Критерий ходжа лемана опирается на. §2. Производные критерии. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Практическое занятие №25

«Численное интегрирование с помощью формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью формул Эйлера»

1. Цель: Выработать навыки и умения по применению методов приближённого

интегрирования – формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, в решении

приближенными методами дифференциальных уравнений

Пояснения к работе

2.1 Краткие теоретические сведения:

Формула прямоугольников

Известно, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. Кроме того, на практике сталкиваются с необходимостью вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способами, а так же интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения нерационально. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования. Наиболее простым методом приближенного вычисления определенного интеграла является метод прямоугольников, основанный на непосредственном определении интеграла:

где есть интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому набору точек отрезка разбиения.

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f(x) , осью абсцисс и прямыми и .

Для точности численного интегрирования нужно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок , а высотой - число , т.е. значение функции в точке

Выбранное из условия минимума ошибки интегрирования. Тогда за приближенное значение

интеграла на отрезке принимают интегральную сумму:

Практически удобно делить отрезок на равные части , а точки совмещать с

левыми или правыми концами отрезков разбиения. Если точку совместить с левым концом отрезка , то приближенное значение интеграла геометрически равно площади заштрихованной нижней ступенчатой фигуры и может быть представлено формулой левых прямоугольников:

(1)

где - шаг разбиения. Если же в качестве точки . выбрать правый конец отрезка , приближенное значение интеграла графически равно площади верхней ступенчатой фигуры, и вычисляется по формуле правых прямоугольников:

(2)

Погрешность вычисления:

, где - максимум на (3)

Пример 1. Используя формулу прямоугольников при , вычислить с тремя десятичными знаками . Оценить допущенную погрешность.

Решение: разделим отрезок на 10 равных частей точками и найдём значения функции в этих точках:

	1	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2
	1.000	0.909	0.833	0.769	0.714	0.667	0.625	0.588	0.556	0.526	0.5

Тогда получим и по формуле (1) находим

.

Оценим погрешность. Имеем ; функция монотонно убывает на отрезке , поэтому и .

Так как допущенная погрешность влияет уже на второй знак после запятой, то третий знак следует округлить. Значит, . Если вычислить этот интеграл по формуле Ньютона –

Лейбница, то получим . Таким образом, ответ является приближённым значением . Но ; следовательно, при вычислении допущена погрешность, меньшая .

Формула трапеций

Приближенное значение определенного интеграла можно вычислить и иным способом.

Заменим на отрезке дугу АВ графика подынтегральной функции у = f(x) стягивающей ее хордой (рис.2) и вычислим площадь трапеции АВbа. Примем значение определенного

интеграла численно равным площади этой трапеции.

(4)

Это и есть формула трапеций для приближенного вычисления интеграла. Погрешность вычисления

для формулы трапеций оценивается так:

, (5)

где точка . В случае, если , вычисление по формуле (4) даёт значение интеграла с избытком; если , то интеграл вычисляется с недостатком. Точность вычислений возрастает, если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеций к каждому отрезку (рис. 3). Тогда

Рис.2 Рис. 3

Для простоты вычислений удобно делить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть . Тогда, численное значение интеграла на всем отрезке равно

Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:

, где шаг (6)

Пример 2. Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций при .

Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при и :

	0,2 0,4 0,6	0,02 0,16 0,36	0,0000 0,0400 0,1593 0,3523		0, 1,0 1,2 1,4 1,6	0,64 1,0 1,44 1,96 2,56	0,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487

Используя формулу ,

Находим:

Примечание. Если данный интеграл вычислить при , то получим . Следовательно, точность вычислений увеличивается с возрастанием .

Формула Симпсона

Точность приближенного интегрирования заметно возрастает, если подынтегральную функцию на отрезке заменить квадратичной функцией (рис.5), принимающей в узлах х 0 = а, х 1 , х 2 = b значения и . В качестве интерполяционного многочлена используется многочлен Ньютона 2 степени. Тогда

(7)

Соотношение (7) называется формулой Симпсона. Формула Симпсона обладает повышенной точностью и является точной не только для многочленов второй степени, но и третьей. Погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом:

, где точка (8)

Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на п пар участков (рис. 4) и к каждому из них применяют формулу (7). Тогда численное значение определенного интеграла на всем отрезке будет равно

, где (9)

Соотношение (9) называется общей формулой Симпсона .
Пример 3. Вычислить по формуле Симпсона при .

