая логика, комбинаторика.

Таким образом, изучение этой темы имеет большое общеобразовательное, общекультурное и общематематическое значение. В повседневной жизни все большее применение находят графические иллюстрации, геометрические представления и другие приемы и методы наглядности. С этой целью изучения элементов теории графов полезно ввести в начальном и среднем звене школы, хотя бы во внеклассной работе, так как в программу по математике эта тема не включена.

V . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

2008г.

Рецензия.

Проект на тему «Графы вокруг нас» выполнил ученик 7 «А» класса МОУ-сош №3г.Красный Кут Зайцев Никита.

Отличительной особенностью работы Зайцева Никиты является её актуальность, практическая направленность, глубина раскрытия темы, возможность использования её в дальнейшем.

Работа является творческой, в виде информационного проекта. Ученик выбрал эту тему, чтобы показать взаимосвязь теории графов с практикой на примере маршрута школьного автобуса, показать, что теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике, математической логике, комбинаторике. Он показал, что решение задач значительно упрощается, если удается использовать графы, представление данных в виде графа придает им наглядность, многие доказательства также упрощаются, приобретают убедительность.

В работе рассматриваются такие вопросы как:

1. Понятие графа. Задача о Кенигсбергских мостах.

2. Свойства графов.

3. Задачи с применением теории графов.

4. Значение графов.

5. Вариант маршрута школьного автобуса.

При выполнении своей работы Зайцев Н. использовал:

1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике».

2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13

2008г.

3. Я.И.Перельман «Занимательные задачи и опыты».- Москва: Просвещение, 2000 г.

Работа выполнена грамотно, материал соответствует требованиям данной темы, соответствующие рисунки прилагаются.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Исследовательская работаГрафы вокруг нас.Выполнила: Абросимова Елена ученица 8 «А» класса МАОУ Домодедовской СОШ №2Руководитель: Генкина Н.В.

Выяснить особенности применения теории графов при решении математических, логических и практических задач.Цель исследовательской работы:
Изучить теорию графов;Решить задачи с помощью графов;Рассмотреть применение теории графов в различных областях науки;Создать с помощью теории графов маршруты и задачи;Выяснить наличие знаний о графах у учеников 7 классов.Задачи:

Граф-?
Леонард Эйлер Первый кто развил теорию графов, был немецкий и русский математик Леонард Эйлер (1707-1783). Нет науки, которая не была бы связана с математикой

Задача о Кёнигсбергских мостах
Представим задачу в виде графа где острова и берега - точки, а мосты -ребра.
Задачи. №1Мальчики 10«Б» класса Андрей, Витя, Сережа, Валера, Дима при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?
№2 Задача о перестановке четырех коней. Напишите алгоритм перестановки жёлтых коней на место красных коней и красных коней на место жёлтых коней.
Теория графов в различных областях науки. Теория графов в различных областях науки. Собственные разработки Маршрут по домодедовским церквям.
Маршрут автобуса для пенсионеров.
Задача №1.
Ответ:
Задача №2.
Маршрут по Дворцовым Питерским мостам. Исследование:
«Графы и их применение» Л. Ю. Березина.«Знаменитейший ученый муж» изд. Калейдоскоп «Кванта» «Леонард Эйлер» В. Тихомиров«Топология графов» В. Болтянский«Современная школьная энциклопедия. Математика. Геометрия» изд. «Москва Олма Медиа Групп»Граф (математика) - Википедия ru.wikipedia.orgГрафы. Применение графов к решению задач festival.1september.ruГРАФЫ sernam.ruГрафы | Социальная сеть работников образования nsportal.ruГрафы / Математика studzona.comГрафы и их применение в решении задач sch216.narod.ruГрафы 0zd.ruИсточники: Спасибо за внимание.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Домодедовская средняя общеобразовательная школа №2
Исследовательская работа.
«Графы вокруг нас».
Выполнила: Абросимова Е. С. ученица 8 «А» класса.
Руководитель: учитель математики Генкина Н.В.
2014 год.
План:
Вступление.
Гипотеза.
Актуальность темы.
Теория.
Практическое приложение.
Собственные разработки.
Исследование.
Заключение.
Вступление:
Теория графы заинтересовала меня своей возможностью помогать в решении различных головоломок, математических и логических задач. Так как я готовилась к математической олимпиаде, то теория графов была неотъемлемой частью в моей подготовке. Углубившись в эту тему, я решила понять, где ещё встречаются графы в нашей жизни.
Гипотеза:
Изучение теории графов может помочь в решении различных головоломок, математических и логических задач.
Актуальность темы:
Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации, что очень важно для нормального функционирования общественной жизни. Именно этот фактор определяет актуальность их более подробного изучения. Поэтому тематика данной работы достаточно актуальна.
Теория:
Теория графов - раздел математики, изучающий свойства графов. В математической теории граф - это совокупность непустого множества вершин и наборов пар вершин (связей между вершинами). Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу. Граф называется полным, если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи - как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах. Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.
При изображении графов на рисунках чаще всего используется следующая система обозначений: вершины графа изображаются точками или, при конкретизации смысла вершины, прямоугольниками, овалами и др., где внутри фигуры раскрывается смысл вершины (графы блок-схем алгоритмов). Если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки (фигуры) соединяются отрезком или дугой. В случае ориентированного графа дуги заменяют стрелками, или явно указывают направленность ребра. Есть и планарный граф - это граф, который можно изобразить на рисунке без пересечения. В том случае, если граф не содержит циклов (путей однократного обхода рёбер и вершин с возвратом в исходную вершину), его принято называть «деревом». Важные виды деревьев в теории графов - бинарные деревья, где каждая вершина имеет одно входящее ребро и ровно два выходящих, или является конечной - не имеющей выходящих рёбер. Основные понятия теории графов. Маршрут графа – последовательность чередующихся вершин и ребер. Замкнутый маршрут – маршрут, в котором начальная и конечная вершины совпадают. Простая цепь – маршрут, в котором все ребра и вершины различны. Связный граф – граф, в котором каждая вершина достижима из любой другой.
Терминология теории графов поныне не определена строго.
Первый кто развил теорию графов, был немецкий и русский математик Леонард Эйлер (1707-1783). Который известен своей старинной задачей о кёнигсбергских мостах, которую решил в 1736 году. Эйлер математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Вся жизнь Л. Эйлера была связана с научной деятельностью и не только связанной с графами. Он говорил: «Нет науки, которая не была бы связана с математикой». Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В дальнейшем над графами работали Кениг (1774-1833), Гамильтон (1805- 1865), из современных математиков - К. Берж, О. Оре, А. Зыков.

Задача о кёнигсбергских мостах.
Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.
Этой карте можно поставить в соответствие неориентированный граф - это упорядоченная пара, для которой выполнены определенные условия, где вершинами будут являться части города, а рёбрами - мосты, соединяющие эти части между собой. Эйлер доказал, что задача не имеет решения. В Калининграде (Кенигсберге) помнят о задаче Эйлера. И именно поэтому, граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым, а такие контуры образуют так называемые уникурсальные графы.
Теорема: для уникурсального графа число вершин нечётного индекса равно нулю или двум.
Доказательство: Действительно, если граф уникурсален, то у него есть начало и конец обхода. Остальные вершины имеют чётный индекс, так как с каждым входом в такую вершину есть и выход. Если начало и конец не совпадают, то они являются единственными вершинами нечётного индекса. У начала выходов на один больше, чем входов, а у конца входов на один больше, чем выходов. Если начало совпадает с концом, то вершин с нечётным индексом нет. ЧТД.

Свойства графа (Эйлер): Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине. Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
Практическое приложение:
Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач.
В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим. Каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком.
Решение: Построим граф.
Ответ: Витя знаком с Колей и Сережей, Сережа с Витей и Петей, Петя с Сережей и Максимом, Максим с Петей и Колей, Коля с Петей и Максимом.
Мальчики 10 «б» класса Андрей, Витя, Сережа, Валера, Дима при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку другому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано? Решение:Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию - отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки - имена.
Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми. Их 10.
Задача о перестановке четырех коней. Напишите алгоритм перестановки жёлтых коней на место красных коней и красных коней на место жёлтых коней. Конь перемещается за один ход буквой «Г» в горизонтальном, либо в вертикальном положении. Конь может перепрыгивать через стоящие на его пути другие фигуры, но может ходить только на свободные поля.
Решение. Каждой клетке доски сопоставим точку на плоскости, и если из одной клетки можно попасть в другую ходом коня, то соединим соответствующие точки линией, получим граф.
Написание алгоритма перестановки коней становится очевидным.