По формуле (9) имеем . Подставляя в подынтегральную функцию значения , получим

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задана Коши: найти решение уравнения (10) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию

Геометрически это означает, что требуется найти ин­тегральную кривую у = у(х), проходящую через

заданную точку M 0 (x 0 , .y 0), при выполнении равенства (11) (см. рис.6). С численной точки зрения задача Коши выглядит следующим образом: требуется построить таблицу значений функции у=у(х), удовлетворяющей уравнению (10) и начальному условию (11) на отрезке [a;b ]с некоторым шагом h. Обычно считается, что х 0 = а, т.е. начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. В основе метода Эйлера лежит идея графического постро­ения решения дифференциально­го уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ на­хождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение (10) с начальным условием (11) (т.е. поставлена задача Коши). Решим вначале следующую задачу: най­ти простейшим способом прибли­женное значение решения в не­которой точке x 1 = х 0 + h , где h - достаточно малый шаг.

Заметим, что уравнение (10) совместно с началь­ным условием (11) задают направ­ление касательной к искомой ин­тегральной кривой в точке М 0 (х 0 , у 0). Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной (рис. 7), учитывая соотношения (10) и (12), получим приближенное значение решения в точке х 1 :

(13)

Располагая приближенным ре­шением в точке М 1 (х 1 ,y 1), можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую, про­ходящую через эту точку с угловым коэффициентом f (х 1 , y 1) и по ней найти приближенное значение решения в точке х 2 = х 1 + h . Заметим, что в отличие от ситуации, изображенной на рис. 7, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой, поскольку точка M 1 , нам недоступна. Однако представляется инту­итивно ясным, что если h достаточно мало, то получаемые при­ближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек

х i = x 0 + ih (i = 0, 1, 2, ..., n) (14)

Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом

применении формулы

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера приведена на рис. 8. Вместо интегральной кривой в реальности получается сово­купность прямых (так называемая ломаная Эйлера ).

Рис.8 Ломаная Эйлера

Методы численного интегрирования дифференциальных урав­нений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера - простейший представи­тель семейства пошаговых методов.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком эле­ментарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага исходное значение у, в формуле (13) само является приближенным, т.е. погрешность на каж­дом следующем шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым эмпирическим методом оценки то­чности как метода Эйлера, так и других пошаговых методов при­ближенного численного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка - с шагом h и с шагом h/2 . Совпадение соот­ветствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает эмпирические основание считать их верными (хотя полной уверенности в этом быть не может).

Одна из принципиальных трудностей всех пошаговых методов численного решения дифференциальных уравнений состоит в воз­можности столкнуться с неустойчивостью метода. Оценка погреш­ности неявно предполагает, что ломаная приближенного реше­ния (см. рис. 8) хотя и не совпадает с интегральной кривой, но качественно на нее похожа. Чаще всего это именно так, но иногда (например, при неудачном выборе шага h) приближенное реше­ние может быть качественно непохожим на точное (например, точное монотонно убывает, а приближенное монотонно возрас­тает).

Для эмпирического контроля того, не имеет ли места неустой­чивость, следует численно интегрировать уравнение с нескольки­ми, значительно отличающимися, значениями шага h , сравнивая качественно поведение решений.

Пример 4. Применяя метод Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального уравнения , с начальным условием на отрезке , приняв h= 0,25. Вычисления проводить с 4-мя знаками после запятой.

Для удобства вычислений составим таблицу.