Усадьба Хакенбуш.
Эту замечательную игру придумал математик Джон Конвей. Для игры используется картинка с "усадьбой Хакенбуш" (смотрите ниже). За один ход игрок стирает один любой отрезок картинки, ограниченный точками или одной точкой, если отрезок это петля. Если после удаление этой линии, часть линий оказывается не связанной с рамкой, то она удалятся тоже. На рисунке пример, где удалятся линия, выделенная зеленым цветом, и вместе с ней удаляются линии дыма, выделенные красным. Игрок, который удаляет последний элемент картинки выигрывает.

Задача:
Попытайтесь нарисовать одним росчерком каждую из следующих семи фигур. Помните требования: начертить все линии заданной фигуры, не отрывая пера от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии.

Задача:
Можно ли обойти все данные комнаты, пройдя через каждую дверь ровно один раз и выйти на улицу через комнату 1 или 10? С какой комнаты надо начинать?

Решение:
1) Пусть комнаты – вершины графа, а двери – ребра. Проверим степени вершин:

2)Только две вершины имеют нечетную степень. Начать движение можно из комнаты 10, а закончить в комнате 8, либо наоборот.
3) Но, чтобы выйти на улицу (из комнаты 10), надо начинать из комнаты 8. В этом случае пройдём все двери один раз и попадём в комнату 10, но окажемся внутри комнаты, а не снаружи:

Аналогично рассуждая, можно решать любые задачи с лабиринтами, входами и выходами, подземельями и т.п.
Теория графов стала доступным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем:
в исследовании автоматов и логических цепей,

В химии и биологии,

В природоведении,

В проектировании интегральных схем и схем управления,

В истории.

Собственные разработки:
Изучив материал, я решила самостоятельно, с помощью графа создать экскурсионный маршрут для школьного автобуса по домодедовским церквям. Вот что у меня получилось. Одной из задач создания такого маршрута было условие, что по одной дороге нельзя проезжать дважды. Это условие можно выполнить, опираясь на теорему Эйлера, т.е построить граф, содержащий не более 2-х нечетных вершин.

Маршрут социального автобуса для пенсионеров. Задача этого маршрута, что по одной дороге нельзя проезжать дважды. Это условие можно выполнить, опираясь на теорему Эйлера, т.е построить граф, содержащий не более 2-х нечетных вершин.

Также меня вдохновило решение интересных задач, и поэтому я создала свои собственные.
Задача:
Шел урок. Во время урока Маша передала записку Кате. Как составить граф, чтобы записка дошла до Полины. При условиях, что нельзя передавать записку по диагонали, и чтобы граф не пересекался с маршрутом (графом) учительницы.

Задача:
На луг пастух вывел 8 овец. Через некоторое время появился волк, который прикинулся овцой. Как пастуху выявить волка, если каждая овца знакома лишь с двумя другими.
Ответ:

Задача:
Как обойти Дворцовые мосты ни проходя ни по одному мосту дважды. Одной из задач создания такого маршрута было условие, что по одной дороге нельзя проезжать дважды. Это условие можно выполнить, опираясь на теорему Эйлера.

После составления карт и задач, я решила провести исследование и понять, как другие люди пользуются наукой графы.
Исследование о наличии знаний у учеников 7 классов по теории графов:
ВОПРОСЫ:
Играли ли вы в игру нарисовать фигуру по цифрам?
lefttop00
Играли ли вы в игру нарисовать одним росчерком конверт?

Вы делали это, основываясь на каких-то научных знаниях или методом проб и ошибок?
А знаете ли вы, что существует целая наука «графы», которая помогает решить вышеперечисленные задачи?
Хотели бы вы поближе познакомиться с теорией графов?

Заключение:
После того, как я провела эту исследовательскую работу, я изучила более подробно теорию графов, доказала свою гипотезу: «Изучение теории графов может помочь в решении различных головоломок, математических и логических задач», рассмотрела теорию графов в разных областях науки и составила свой собственный маршрут и свои три задачи. Но делая эту работу, я заметила, что многие люди фактически пользуются этой наукой, хотя не имеют о ней ни малейшего представления. Я изучила многое, но еще есть над чем работать.
Список литературы
Л. Ю. Березина «Графы и их применение: Популярная книга для школьников и преподавателей». Изд. Стереотип.- М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013.- 152 с.
«Знаменитейший ученый муж». Изд. Калейдоскоп «Кванта»
В. Тихомиров «Леонард Эйлер» (К 300-летию со дня рождения). Изд. «Квант»
В. Болтянский «Топология графов». Изд. «Квант»
«Современная школьная энциклопедия. Математика. Геометрия». Под ред. А.А.Кузнецова и М.В. Рыжакова. Изд. «М.: Олма Медиа Групп», 2010. – 816 с.
Цифровые ресурсы:
wikipedia.orgfestival.1september.rusernam.runsportal.rustudzona.comsch216.narod.ru0zd.ru

МОУ СОШ №6

Исследовательская работа.

«Графы»

Выполнил: Макаров Дмитрий

ученик 8 класса МОУ СОШ№6

Руководитель:

Кривцова С.А

Учитель математики и информатики

МОУ СОШ № 6

Г. Абдулино, 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ:
I.ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и новизна
Цель и задачи

II. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1.Понятие о графах

2.Свойства графов

3.Применение графов
III.Практическая часть
IV.Заключение
V.Литература

VI.Приложение

1.Актуальность и новизна
Теория графов находит применение в различных областях современной математики и ее многочисленных приложениях, в особенности это относится к экономике, технике, к управлению.

Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.

Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами.

2. Цель и задачи.
Цель: рассмотреть решение задач с использованием «Граф», проверить выполнение
«Графов» на родословных.
Задачи:

Изучить научно- популярную литературу по данному вопросу.

Исследовать выполнение ”Графов’’ для выяснения родственных отношений

Проанализировать результаты проведенных экспериментов

II. Основная часть.

1.ПОНЯТИЕ О ГРАФАХ
Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины , - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего.

Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова « графио » - пишу. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах – изображение железных дорог (рис. 1). Выбранные точки графа называются его вершинами, а соединяющие их линии – ребрами.

Использует графы и дворянство. На рисунке 2 приведена часть генеалогического дерева знаменитого дворянского рода. Здесь его вершины – члены этого рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям.

Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину. Генеалогическое дерево будет деревом и в смысле теории графов , если в этом семействе не было браков между родственниками.

Не трудно понять, что граф – дерево всегда можно изобразить так, чтобы его ребра не пересекались. Тем же свойством обладают графы, образованные вершинами и ребрами выпуклых многогранников. На рисунке 3 приведены графы, соответствующие пяти правильным многогранникам. В графе соответствующем тетраэдру, все четыре вершины попарно соединены ребрами.

Рассмотрим граф с пятью вершинами, попарно соединенными друг с другом (рис. 4). Здесь ребра графа пересекаются. Невозможно его изобразить так, чтобы пересечений не было, как невозможно выполнить намерения трех человек, описанных Льюсом Кэрроллом.

Они жили в трех домиках , неподалеку от них находились три колодца: один с водой, другой с маслом, а третий с повидлом, и ходили к ним по тропинкам, изображенным на рисунке 5. Однажды эти люди перессорились и решили провести тропинки от своих домов к колодцам так, чтобы эти тропинки не пересекались. На рисунке 6 изображена очередная попытка проложить такие тропы.

Графы, изображенные на рисунках 4 и 5, как оказалось, играют решающую роль при определение для каждого графа – является ли он плоским, то есть может ли он быть изображен на плоскости без пересечения его ребер. Польский математик Г. Куратовский и академик Л. С. Понтрягин независимо доказали, что если граф не является плоским, то в нем «сидит» хотя бы один из графов , изображенных на рисунках 4 и 5, то есть «полный пятивершинник» или граф «домики – колодцы».

Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным.

Стрелка от одой работы к другой на графе, изображенном на рис. 7, означает последовательность выполнения работ. Нельзя начинать монтаж стен, не закончив строить фундамент, чтобы приступить к отделке , нужно иметь на этажах воду и т. д.

Около вершин графа указаны числа – продолжительность в днях соответствующей работы. Теперь мы можем узнать наименьшую возможную продолжительность строительства. Для этого из всех путей по графу в направлении стрелок нужно выбрать путь, у которого сумма чисел при вершинах наибольшая. Он называется критическим путем (на рис. 2 он выделен коричневым цветом). В нашем случае получаем 170 дней. А если сократить время прокладки электросети с 40 до 10 дней, то и время строительства тоже сократится на 30 дней? Нет, в этом случае критический путь станет проходить не через эту вершину, а через вершины, соответствующие строительству котлована, укладке фундамента и т. д. И общее время строительства составит 160 дней, т. е. срок сократиться лишь на 10 дней.

На рис.8 изображена схема дорог между селами М, А, Б, В, Г.

Здесь каждые две вершины соединены между собой ребром. Такой граф называется полным. Числа на рисунке указывают расстояния между селами по этим дорогам. Пусть в селе М находится почта и почтальон должен развезти письма по остальным четырем селам. Существует много различных маршрутов поездки. Как из них выбрать наикратчайший? Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет новый граф(внизу), на котором легко увидеть возможные маршруты. Вершина М вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать движение четырьмя различными способами: в А, в Б, в В, в Г. После посещения одного из сел остается три возможности продолжения маршрута, потом две, потом дорога в последнее село и вновь в М. Всего 4 3 2 1 = 24 способа.

Расставим вдоль ребер графа цифры, обозначающие расстояния между селами, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных 24 чисел наименьшими являются два числа по 28км, соответствующие маршрутам М-В-Б-А-Г-М и М-Г-А-Б-В-М. Это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях. Заметим, что граф на рис. 8 тоже можно сделать направленным , указав направление сверху вниз на каждом из ребер, что соответствовало бы направлению движения почтальона. Подобные задачи часто возникают при нахождении лучших вариантов развозки товаров по магазинам, стройматериалов по стройкам.

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами, где А-количество литров воды в ведре, Б- в большой кастрюле, В - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8, 0, 0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3, 5, 0),если наполним водой большую кастрюлю, или (5, 0, 3), если наполним меньшую кастрюлю.

В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Подобным образом можно составить граф любой позиционной игры: шахмат, шашек, «крестиков – ноликов», где позиции станут вершинами, а направленные отрезки между ними будут означать, что одним ходом можно перейти от одной позиции к другой , по направлению стрелки.

Однако для шахмат и шашек такой граф будет очень большим, поскольку различные позиции в этих играх исчисляются миллионами. А вот для игры «крестики – нолики» на доске 3 * 3 соответствующий граф нарисовать не так уж трудно, хотя и он будет содержать несколько десятков (но не миллионов) вершин.

Свойство графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями, что дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии.

Впервые основы теории графов появились в работе Л. Эйлера, где он описывал решение головоломок и математических развлекательных задач. Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. 20 в.в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.

В терминах графов легко формулируется и решается задача о назначении на должности. А именно: если имеется несколько вакантных должностей и группа лиц, желающих их занять, причем каждый из претендентов имеет квалификацию для нескольких должностей, то при каких условиях каждый из претендентов сможет получить работу по одной из своих специальностей?

Свойства графов не зависят от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.

III. Практическая часть.

Методы работы:
Сравнение и анализ результатов эксперимента.
Методика работы:

Для проведения исследований были выбраны:

А) Родословная моей семьи , архивы данных, свидетельства о рождении.

Б) Родословная князей Голицыных, архивы данных.
Я провел исследование, результаты исследования поместил в схемы и проанализировал их.
Методика 1.
Цель: проверить выполнение ’’Графов” на своей родословной.
Результаты: схема 1

Методика 2.
Цель: проверить выполнение ’’Графов’’ на родословной князей Голицыных.
Результат: схема 2
Вывод: я заметил, что родословная – типичный граф.

IV.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей исследовательской работе рассмотрены математические графы, области их применения, решено несколько задач с помощью графов. Графы достаточно широко применяются в математике, технике, экономике, управлении. Графы предназначены для активизации знаний по школьным предметам. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством , бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты). Кроме того, работая над исследовательской работой, я освоил работу на компьютере в текстовом редакторе WORD. Таким образом , задачи исследовательской работы выполнены.

V.Литература.

1.Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989

2. Квант № 6 1994Г.

3. М. Гарднер «Математические досуги» М.: Мир,1972

4.В.А.Гусев, А. И.Орлов, А.А.Розенталь ’’Внеклассная работа по математике’’
5. И.Семакин’’ Информатика’’

Номинация «Отчизны славные сыны»

Тема: «Чулков Алексей Петрович - Герой Советского Союза»

Галиуллин Равиль

МБОУ «Юхмачинская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Чулкова Алексея Петровича»

ученик 7 класса

Москвина Г.А.

1.Введение.

2. Основная часть

2.1. Жизнь и подвиг А.П. Чулкова

2.2. Память - увековечение имени Героя Советского Союза в мемориальных объектах

3.Заключение

4.Список используемой литературы

1. Введение

Великая Отечественная война - одно из самых ужасных испытаний, выпавших на долю нашего народа. Тяжесть и кровопролитие войны оставили большой отпечаток в сознании людей. Патриотизм во все времена в Российском государстве был чертой национального характера.

В каждом поселке и селе есть свои герои, которые прославили нашу страну. К сожалению, в последнее время говорится о том, что подрастающее поколение стало забывать о подвигах наших дедов и прадедов. И кругом появляются информационные взбросы, стремящиеся в который раз очернить подвиг советского народа. Поэтому данная тема поисково-исследовательской работы актуальна для решения такой проблемы, как воспитание нравственно-патриотической личности. Наша задача помнить о героях, беречь эту память и передавать последующим поколениям.

Память о прошлом … Нет, это не просто свойство человеческого сознания, его способность сохранять следы минувшего.

Память – это связующее звено между прошлым и будущим. Сколько бы лет ни прошло, сколько бы веков ни минуло, мы должны с благодарностью помнить тех, кто избавил мир от коричневой чумы, а наш народ – от погибели. И не дать переписать историю.

Сейчас, когда на Западе в бывших союзных республиках Прибалтики, на Украине подвиги солдат Красной Армии ставят в один ряд со службой на стороне фашистов, возводят памятники эсесовцам, мы снова и снова должны вспоминать тех, кто положил свою жизнь на алтарь Отчизны.

Цель проекта: изучить боевой путь и подвиг Героя Советского Союза, чье имя носит наша школа.

Задачи: - познакомиться с алгоритмом работы над проектом;

Изучить всю имеющуюся литературу и публикации в средствах массовой информации по теме исследования;

Проанализировать полученную информацию и сделать выводы

Работа посвящена исследованию биографии Чулкова Алексея Петровича, героя Советского Союза, родившегося в селе Юхмачи Татарской АССР.

Герой Советского Союза Чулков Алексей Петрович – наш земляк, его имя носит наша школа села Юхмачи. Кто он, как жил, о чем мечтал, за что ему было присвоено звание Героя Советского Союза?

После окончания Великой Отечественной войны прошло более 70 лет. На просторах нашей Родины стоят обелиски павшим, тем, кто не вернулся с полей сражений. Они были молоды. Когда они успели сделать столько, что были представлены к высшей награде Родины? Зачем они пожертвовали собой? Неужели им не хотелось выжить?

Тема моей исследовательской работы: Судьба моего земляка.

Этот вопрос я решил осветить подробнее. Для этого я посетил школьный музей, где Алексею Петровичу, посвящен раздел. Также в своей работе я опирался на воспоминания Героя Советского Союза, Генерала – полковника Решетникова Василия Васильевича, Википедию, а также книгу Ю.Н. Худова «Крылатый комиссар».

Методы: В ходе реализации проекта я познакомился с алгоритмом ведения исследовательской работы, изучал краеведческую литературу, просматривал имеющуюся литературу, материалы интернета, воспоминания сослуживца.

Значимость исследования: этот материал можно использовать на уроках истории, при проведении внеклассных мероприятий, посвященных памятным и юбилейным датам, музейным урокам.