1-й шаг: по начальным условиям заполним первую строку во 2-м и 3-м столбцах;

2-й шаг: из уравнения вычисляем (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) в столбце (4);

3-й шаг: содержимое столбца (4) умножаем на h (вычисляем ) и

записываем результат в столбец (5) этой же строки;

4-й шаг: к содержимом столбца (3) прибавляем содержимое столбца (5) этой же строки

(вычисляеми результат записывает столбец (3)следующей

строки. Определяем х i +1 = x i + h и затем шаги 2-4 повторяем до тех пор, пока не будет пройден

весь отрезок .

i	x i	y i
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
		1,5000	1,5000	0,3750
	0,25	1,8750	1,6250	0,4062
	0,50	2,2812	1,7812	0,4453
	0,75	2,7265	1,9765	0,4951
	1,00	3,2206	2,2206	0,5552
	1,25	3,7758	2,5258	0,6314
	1,50	4,4072

Пример 5. Решить методом Эйлера дифференциальное урав­нение с начальным значением у (0) = 1,3 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

знаками: .

с начальным условием у (2) = 1, 2 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,1.

Вариант 2

1.По формуле левых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла: .

2.По формуле трапеций n=8 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: .

3.По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками: .

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (2,6) = 1, 8 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 3

2.По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками:

знаками:

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (0,6) = 3,4 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

Вариант 4

1.По формуле правых прямоугольников для n=12 вычислить значение интеграла:

2. По формуле трапеций для n=10 вычислить значение интеграла с тремя десятичными знаками:

3. По формуле Симпсона для n=6 вычислить значение интеграла с тремя десятичными

знаками:

4. Применяя методом Эйлера, составить таблицу значений решения дифференциального урав­нения

с начальным условием у (3) = 1,7 на отрез­ке , приняв шаг h = 0,2.

Сделайте ручную прикидку графика интегральной кривой на бумаге.

4. Контрольные вопросы:

1. Какие методы приближенного вычисления определенных интегралов вы знаете? Назовите

формулы для вычислений. Какой из них дает наиболее точный результат?

2. На чем основан метод Эйлера приближенно решения дифференциальных уравнений?

5.1 Наименование работы

5.2 Цель работы

5.3 Задание

5.4 Формулы для расчета

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.6 Выводы по работе

5.7 Ответы на контрольные вопросы

Литература:

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах Учебное пособие - М.

Новая волна, 2005, ч.1, с.565-571;

2. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике» - Учебное пособие – М.:Высш. школа,

2003, с. 211-212;

3. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Элементы численных методов: учебник для студ. сред.

проф. образования -М.: Издательский центр «Академия», 2007, с.152-184

Похожая информация.

Рассмотрим задачу Коши (5.2), (5.6) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения y"=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x 0)=y 0 . Пусть y(x)- решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.2), получим тождество y"(x) ≡ f(x,y(x)). Интегрируя это тождество по x, получаем

или, что тоже самое,

. (5.15)

Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.2), (5.6) есть решение интегрального уравнения (5.15). С другой стороны, если y(x)- решение интегрального уравнения (5.15), то дифференцируя (5.15) по x, получаем, что y(x)- решение задачи Коши (5.2), (5.6).

Решение интегрального уравнения (5.15) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим

y 0 (x)=y 0 , . (5.16)

Если оператор

- (5.17)

сжимающий , то последовательные приближения (5.16) сходятся к решению интегрального уравнения (5.15), а, следовательно и дифференциального уравнения y" = f(x,y), удовлетворяющего условию y(x 0) = y 0 . Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.17) в .

Пример №1 . Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения y" = y, удовлетворяющее условию y(0)=1. Подставляя y(0)=1 в (5.16), получаем

y 0 =1, …,

С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем y = e x .

Таким образом, нами получено разложение функции e x в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).

Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.2), (5.6). Разобьём отрезок , на котором мы ищем решение, на части точками x 0 = a то заменяя производную y"(x i) конечной разностью в уравнении (5.2), получаем , или, что то же самое,

y i +1 = y i + h·f(x i , y i), (5.17)

Соотношение (5.17) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.2), (5.6). Вычислив y i , i = 0,1,..,n получим таблицу значений решения в точках x i , i = 0,1,..,n Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора в окрестности точки xi до членов второго порядка малости

y(x i +1)=y(x i +h)=y(x i)+y"(x i)h+o(h 2)=y i +hf(x i ,y i)+o(h 2).

Сравнивая с (5.17) видим, что погрешность формулы (5.17) равна o(h 2). К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например методом прогноза и коррекции , либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта .

С дифференциальными уравнениями в частных производных и интегральными уравнениями приходится встречаться в самых разнообразных областях естествознания, причем получить их решение в явном виде, в виде конечной формулы, удается только в самых простейших случаях.

В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения различных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, систем дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений или, как часто говорят, задач математической физики.

В настоящей главе мы и рассмотрим некоторые, наиболее распространенные методы решения задач математической физики. При этом мы ограничимся в основном методами решения задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными и линейными интегральными уравнениями, в которых искомая функция зависит только от одного независимого переменного. Изложение методов для случая произвольного числа переменных было бы связано с очень громоздкими записями, в то время как основные идеи методов, а также возникающие при их реализации трудности хорошо усматриваются в простейших случаях.

Что касается нелинейных уравнений, то хотя отдельные задачи для нелинейных уравнений и были разрешены, однако общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений все еще отсутствует. В последнее время численным методам решения задач для нелинейных уравнений уделяется много внимания, но их разработка еще не достигла такого состояния, при котором их можно было бы включить в учебное пособие.

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенные методы решения различных задач для

дифференциальных уравнений в частных производных можно разбить на две группы:

1) методы, в которых приближенное решение получается в аналитической форме, например в виде отрезка некоторого ряда, и

2) методы, с помощью которых можно получить таблицу приближенных значений искомого решения в некоторых точках рассматриваемой области, - численные методы.

К первой группе относится прежде всего метод Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, при применении которого точное решение получается в виде некоторого ряда, а за приближенное решение может быть принята сумма некоторого числа первых его членов. Метод Фурье решения классических задач математической физики подробно излагается в курсе математической физики, и мы на нем совсем не будем останавливаться. Из методов первой группы мы рассмотрим лишь вариационные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных и близкий к ним метод Галеркина.

Наиболее широко распространенным методом численного решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток, или метод конечных разностей, а также метод характеристик решения уравнений и систем уравнений гиперболического типа, который в сущности также является конечноразностным методом, только в этом методе дифференциальное уравнение в частных производных или система таких уравнений предварительно сводится к эквивалентной ей системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая и решается разностным методом. Описанию метода сеток для решения некоторых задач математической физики в основном и посвящена эта глава.

Особое место занимает метод прямых, который в зависимости от способа его реализации может быть отнесен как к той, так и к другой группе методов. В этом методе ищется приближенно решение дифференциального уравнения в частных производных вдоль некоторого семейства прямых. При этом вместо дифференциального уравнения в частных производных получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Если эта система решается в конечном виде, то мы получаем приближенное решение дифференциального уравнения в частных производных в виде системы функций, приближенно представляющих искомое решение вдоль рассматриваемых прямых. Если же система обыкновенных дифференциальных уравнений решается численными методами, то и приближенное решение уравнения в частных производных получается в виде таблицы, и в этом случае этот метод можно отнести к группе численных методов.

В последнем параграфе главы изложены методы приближенного решения линейных интегральных уравнений типа Фредгольма и Вольтерра.

В силу значительных трудностей, возникающих при приближенном решении дифференциальных уравнений в частных производных мы ограничимся при изложении из педагогических соображений только простейшими уравнениями и простейшими задачами для них, причем во многих случаях не приводятся доказательства сходимости, а также оценки погрешностей, если даже они существуют. Это отнюдь не означает, что описанные методы неприменимы для решения других более сложных задач.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.сайт/

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

З.У. Блягоз, А.Ю. Попова

Важнейшей составляющей частью любого вида человеческой деятельности является принятие решений в условиях вероятностной неопределенности. Сложность выбора того или иного решения зависит от степени определенности возможных исходов или последствий. Существуют ситуации, в которых можно более или менее точно оценить вероятность наступления исходов для каждого решения. В этих случаях говорят о принятии решений в условиях риска. Но гораздо чаще невозможно даже приблизительно указать вероятность того или иного результата, что связано с недостаточной информированностью о внешних обстоятельствах, в которых приходится принимать решение. Эта неопределенность порождается множеством различных факторов, таких как экономическая ситуация в стране, уровень инфляции, курсы валют, рыночная конъюнктура, политические отношения, состояние погоды, стихийные обстоятельства и т.п. В этом случае речь идет о принятие решений в условиях вероятностной неопределенности.