2. Основная часть

2.1. Жизнь и подвиг А.П. Чулкова

Чулков Алексей Петрович родился 30 апреля 1908 года в селе Юхмачи Российской империи, ныне Алькеевского района Татарстана, в семье рабочего. По национальности русский. В 1920 году, после ранения на фронте, умирает отец. Четверо детей остались сиротами. Старший Сергей, ещё раньше уехал в Карабаново, к родным, где устраивается на фабрику. Вместе с десятилетним Алексеем у матери остались две младшие сестры – Оля и Полина. В этот год в Поволжье разразилась страшная засуха. Начался большой голод. Лёша устраивается работать в батраках у кулака, за скудную еду пасёт его стадо. Однажды хозяин избил Лешу. И мальчишка, простившись с матерью и сестрами, решает уехать к брату в Карабаново. Денег на дорогу и еду – ни копейки. С ватагой таких же беспризорников Лёша пробирается в сторону Москвы. На вокзале в Костроме попали в очередную облаву. Так Алексей оказался в Костромском детдоме, где он закончил оставшиеся два класса и со свидетельством об окончании начальной школы приехал 14-летним приехал в Карабаново

C 1925 года - житель посёлка Карабаново (ныне город) Владимирской области. Здесь Алексей работал на ткацкой фабрике 3-го Интернационала с 1927 по 1933 года. Здесь на фабрике он встретил свою будущую жену Веру. С которой у Алексея Петровича было четверо сыновей.

Член ВКП(б) /КПСС с 1931 года. Окончил рабфак и 1 курс Московского педагогического института. Работал в Москве.

Призван в Красную Армию в 1933 году, в 1934 году окончил Луганскую военно-авиационную школу. Свои первые боевые вылеты совершил в период советско-финской войны 1939-1940 годов, успешно участвовал в бомбардировках и штурмовках с воздуха укреплений линии Маннергейма. Боевое мастерство и умелая плодотворная политработа лётчика, старшего политрука Алексея Чулкова были высоко оценены командованием. Он был награждён орденом Красного Знамени, ему было присвоено воинское звание батальонного комиссара.

В боях Великой Отечественной войны с первых дней. К ноябрю 1942 года заместитель командира эскадрильи по политической части 751-го авиаполка майор Алексей Чулков совершил 114 боевых вылетов на бомбардировку военно-промышленных объектов в глубоком тылу противника и его войск на переднем крае.

7 ноября 1942 года при возвращении с боевого задания в районе города Орша его самолёт был подбит зенитным огнём и потерпел катастрофу в районе Калуги.

В 2004 году вышла в свет книга Василия Васильевича Решетникова - Героя Советского Союза, генерал – полковника.

В годы войны летчика 751 полка 17 авиадивизии дальних бомбардировщиков. В 1942 году воевал в эскадрильи, комиссаром которой был Чулков. Неоднократно летал под его руководством на боевые задания. О своем комиссаре Василий Васильевич вспоминает так: В ту ночь, с седьмого на восьмое ноября 1942 года, не вернулся с боевого задание экипаж комиссара Алексея Петровича Чулкова. Хоть и был он по штату комиссаром Урутинской эскадрильи – своим комиссаром почитал его весь полк, вызывая невольную ревность у других, в том числе и полковых, но нелетающих политработников.

Тонкая это штука – авторитет, особенно комиссарский. Критерии служебного положения тут совсем не срабатывают, если даже успешно обеспечивают весь комплекс внешних примет почитания. В твёрдой цене уважения котируется едино только нравственно и интеллектуальной масштаб личности. Именно личности, а не должности. На войне ценился поступок, а уж если слово – то живое, а не мёртво-казённое.

Алексей Петрович был далеко не хрестоматийным комиссаром – и внешне совсем неброский, и уж никак не трибунный. Больше славился как прекрасный боевой летчик, и, помниться, никого не морочил ни докладами, ни назиданиями. Был дан ему крепкий природный ум, добрая душа и твёрдый боевой дух. Прошел он, как верный солдат своей Отчизны, советско-финскую войну и не замешкался в первый день Великой Отечественной. Теперь счет его боевых вылетов шёл по второй сотне. Летал он наравне с нами, как рядовой командир корабля, но взлетать любил первым, а может, и не любил, не видев в том тактический преимуществ, но место впереди эскадрильи считал, видимо, своим.

Чулков после бомбёжки Оршанского аэродрома шёл уже домой и был в получасе от своих, как вдруг попали под обстрел, снаряд попал в правый мотор. Он задымил, забухтел, закашлялся, пришлось выключить. Винт, к несчастью продолжал вращаться, скольжение стало неизбежным, и машина пошла с небольшим снижением. К линии фронта высоты осталось совсем немного, но Алексей Петрович и его неизменный штурман Григорий Чумаш по пути нашли в районе Калуге площадку базирования наших истребителей и с ходу решили садиться.

Ночью такие аэродромы не работают и даже не имеют средств ночной посадки, но плошки дежурного «Т» горели, и вдоль полосы приземления Алексей Петрович зашёл удачно, разве что с некоторым перелётом. Аэродромчик был крохотный, для маскировки обставлен стожками, макетами животных, и, когда самолёт оказался на самом его краю, стрелки - радисты, увидя этот «сельский пейзаж», в один голос заорали: «Ложный аэродром!» Алексей Петрович поддался крику, и хотя в следующее мгновение Чумаш закричал: «Садись!» - было уже поздно. Левый мотор на полном газу тащил машину дальше, но вернуть потерянную скорость и высоту, да ещё при одной не убравшейся стойки шасси, он был не в силах. На развороте, за пределами аэродрома, самолёт задел крылом за сосны, провалился к земле и загорелся. Пламя от баков поползло к пилотной кабине. Чулков был ранен, и сам подняться не мог. Там и сгорел . В огне погиб и радист Дьяков. Превозмогая боль от ушибов и ссадин, через турельное кольцо выбрался стрелок Глазунов, но сквозь огонь пробиться к командиру не смог. Гриша Чумаш был выброшен из своей разбитой штурманской скорлупы и при падении в двух местах сломал в бедре ногу. Он отполз подальше от огня, забинтовал клочками белья кровоточащие раны и стал ждать помощи. Она пришла с аэродрома. После многочисленных операций нога заметно укоротилась, и с лётной работой пришлось распрощаться.

Так погиб наш легендарный комиссар.

За год с небольшим войны совершил 119 боевых вылетов, 111 из них ночью.

Бомбил Берлин и другие города и военные объекты Германии. Нанося бомбовые удары, поддерживал наши наземные войска на передовой. Ценой своей жизни, приближая час Победы.

В декабре на построении полка был зачитан приказ. Там есть такие слова:

За беспредельную преданность Родине, за хорошую организацию боевой работы эскадрильи, за личную отвагу и героизм в бою, презирая смерть, батальонный комиссар Чулков достоин высшей правительственной награды присвоения звания «Героя Советского Союза» с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» - Посмертно

Похоронен в городе Калуге.

Награды

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 декабря 1942 года за подвиг и отличное выполнение боевых заданий командования майору Чулкову Алексею Петровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награждён двумя орденами Ленина и двумя орденами Красного Знамени.

Из наградного листа:

Майор Чулков работает заместителем командира авиаэскадрильи по политической части. Летая на самолёте Ил-4 в составе ночного экипажа, где штурман капитан Чумаш, стрелок-радист старшина Козловский и воздушный стрелок старший сержант Дьяков.

В действующей армии находится с первых дней Отечественной войны. За этот период им произведено 114 боевых самолёто-вылетов, из них ночью 111 и все с отличным выполнением боевого задания. Летал на бомбардировку военно-промышленных объектов и политических центров противника в глубоком тылу: Берлин - 2 раза, Будапешт - 1 раз, Данциг - 1 раз, Кёнигсберг - 1 раз, Варшава - 2 раза.

За отличное выполнение боевых заданий командования по разгрому германского фашизма награждён орденом Ленина и орденом Красного Знамени. После награждения произвёл 55 боевых вылетов. Работая военным комиссаром авиаэскадрильи, отлично зарекомендовал себя как воспитатель личного состава в духе преданности Родине и ненависти к врагу. Его эскадрилья за время боевых действий совершила 951 самолёто-вылет по врагу. Товарищ Чулков своим личным примером воодушевляет подчинённый личный состав на подвиги. Дисциплинирован, требовательный к себе и подчинённым. Среди личного состава пользуется заслуженным авторитетом. Делу партии Ленина и социалистической Родине предан.

За отличное выполнение боевых заданий командования по разгрому германского фашизма и проявленные при этом мужество и героизм майор Чулков достоин правительственной награды ордена Ленина.