Математическая модель ситуации, в которой принятие решений зависит от объективных обстоятельств, называется игрой с природой.

Подобные модели изучает такой раздел математики как «Теория игр с природой» («Теория принятия решений»). Она служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях риска и неопределенности, вызванной не зависящими от нас причинами.

Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату природа П.

Очевидно, что при решении игр с природой достаточно найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.

Пусть игрок А располагает m возможными стратегиями, которые обозначим A 1 , A 2 ,…, A m , тогда как природа П может принимать одно из n своих состояний П 1 , П 2 ,…, П n . .

Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий А i , i=1,…,m, при каждом состоянии природы П j , j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами а ij . Эти числа называются выигрышами игрока А.

В таком случае игра может быть задана матрицей Р = mn, называемой платежной матрицей (или матрицей игры).

Если в платежной матрице элементы k-ой строки не меньше соответствующих элементов s-ой строки, т.е. , то доминируемую (дублируемую) строку s можно удалить, т.к. она определяет стратегию, заведомо не лучшую стратегии. Это позволяет значительно упростить платежную матрицу игры. Отбрасывать же те или иные состояния природы нельзя, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно оно игроку А или нет.

После упрощения платежной матрицы иногда выгодно перейти от нее к матрице рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы.

Риском r ij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией A i при состоянии П j природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем aij, который он получит, используя стратегию A i , не зная, какое из состояний Пj природа реализует.

Таким образом, элементы rij матрицы рисков определяются по формуле:

где - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

Учитывая специфику игр с природой, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторою логическую схему принятия решения.

В условиях риска, т.е. когда известны вероятности qj состояний природы, можно использовать критерии Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана. При принятии решений в условиях неопределенности критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и произведений.

вероятностный неопределенность решение математический

Критерий Байеса

Этот критерий используется в предположении, что вероятности q j состояний природы Пj известны. В качестве показателя эффективности чистой стратегии Ai используется средневзвешенный выигрыш при стратегии Аi с весами q1,…,qn, т.е. величина

Оптимальной по Байесу чистой стратегией является стратегия с максимальным показателем эффективности. Цена игры в этом случае определяется по формуле:

Аналогично можно найти оптимальную по Байесу стратегию, используя формулу

и матрицу рисков. В этом случае средний риск следует минимизировать. Однако, следует заметить, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск.

Критерий Лапласа

Если игрок А не располагает объективной информацией об вероятностях qj состояний природы Пj и считает в равной мере правдоподобными все состояния, то их вероятности полагают одинаковыми и равными 1/n. Этот прием называют принципом недостаточного основания Лапласа. Отсюда вытекает и критерий Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока А при равенстве всех вероятностей.

В этом случае показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

а цена игры равна

При использовании критериев Байеса и Лапласа предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

Ш вероятности появления состояний Пj известны и не зависят от времени.

Ш решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

Ш для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.

Критерий Вальда

В случае, если вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую-либо статистическую информацию, при определении оптимального решения можно использовать критерий Вальда.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. здесь игрок А исходит из предположения, что природа П «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния Пj, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение.

Показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

Оптимальной по критерию Вальда считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет максимальным, т.е. обеспечивается максимин

Критерий Вальда часто также называют максиминным критерием.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:

Ш о возможности появления внешних состояний Пj ничего не известно;

Ш решение реализуется только один раз;

Ш необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию, при которой минимизируется величина максимального риска.

Таким образом, показатель эффективности определяется как величина максимального риска:

А цена игры равна

При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же условиям, что и при применении критерия Вальда.

Критерий Гурвица

Занять более уравновешенную позицию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма, предлагает критерий Гурвица. Его также часто называют критерием пессимизма-оптимизма.

В области чистых стратегий показатель эффективности определяется из условия:

Оптимальной по Гурвицу считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой принимает наибольшее значение

Параметр выбирается из субъективных соображений, потому что на практике очень трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Чаще всего полагают равным 0,5.

При критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма).

При - в критерий крайнего оптимизма, или критерий «азартного игрока», делающего ставку на то, что исход игры будет для него самым благоприятным:

При получается нечто среднее между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

о вероятностях появления состояния Пj ничего не известно;

реализуется только малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана

Этот критерий опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей, а коэффициент (1-) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот. Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае критерий Вальда, т.е. показатель эффективности чистой стратегии Аi равен:

Стратегия с максимальным показателем эффективности является оптимальной. Цена игры определяется по формуле:

При =1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при =0 становится критерием Вальда. Выбор субъективен т.к. определить степень достоверности какой-либо функции распределения довольно сложно. Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам:

Ш вероятности появления состояния Пj неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

Ш принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

Ш при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Критерий произведений

Критерий произведений используется в тех случаях, когда все элементы платежной матрицы положительны, т.е. . Если это условие нарушается, то можно перейти к строго положительным значениям с помощью преобразования аij+a при подходящем образом подобранном a0. Результат при этом будет, естественно, зависеть от а.

При использовании этого критерия показатель эффективности каждой чистой стратегии определяется по формуле:

Оптимальной по критерию произведений будет та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет наибольшим.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

вероятности появления состояния Пj неизвестны;

с появлением каждого из состояний Пj по отдельности необходимо считаться;

критерий применим и при малом числе реализаций решения;

некоторый риск допускается.

Пример.

«Фото Колор» - небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото Колор» - фиксаж ВС-6. Накопленный опыт работы показывает, что спрос на этот продукт может составлять 11, 12 или 13 ящиков в неделю. От продажи каждого ящика фирма получает 350 руб. прибыли. ВС-6, как и многие фотографические реактивы, имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, его следует уничтожить. Так как каждый ящик обходится фирме в 560 рублей, она теряет эту сумму в случае, если ящик не продан к концу недели. Кроме того, если спрос на продукт будет высок, а произведено ВС-6 меньше, то фирма понесет убытки, связанные с недополученной прибылью в размере 160 руб. за ящик.

Определить еженедельный объем производства фиксажа ВС-6, обеспечивающий фирме наибольшую прибыль.

В рассматриваемой ситуации в качестве сознательного игрока А выступает фирма «Фото Колор». Ее чистыми стратегиями будут: А 1 - решение о еженедельном выпуске 11 ящиков фиксажа ВС-6, А 2 - решения о еженедельном выпуске 12 ящиков, А 3 - решение о еженедельном выпуске 13 ящиков.

В качестве второго игрока будем рассматривать совокупность всех внешних обстоятельств, в которых формируется спрос на продукт, - природу П. В данном случае природа может реализовать любое из своих состояний: П 1 - еженедельный спрос на фиксаж ВС-6 составляет 11 ящиков, П 2 - 12 ящиков, П 3 - 13 ящиков.

Выигрыши игрока А - еженедельная прибыль от продажи ВС-6 представлены в следующей таблице.

Наиболее благоприятными будут комбинации (А 1 ; П 1), (А 2 ; П 2) и (А 3 ; П 3), когда еженедельный спрос на фиксаж будет совпадать с объемом производства. В этом случае прибыль будет равна

В случае если еженедельный спрос на продукт превышает объем выпуска (ситуации (А 1 ; П 2), (А 1 ; П 3) и (А 2 ; П 3)), то прибыль будет равна соответственно

Если же объем выпуска продукции будет превышать спрос (ситуации (А 2 ; П 1), (А 3 ; П 1) и (А 3 ; П 2)), то имеем

Очевидно, что в платежной матрице нет доминирующих стратегий, поэтому упростить ее нельзя.

Прежде чем начать анализ, построим матрицу рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы. Расчет производим, используя формулу (1).

Подсчитаем показатели эффективности стратегий

Ш по критерию Байеса в предположении, что вероятности продать 11, 12 или 13 ящиков в течение недели равны 0,45, 0,35 и 0,2,

Ш по критерию Лапласа в предположении, что эти вероятности в равной мере правдоподобны и равны 1/3,

Ш по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например,

Ш по критерию Вальда, критерию Сэвиджа, критерию произведений, критерию Гурвица с показателем (крайнего оптимизма), критерию Гурвица с показателем оптимизма, например, .

Данные результаты расчетов приведены в таблице.