Командир 751 АП ДД Герой Советского Союза
подполковник ТИХОНОВ 4 ноября 1942 года.

Заключение Военного Совета.

Достоин правительственной награды звания Героя Советского Союза.

Командующий авиацией Член Военного Совета
авиации дальнего действия
генерал авиации ГОЛОВАНОВ
дивизионный комиссар ГУРЬЯНОВ
30 ноября 1942 г.

2.2. Память - увековечение имени Героя Советского Союза в мемориальных объектах

Мемориал Славы на Поклонной горе в Москве

Мемориальный комплекс г. Калуги

Имя Героя носит улица в городе Карабаново Владимирской области.

В 2004 году вышла книга В. В. Решетникова «Что было - то было», где говорится о Чулкове.

Документальная повесть «Крылатый комиссар» Ю.Н. Худова

В 2000 году нашей школе присвоено имя Героя-земляка.

Директором нашей школы является родственник Чулкова Алексея Петровича Чулков Петр Александрович. Во много, благодаря его деятельности, наша школа носит имя Героя. Петр Александрович и сам является, достойным сыном Отечества. В 1983 году был призван в Вооруженные Силы СССР. Службу проходил в Республике Афганистан, командир отделения взвода охраны отдельного мотострелкового сопровождения. Он со своими боевыми товарищами сопровождал колонны КАМАЗов с грузами. Однажды колонна попала под обстрел, и Пётр Александрович был ранен.

Чулков Пётр Александрович награждён: звездой «Участник Афганской войны», орденским знаком «Воин – интернационалист», медалью «От благодарного афганского народа», Грамотой Президиума Верховного Совета СССР «За мужество и воинскую доблесть».

Его отличает скромность, ответственность, строгость, элегантность. Он талантливый руководитель и организатор педагогического и ученического коллективов. Под его руководством школа является одной из лучших школа района.

Экспозиция в школьном музея села Юхмачи

Парк Победы в г. Казань

Памятник посвященный Чулкову А.П. в селе Юхмачи, на Родине Героя.

В.В. Решетников с внучкой Чулкова А.П. Еленой Шушариной. Москва 2007 год.

3.Заключение

Жизнь и подвиг, мы часто слышим эти слова. Простой человек из глубинки, которому было 34 года, оказался настоящим героем войны, кровопролитных сражений. А. П. Чулков стал Героем не просто так, он был настоящим человеком, воспитанным семьей, Родиной.

Работа над материалами о Герое способствовала определению духовных ориентиров, нравственных ценностей, общечеловеческих приоритетов, формированию патриотического сознания, как одной из важнейших ценностей и основ духовно-нравственного единства.

И становится понятной необходимость участия в делах Российского движения школьников, членом которого я являюсь. Это общественно-государственная детско-юношеская организация, образована решением учредительного собрания от 28 марта 2016года в Московском университете имени М.В. Ломоносова. В соответствии с Указом Президента РФ от 29 октября 2015года. РДШ работает по следующим направлениям: - военно-патриотеское – «Юнармия»

Личностное развитие

Гражданский активизм (волонтерство, поисковая работа, изучение истории, краеведение)

Информационно-медийное.

4. Список литературы:

1.В.В. Решетников «Что было- то было», М., 2004г.

2. Ю.Н. Худов «Крылатый комиссар»

3. Материалы школьного музея села Юхмачи

4. Фото из личного архива Чулкова П.А.

5.http://ru.wikipedia.org

Форма заявки участника

Республиканского конкурса проектов «Истории славные страницы.

Школа Героев» для обучающихся 5-7 классов общеобразовательных

Организаций Республики Татарстан, носящих имя Героя

Территория РТ, Алькеевский район, село Юхмачи

Номинация «Отчизны славные сыны»

Имя, фамилия участника Равиль Галиуллин

Дата рождения 05. 01.2005

Возрастная группа 7 класс

Полное название образовательной организации МБОУ «Юхмачинская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Союза Чулкова Алексея Петровича» село Юхмачи, ул. Школьная, дом 10 а

Номер телефона 89276781352

Е-mail [email protected]

ФИО педагога (полностью) Москвина Галина Александровна

Контактный телефон педагога 89270389187

Согласие на обработку персональных данных

Я, Шубина Татьяна Николаевна , паспорт 9200097914 , выдан УВД Авиастроительного р-на г. Казани, 01.11.2002________________________________________________________
(когда, кем)

РТ, Алькеевский район, с.Юхмачи, ул. Школьная 4.

____________________________________________________________________________________________________________________

даю согласие на обработку персональных данных моего ребёнка Галиуллина Равиля Рашитовича

РТ, Алькеевский район, с.Юхмачи, ул. Школьная 4.

оператору Министерства образования и науки Республики Татарстан для участия в конкурсе.

Перечень персональных данных, на обработку которых дается согласие: фамилия, имя, отчество, школа, класс, домашний адрес, дата рождения, телефон, адрес электронной почты, результаты участия в заключительном этапе конкурса.

Оператор имеет право на сбор, систематизацию, накопление, хранение, уточнение, использование, передачу персональных данных третьим лицам – образовательным организациям, органам управления образованием районов (городов), Министерству образования и науки РТ, Министерству образования РФ, иным юридическим и физическим лицам, отвечающим за организацию и проведению различных этапов конкурса, обезличивание, блокирование, уничтожение персональных данных.

Данным заявлением разрешаю считать общедоступными, в том числе выставлять в сети Интернет, следующие персональные данные моего ребёнка: фамилия, имя, класс, школа, доу, результат заключительного этапа конкурса, а также публикацию в открытом доступе сканированной копии работы.

Обработка персональных данных осуществляется в соответствии с нормами Федерального закона Российской Федерации от 27 июля 2006 года № 152- ФЗ «О персональных данных».

Данное Согласие вступает в силу со дня его подписания и действует в течении 3-х лет.

______________________ _____________________________(личная подпись, дата)

Цель исследования :

Рассмотреть возможности применения графового аппарата для решения логических и комбинаторных задач.

Задачи исследования:

рассмотреть решение задач при помощи графов;

научиться переводить задачи на язык графов;

сравнить традиционные методы решения задач с методами теории графов.

Актуальность исследования:

Графы используют во всех отраслях нашей жизни. Знание основ теории графов необходимо в различных областях, связанных с управлением производством, бизнесом (например, сетевой график строительства, графики доставки почты), построении путей транспортировки и доставки, решении задач. Графы используют в связи с развитием теории вероятностей, математической логики и информационных технологий.

Гипотеза:

Использование теории графов делает решение многих логических и комбинаторных задач будет менее трудоемким.

Содержание:

Введение. Понятие графа.

Основные свойства графа.

Основные понятия теории графов и их доказательства.

Избранные задачи.

Хроматическое число графа.

Литература.

Введение. Понятие графа.

Любой из нас, конечно, прав,

Найдя без проволочек,

Что он…обыкновенный граф

Из палочек и точек.

Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Графы и связанные с ним методы исследований органически пронизывают на разных уровнях едва ли не всю современную математику. Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения, улучшения логического мышления, применения смекалки. Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач.

В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах – изображение железных дорог. Выбранные точки графа называются его вершинами, а соединяющие их линии – ребрами. Один из графов хорошо знаком москвичам и гостям столицы – это схема московского метрополитена: вершины – конечные станции и станции пересадок, рёбра – пути, соединяющие эти станции. Генеалогическое древо графа Л. Н. Толстого – ещё один граф. Здесь вершины – предки писателя, а рёбра показывают родственные связи между ними.

рис.1 рис. 2

Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.При изображении графа не имеет значения расположение вершин на плоскости, кривизна и длина рёбер (рис.3).Вершины графов обозначаются буквами или натуральными числами. Ребра графа – пары чисел.

рис. 3

Графами являются блок – схемы программ для ЭВМ, сетевые графики строительства, где вершины – события, означающие окончания работ на некотором участке, а ребра, связывающие эти вершины, - работы, которые возможно начать по совершении одного события и необходимо выполнить для совершения следующего. Свойства графов, как и их изображения, не будут зависеть и не изменятся от того, соединены вершины отрезками или кривыми линиями. Это дает возможность изучения их свойств с помощью одной из молодых наук – топологии, хотя сами задачи теории графов являются типичными задачами комбинаторики.

Что же связывает топологию и комбинаторику? Теория графов является частью как топологии, так и комбинаторики. То, что это топологическая теория, следует из независимости свойств графа от расположения вершин и вида соединяющих их линий. А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привело к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики.

Но кто придумал эти графы? Где они применяются? Все ли они одинаковые или есть разновидности?

История возникновения теории графов. Классическая задача о кёнигсбергских мостах.

Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 году Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кёнигсбергских мостах. «Мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кёнигсберге и окружённом рекой, через которую перекинуто 7 мостов. Спрашивается, может ли кто – нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый мост…» (Из письма Л. Эйлера итальянскому математику и инженеру Маринони от 13 марта 1736 года)

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены (рис.4). Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз. Прогуляться по городским мостам предложили и Эйлеру. После безуспешной попытки совершить нужный обход, он начертил упрощённую схему мостов. Получился граф, вершины которого – части города, разделённые рекой, а рёбра – мосты (рис.5).

рис. 4 рис. 5

Прежде, чем обосновать возможность требуемого маршрута, Эйлер рассмотрел и другие, более сложные карты. В итоге он доказал общее утверждение для того чтобы можно было обойти все рёбра графа по одному разу и вернуться в исходную вершину, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

из любой вершины графа должен существовать путь по его рёбрам в любую другую вершину (графы, удовлетворяющие этому требованию, называются связными);

из каждой вершины должно выходить чётное количество рёбер.

«Следовательно, надо держаться следующего правила: если на каком-либо рисунке число мостов, ведущих в некоторую область, будет нечетным, тогда желаемый переход через все мосты одновременно не может быть осуществлен иначе, как если переход или начинается, или заканчивается в этой области. А если число мостов четное, отсюда не может возникнуть никакого затруднения, так как ни начало, ни конец перехода при этом не фиксируются. Отсюда следует такое общее правило: если будет больше чем две области, к которым ведет нечетное количество мостов, тогда желательный переход вообще не может быть совершен. Ибо представляется совершенно невозможным, чтобы переход и начинался, и заканчивался в какой-нибудь одной из этих областей. А если будут только две области такого рода (так как не могут быть даны одна область этого рода или нечетное число областей), тогда может быть совершен переход через все мосты, но с таким условием, чтобы начало перехода было в одной, а конец в другой из этих областей. Когда в предложенной фигуре А и В есть области, к которым ведет нечетное число мостов, а число мостов, ведущих к С, является четным, то я считаю, что переход или построение мостов может иметь место, если переход начинается или из А, или из В, а если же кто-нибудь пожелает начать переход из С, то он никогда не сможет достигнуть цели. В расположении кенигсбергских мостов я имею четыре области А, В, С, D, взаимно отделенные друг от друга водой, к каждой из которых ведет нечетное число мостов (рис.6).

рис. 6

Следовательно, ты можешь убедиться, славнейший муж, что это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими [учеными]. Между тем ты, славнейший муж, определяешь место этого вопроса в геометрии положения, и что касается этой новой науки, то, признаюсь, мне неизвестно, какого рода относящиеся сюда задачи желательны были Лейбницу и Вольфу. Итак, я прошу тебя, если ты считаешь, что я способен нечто создать в этой новой науке, чтобы ты соблаговолил мне прислать несколько определенных, относящихся к ней задач...»

Основные свойства графа.

Решая задачу про Кенигсбергские мосты, Эйлер установил следующие свойства графа:

Если все вершины графа чётные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф.

Граф с двумя нечётными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечётной вершины, а заканчивать на другой нечётной вершине.

Граф с более чем двумя нечётными вершинами, невозможно начертить одним росчерком.

Понятие эйлерова и гамильтонова циклов.

Замкнутый путь, проходящий по одному разу по всем рёбрам, до сих пор называют эйлеровым циклом.

Если отбросить условие возвращения в исходную вершину, то можно допустить наличие двух вершин, из которых выходит нечётное количество рёбер. В этом случае начинать движение следует из одной из этих вершин, а заканчивать в другой.

В задаче о Кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа – нечётные, значит, нельзя пройти по всем мостам ровно один раз и закончить путь там же.

Граф получить на листе бумаги очень просто. Надо взять карандаш и нарисовать на этом листке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии, что угодно. Отметить точками «перекрёстки» и начальную и конечную точки, если они не совпадают с «перекрёстками». Получившуюся фигуру можно назвать графом. Если начальная и конечная точки рисунка совпадают, то все вершины окажутся чётными, если же начальная и конечная точки не совпадают, то они окажутся нечётными вершинами, а все остальные будут чётными. Решение многих логических задач с помощью графов вполне доступно уже младшим школьникам. Для этого им достаточно иметь лишь интуитивные представления о графах и самых очевидных их свойствах. Во многих детских головоломках можно встретить такие задания: начертить фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии.

рис. 7 а) б)

Рисунок 7 (а) имеет две вершины (нижние), из которых выходит нечётное количество рёбер. Поэтому рисунок нужно начинать с одной из них, а в другой заканчивать. В рисунке 7(б) существует эйлеров цикл, так как из шести вершин графа выходит чётное число рёбер.

В 1859 г. сэр Вильям Гамильтон, знаменитый ирландский математик, давший миру теорию комплексного числа и кватерниона, предложил необычную детскую головоломку, в которой предлагалось совершить «кругосветное путешествие» по 20 городам, расположенным в различных частях земного шара (рис. 8). В каждую вершину деревянного додекаэдра, помеченную названием одного из известных городов (Брюссель, Дели, Франкфурт и т. д.), был вбит гвоздик и к одному из них была привязана нить.Требовалось соединить вершины додекаэдра этой нитью так, чтобы она проходила вдоль его ребер, обвивая каждый гвоздик ровно один раз, и чтобы полученный в результате ниточный маршрут был замкнутым (циклом).Каждый город соединялся дорогами с тремя соседними так, что дорожная сеть образовывала 30 ребер додекаэдра, в вершинах которого находились города a, b ... t. Обязательным условием было требование посетить каждый город, за исключением первого, лишь один раз.

рис. 8 рис. 9

Если путешествие начать из города a, то последними должны быть города b, e или h, иначе мы не сможем вернуться в первоначальный пункт a. Непосредственное исчисление показывает, что число таких замкнутых маршрутов равно 60.Можно потребовать посещения всех городов строго по одному разу, включая и первый, т.е. допускается окончание путешествия в любом городе (например, предполагается, что в начальный пункт можно будет вернуться самолетом). Тогда общее число цепных маршрутов увеличится до 162 (рис.9).

В этом же, 1859 году Гамильтон предложил владельцу фабрики игрушек в Дублине запустить её в производство. Владелец фабрики принял предложение Гамильтона и выплатил ему 25 гиней. Игрушка напоминала «кубик Рубик», ещё не так давно пользующегося огромной популярностью, и оставила заметный след в математике. Замкнутый путь по рёбрам графа, проходящий по одному разу через все вершины, называется гамильтоновым циклом. В отличие от эйлерова цикла условия существования на произвольном графе гамильтонова цикла до сих пор не установлены.

Понятие полного графа. Свойства плоских графов.

А всегда ли граф можно изобразить на плоскости так, чтобы его рёбра не пересекались? Оказывается, нет. Графы, для которых это возможно, называются плоскими. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами, а тот граф, в котором соединены все вершины всеми возможными способами, называется полным графом.

рис. 10 рис. 11

На рисунке 10 изображён граф с пятью вершинами, который не укладывается на плоскость без пересечения рёбер. Каждые две вершины этого графа соединены ребром. Это полный граф. На рисунке 11 – граф с шестью вершинами и девятью рёбрами. Он носит название «домики – колодцы». Оно произошло от старинной задачи – головоломки. В трёх избушках жили трое друзей. Около их домиков находились три колодца: один с солёной водой, второй – со сладкой, третий – с пресной. Но однажды друзья поссорились, да так, что и видеть друг друга не хотели. И решили они по- новому проложить тропинки от домов к колодцам, чтобы их пути не пересекались. Как это сделать? На рисунке 12 проведено восемь из девяти тропинок, но провести девятую уже не удаётся.

рис.12

Польский математик Казимеж Куратовский установил, что никаких принципиально иных не плоских графов не существует. Точнее, если граф «не укладывается» на плоскость, то в нём «сидит» по крайней мере один из этих двух графов (полный граф с пятью вершинами или «домики – колодцы»), быть может с дополнительными вершинами на рёбрах.