							Гурвица при (крайнего оптимизма)	произведений

Для расчета показателей эффективности по критерию Сэвиджа используем матрицу рисков.

				Гурвица при

В данном примере у решения имеются две поворотные точки относительно весового множителя: до в качестве оптимальной выбирается стратегия А 3 , при - стратегия А 2 , а при больших значениях А 1 .

				Ходжа - Лемана при

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует стратегию А 1 (выпуск 11 ящиков) так же как и критерий Вальда. Смена рекомендуемой стратегии происходит при. Поэтому если, степень доверия игрока А к используемому распределению вероятностей достаточно высока в качестве оптимальной выбирается стратегия А 2 .

При использовании 8 критериев стратегия А 2 выбиралась в качестве оптимальной 5 раз, стратегия А 1 - 2 раза и стратегия А 3 - 1 раз. Поэтому можно сделать вывод о том, что применение стратегии А 2 (выпуск 12 ящиков фиксажа ВС-6) является более предпочтительным.

Примечания

1. Абчук, В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В.А. Абчук. - СПб.: Союз, 1999. - 246с.

2. Аронович, А.Б Сборник задач по исследованию операций / А.Б. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 252с.

3. Грешилов, А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях? / А.А. Грешилов. - М.: Радио и связь, 1991. - 118с.

4. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Н.Ш. Кремер [и др.]. - М.: ЮНИТИ, 1997. - 428с.

5. Лабскер, Л.Г. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности / Л.Г. Лабскер, Е.В. Яновская // Финансовый менеджмент. - 2002. - №5.

6. Просветов, Г.И. Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие / Г.И. Просветов. - М.: Изд-во РДЛ, 2004. - 364с.

Размещено на сайт

Подобные документы

Сущность общей методики формирования критериев. Расчет показателя эффективности стратегии, средневзвешенного выигрыша, цены игры, оптимальности стратегии по критериям Байеса, Лапласа, Вальда, Ходжа-Лемана, Гермейера, максимаксному, критерию произведений.

реферат , добавлен 23.05.2010


Теория статистических решений как поиск оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Критерии принятия решений Лапласа, минимаксный, Сэвиджа, Гурвица и различия между ними. Математические средства описания неопределенностей.

контрольная работа , добавлен 25.03.2009


Принятие решений в условиях неопределенности. Критерий Лапласа и принцип недостаточного основания. Критерий крайнего пессимизма. Требования критерия Гурвица. Нахождение минимального риска по Сэвиджу. Выбор оптимальной стратегии при принятии решения.

контрольная работа , добавлен 01.02.2012


Оптимизация решений динамическими методами. Расчет оптимальных сроков начала строительства объектов. Принятие решений в условиях риска (определение математического ожидания) и неопределенности (оптимальная стратегия поведения завода, правило максимакса).

контрольная работа , добавлен 04.10.2010


Критерии принятия решений в условиях радикальной и вероятностной неопределенности: критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. Выбор проекта, который обеспечит максимальный доход из минимально возможных. Определение среднего дохода по проекту.

контрольная работа , добавлен 23.09.2014


Экономическое обоснование принятия решений в условиях риска. Понятие и формулировки, методы решения проблем. Критерий Гермейера, Гурвица, Байеса-Лапласа. Решение задачи при помощи компьютера: условные, абсолютные, искомые апостериорные вероятности.

курсовая работа , добавлен 09.04.2013


Статистические модели принятия решений. Описание моделей с известным распределением вероятностей состояния среды. Рассмотрение простейшей схемы динамического процесса принятия решений. Проведение расчета вероятности произведенной модификации предприятия.

контрольная работа , добавлен 07.11.2011


Решение задач при помощи пакета прикладных программ MatLab. Загрузка в MatLab матриц A и P. Нахождение оптимальной стратегии для заданных матриц с использованием критериев принятия решений в условиях неопределённости Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.

лабораторная работа , добавлен 18.03.2015


Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.

курсовая работа , добавлен 16.09.2013


Сущность правил Вальда (крайний пессимизм) и Сэвиджа (минимальный риск) при принятии решений в условиях полной неопределенности. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего риска. Риск как среднее квадратичное отклонение.