Льюис Кэрролл, автор книги «Алиса в стране чудес», любил давать своим знакомым следующую головоломку. Он просил обвести фигуру, изображённую на рисунке, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии. Подсчитав чётность вершин, убеждаемся, что эта задача легко решается, причём начинать обход можно с любой вершины, так как они все чётные. Однако, он усложнял задачу тем, что требовал, чтобы при обводке линии не пересекались. Справиться с этой проблемой можно следующим способом. Раскрасим фигуру так, чтобы её граничащие части оказались разного цвета. Затем разъединим пересекающиеся линии таким образом, чтобы закрашенная часть представляла из себя единый кусок. Теперь остаётся обвести по краю одним росчерком закрашенную область – это и будет искомая линия (рис. 13).

рис. 13

Основные понятия теории графов и их доказательства .

Плоские графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер обнаружил простую связь между количеством вершин (B), количеством рёбер (Р),количеством частей (Г) на которые граф разделяет плоскость

В – P + Г = 2.

1. Определение . Число рёбер, выходящих из одной вершины, называют степенью этой вершины.

Лемма1. Число рёбер в графе ровно в 2 раза меньше, чем сумма степеней вершин.

Доказательство. Любое ребро графа связывают 2 вершины. Значит, если будем складывать число степеней всех вершин графа, то получим удвоенное число рёбер, т.к. каждое ребро было подсчитано дважды.

Лемма2 . Сумма степеней вершин графа чётна .

Доказательство. По лемме1 число рёбер в графе в 2 раза меньше суммы степеней вершин, значит сумма степеней вершин чётна (делится на 2).

2. Определение . Если степень вершины чётная, то вершина называется чётной, если степень не чётная, то вершина нечётная.

Лемма3 . Число нечётных вершин графа чётно.

Доказательство. Если в графе есть n чётных и k нечётных вершин, то сумма степеней чётных вершин чётна. Сумма степеней нечётных вершин нечётна, если количество этих вершин нечётна. Но тогда общее число степеней вершин тоже нечётна, чего не может быть. Значит, k чётно.

Лемма 4. Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно

Доказательство. В полном графе с n вершинами из каждой вершины выходит по n -1 рёбер. Значит, сумма степеней вершин равна n ( n -1). Число рёбер в 2 раза меньше, то есть .

Избранные задачи.

Зная свойства графа, полученные Эйлером, теперь легко можно решить такие задачи:

Задача 1. Из трех человек, стоящих рядом, один всегда говорит правду (правдолюб), другой всегда лжет (лжец), а третий, смотря по обстоятельствам, говорит либо правду, либо ложь (дипломат). У стоящего слева спросили: "Кто стоит рядом с тобой?". Он ответил: "Правдолюб". Стоящему в центре задали вопрос: "Кто ты?", и он ответил: "Я дипломат". Когда у стоящего справа спросили: "Кто стоит рядом с тобой?", он сказал: "Лжец". Кто где стоял?

Решение: Если в данной задаче ребро графа будет соответствовать месту,занимаемому тем или иным человеком, то нам могут представиться следующие возможности.

Рассмотрим первую возможность. Если "правдолюб" стоит слева, то рядом с ним, судя по его ответу, также стоит "правдолюб". У нас же стоит "лжец". Следовательно, эта расстановка не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрев таким образом все остальные возможности, мы придем к выводу, что позиция "дипломат", "лжец", "правдолюб" удовлетворяет задаче. Действительно, если "правдолюб" стоит справа, то, по его ответу, рядом с ним стоит "лжец", что выполняется. Стоящий в центре заявляет, что он "дипломат", и, следовательно, лжет (что возможно из условия), а стоящий справа также лжет. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Задача 2. В 10-значном числе каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 13. Докажите, что среди этих цифр нет цифры 8.

Решение. Существует 7 двузначных чисел, которые делятся на 13. Обозначим эти числа точками и применим определение графа. По условию каждые 2 подряд идущие цифры образуют двузначное число, которые делятся на 13, значит цифры, из которых состоит 10-значное число, повторяются. Соединим вершины графа рёбрами так, чтобы цифры, входящие в этот граф повторялись.

13 65

91 39 52

Из построенных графов видно, что среди цифр 10-значного числа цифры 8 быть не может.

Задача 3. В деревне 10 домов, и из каждого выходит по 7 тропинок, идущих к другим домам. Сколько всего тропинок приходит между домами?

Решение. Пусть дома - вершины графа, тропинки - рёбра. По условию из каждого дома (вершины) выходит 7 тропинок (рёбер), тогда степень каждой вершины 7, сумма степеней вершин 7×10=70, а число рёбер 70: 2= 35. Таким образом между домами проходит 35 тропинок.

Задача 4: Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс и Марс-Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам - непересекающиеся между собой линии.

Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс - второй. Долететь с Земли до Марса нельзя.

Классическая «задача коммивояжёра». «Жадные» алгоритмы.

Одна из классических задач теории графов называется «задачей коммивояжёра» или «задачей о бродячем торговце». Представим себе торгового агента, который должен побывать в нескольких городах и вернуться обратно. Известно, какие дороги соединяют эти города и каковы расстояния между этими городами по данным дорогам. Нужно выбрать самый короткий маршрут. Это же не «игрушечная» задача. Например, водитель почтового автомобиля, вынимающий письма из почтовых ящиков, очень хотел бы знать кратчайший маршрут, как и водитель грузовика, развозящий товары по киоскам. А решить эту задачу довольно – таки сложно, потому что число вершин графа очень велико. А вот другая задача, в некотором смысле противоположная задаче коммивояжёра. Предполагается проложить железную дорогу, которая соединит несколько крупных городов. Для любой пары городов известна стоимость прокладки пути между ними. Требуется найти наиболее дешёвый вариант строительства. На самом деле алгоритм нахождения оптимального варианта строительства довольно прост. Продемонстрируем его на примере дороги, соединяющей пять городов А, В, С, D и Е. Стоимость прокладки пути между каждой парой городов указана в таблице (рис.14), а расположение городов на карте (рис.15)

1,5

2,5

1,5

1,2

0,8

1,2

1,1

0,9

1,1

2,7

2,5 5

ис.е, а расположеие городов аждой паройдов А, В С тагрузовика, разво

0,8

0,9

2,7

А А

D D

рис.14 рис. 15

Сначала строим ту дорогу, которая имеет наименьшую стоимость. Это маршрут В →Е. Теперь найдём самую дешёвую линию, соединяющую В или Е с каким-нибудь из городов. Это путь между Е и С. Включаем его в схему. Далее поступаем аналогично – ищем самый дешёвый из путей, соединяющих один из городов В, С, Е с одним из оставшихся – А или D . Это дорога между С и А. Осталось подключить к железнодорожной сети город D .

Дешевле всего соединить его с С. Получим сеть железнодорожных путей (рис. 16).

рис. 16

Этот алгоритм нахождения оптимального варианта строительства железной дороги относится к категории «жадных»: на каждом шаге решения этой задачи мы выбираем самое дешёвое продолжение пути. Для данной задачи он подходит как нельзя лучше. Но в задаче о коммивояжёре «жадный» алгоритм не даст оптимального решения. Если с самого начала выбирать самые «дешёвые» элементы, т.е. кратчайшие расстояния, то не исключено, что в конце концов придётся воспользоваться очень «дорогими» - длинными, и общая длина маршрута окажется существенно выше оптимальной.

Итак, для решения некоторых задач можно использовать метод или алгоритм, который называется «жадным». «Жадный» алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. Посмотрим, как поведет себя при решении задачи о коммивояжёре «жадный» алгоритм. Здесь он превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рисунке 17, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм «иди в ближайший город» выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур. Однако в некоторых ситуациях «жадный» алгоритм определяет-таки кратчайший путь.

4 3

рис. 17

Есть ещё один метод для решения подобных задач - метод полного перебора (иногда говорят Метод перебора, подразумевая при этом полный перебор - это не совсем правильно, так как перебор может быть и не полным), который заключается в том, что выполняется перебор всех возможных комбинаций точек (пунктов назначения). Как известно из математики, число таких перестановок равно n!, где n – количество точек. Так как в задаче коммивояжера исходный пункт обычно принимается одним и тем же (первая точка), то нам достаточно перебрать оставшиеся, т.е. количество перестановок будет равно (n–1)!. Этот алгоритм почти всегда дает точное решение задачи коммивояжера, однако продолжительность таких вычислений может занять непозволительно много времени. Известно, что при значениях n > 12, современный компьютер не смог бы решить задачу коммивояжера даже за все время существования вселенной. Существуют и другие алгоритмы для решения задачи коммивояжера, которые значительно точнее «жадного» алгоритма и значительно быстрее метода полного перебора. Однако мы рассматриваем графы, а эти методы не связаны с теорией графов.

Хроматическое число графа.

Задача о раскраске географической карты

Дана географическая карта, на которой изображены страны, разделяемые границами. Требуется раскрасить карту так, чтобы страны, имеющие общие участки границы, были окрашены в разные цвета, и чтобы при этом было использовано минимальное количество цветов.

По данной карте построим граф следующим образом. Поставим в соответствие странам карты вершины графа. Если какие-то две страны имеют общий участок границы, то соответствующие им вершины соединим ребром, в противном случае – нет.Легко видеть, что раскраске карты соответствует правильная раскраска вершин полученного графа, а минимальное количество необходимых красок равно хроматическому числу этого графа.

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить такую проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную географическую карту так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками – вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат (рис.18), то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.

рис. 18

Игра «четыре краски»

Стивен Барр предложил логическую игру на бумаге для двух игроков, названную «Четыре краски». По словам Мартина Гарднера - «Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырёх красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру»

Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок начинает игру, рисуя произвольную пустую область. Второй игрок закрашивает её любым из четырёх цветов и в свою очередь рисует свою пустую область. Первый игрок закрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и так далее - каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску.

Комбинаторные и логические задачи.

В 1936 году немецкий математик Д. Кёниг впервые провёл исследование подобных схем и предложил называть такие схемы «графами» и систематически изучать их свойства. Итак, как отдельная математическая дисциплина теория графов была представлена лишь в 30 – е годы ХХ столетия в связи с тем, что в обиход вошли так называемые «большие системы», т.е. системы с большим числом объектов, связанных между собой разнообразными соотношениями: сети железных дорог и авиалиний, телефонные узлы на много тысяч абонентов, системы заводов – потребителей и предприятий – поставщиков, радиосхемы, большие молекулы и т.д. и т. п. Стало ясно, что разобраться в функционировании таких систем невозможно без изучения их конструкции, их структуры. Здесь и пригодилась теория графов. В середине XX века задачи теории графов стали возникать также и в чистой математике (в алгебре, топологии, теории множеств). Чтобы можно было применять теорию графов в столь разнообразных областях, она должна быть в высшей степени абстрактной и формализованной. Ныне она переживает эпоху бурного возрождения.Графы используются: 1) в теории планирования и управления, 2) в теории расписаний, 3) в социологии, 4) в математической лингвистике, 5) экономике, 6) биологии, 7) химии, 8) медицине, 9) в областях прикладной математики таких, как теория автоматов, электроника, 10) в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.д. Наиболее близки к графам – топология и комбинаторика.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики - алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике). Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. 20 в. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники. И з современных математиков над графами работали - К. Берж, О. Оре, А. Зыков.

Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Для примера рассмотрим такую задачу. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю. Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами, где А-количество литров воды в ведре, Б- в большой кастрюле, В - в меньшей. В начальный момент ситуация описывалась тройкой чисел (8, 0, 0), от нее мы можем перейти в одну из двух ситуаций: (3, 5, 0),если наполним водой большую кастрюлю, или (5,0, 3), если наполним меньшую кастрюлю. В результате получаем два решения: одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.

Рассмотрим задачи, которые можно легко решить, начертив граф.

Задача №1. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Задача решается с помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имён каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные рёбра. В данном случае отрезки-рёбра обозначают сыгранные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 рёбер, значит, и партий сыграно 6 партий.

Ответ: 6 партий.

Задача №2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий подарили на память друг другу свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение найдётся легко, если начертить граф:

1 способ. С помощью стрелок на рёбрах полного графа показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем рёбер, т.е. 12.

2 способ. Каждый из 4 мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 3 4=12 фотографий.

Ответ: 12 фотографий.

Задача № 3. Известно, что у каждой из трех девочек фамилия начинается с той же буквы, что и имя. У Ани фамилия Анисимова. У Кати фамилия не Карева, а у Киры – не Краснова. Какая фамилия у каждой из девочек?

Решение:По условию задачи составим граф, у которого вершины – имена и фамилии девочек. Сплошная линия будет обозначать, что девочке соответствует данная фамилия, а пунктирная – что не соответствует. Из условия задачи видно, что у Ани фамилия Анисимова (соединяем сплошной линией две соответствующие точки). Из этого следует, что у Кати и у Киры фамилия не Анисимова. Так как Катя – не Анисимова и не Карева, значит она Краснова. Остается, что у Киры фамилия Карева. Ответ: Аня Анисимова, Катя Краснова, Кира Карева.

Граф - это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются точками), а связи - как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок. Основное направление работы с комбинаторными задачами – это переход от осуществления случайного перебора вариантов к проведению системного перебора. Задачи данного вида нагляднее решать при помощи графа.

Многие логические задачи легче решать при помощи графов. Графы позволяют наглядно представить условие задачи, а значит, значительно упростить её решение.

Задача № 4.Поступающий на физмат должен сдать три вступительных экзамена по десятибалльной системе. Сколькими способами он может сдать экзамены, чтобы быть принятым в университет, если проходной балл в тот год составил 28 баллов?

Решение. Для решения этой задачи, как и во многих других комбинаторных и вероятностных задачах, эффективным оказывается организация элементов анализируемого множества в виде дерева. От одной выделенной вершины проводятся ребра, соответствующие оценке на первом экзамене, а затем к их концам добавляются новые ребра, соответствующие возможным результатам второго экзамена, а затем и третьего.

Таким образом, для поступления на физмат можно сдать вступительные экзамены 10 различными способами.

Граф-дерево назван так за внешнее сходство с деревом. С помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

Задача № 5. На одном далеком острове живут два племени: рыцарей (которые всегда говорят правду) и плутов (которые всегда лгут). Один мудрец-путешественник рассказал такую историю. «Приплыв на остров, я встретил двух местных жителей и захотел узнать, из какого они племени. Я спросил первого: «Вы оба рыцари?». Не помню, ответил он «да» или «нет», но по его ответу я не смог однозначно определить кто из них кто. Тогда я спросил у того же жителя: «Вы из одного племени?». Опять-таки, не помню, ответил он «да» или «нет», но после этого ответа я сразу догадался, кто из них кто». Кого же встретил мудрец?

Решение:

нет

да

нет

да

Ответ: первый ответ - "да", второй ответ - "нет" - мудрец встретил двух плутов.

Заключение. Приложение теории графов в различных областях науки и техники.

Инженер чертит схемы электрических цепей.

Химик рисует структурные формулы, чтобы показать, как в сложной молекуле с помощью валентных связей соединяются друг с другом атомы. Историк прослеживает родословные связи по генеалогическому дереву. Военачальник наносит на карту сеть коммуникаций, по которым из тыла к передовым частям доставляется подкрепление.

Социолог по сложнейшей диаграмме показывает, как подчиняются друг другу различные отделы одной огромной корпораций.

Что общего во всех этих примерах? В каждом из них фигурирует граф.

На языке теории графов формируются и решаются многие технические задачи, задачи из области экономики, социологии, менеджмента и т.д. Графы используются для наглядного представления объектов и связи между ними

К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решенных на сегодняшний день.

Литература.

«Энциклопедия для детей. Т.11. Математика» /Глав.ред. М.Д.Аксёнова/ Издательский центр «Аванта+», 1998.

«За страницами учебника математики» Сост. С. А. Литвинова. -2-е изд., дополненное. – М.:Глобус, Волгоград: Панорама, 2008.

Графы // Квант. -1994.- № 6.

Математические головоломки и развлечения. М. Гарднер. – М.: «Мир», 1971.

Зыков А.А. Основы теории графов М.: Вузовская книга, 2004.

Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов Издательство: ТетраСистемс, 2001.

Берж К. Теория графов и ее приложения. М.: ИЛ, 1962.

Материалы из Википедии - свободной энциклопедии.