Содержание публикуемого материала полностью основано на тщательном научном анализе множества примеров орнаментального искусства палеолита и неолита. Данные, полученные после изучения их симметричных и антисимметричных элементов, убедительно доказывают, что в орнаментах разных народов мира практически нет различий, а элементарные составляющие узоров сохраняются на протяжении всей истории декоративного искусства и представляют собой декоративные архетипы.

В связи с большим количеством информации материал разделен на взаимосвязанные главы. Первая глава - введение, которое вы сейчас читаете. Остальные три главы посвящены соответственно симметрии розеток, одномерным моделям бордюров и двумерным орнаментальным структурам. Данная статья и последующие главы рассказывают о некоторых результаты симметрийного анализа образцов декоративного искусства палеолита и неолита. Они посвящены поиску "декоративных архетипов" - универсального основания всего декоративного искусства. Ведь развитие орнамента всегда шло рядом с развитием человечества и отражает стремление человека к пониманию и выражению закономерностей - факторов, лежащих в основе любого научного знания.

Окончательный вывод, который удалось получить: большинство орнаментальных мотивов, исследованных с точки зрения теории симметрии, являются гораздо более древними, чем мы могли ожидать. Этот факт отодвигает дату появления декоративного искусства на несколько тысяч лет до возникновения самых древних цивилизаций.

Связь визуального искусства с геометрией существовала всегда. Эта связь становится особенно очевидной, когда к изучению декоративно-прикладного искусства мы применяем теорию симметрии. Поэтому, орнаментальное искусство называется у H. Вейля "старейшим аспектом высшей математики, заданной в неявном виде", и у А. Спейсера "предысторией теории групп".

Идея исследования орнаментов разных культур по аналогии с симметрией кристаллов на плоскости (теория Г. Поля ) и применяя теорию групп конечного порядка А. Спейсера , была поддержана интенсивным развитием теории симметрии в 20-м веке. Появился целый ряд работ, посвященных в основном декоративному искусству древних цивилизаций, внесших наибольший вклад в развитие декоративно-прикладного искусства (египетские, арабские, мавританские и др.) , и этническому орнаментальному искусству . Однако только в некоторых из последних работ, исследователи обращаются к самым корням, к истокам декоративно-прикладного искусства, к эпохе палеолита и неолита . Антисимметрия - расширение классической теории симметрии - и наука о цветовой симметрии, позволили провести более глубокий анализ монохроматических и полихроматических орнаментальных мотивов эпохи неолита и древних цивилизаций.

На чем основывался анализ? В первую очередь на том, что орнаментация обычно ограничивается двумерной плоскостью. В данном ключе рассматривались симметричные плоскостные группы: розетки, бордюры и т.д. Дискретная симметрия розеток составила две исследуемые группы: циклическую и диэдральную. Циклическая группа, выражаемая простейшей формулой Dn, создается двумя отражениями на линии пересечения инвариантной точки - центр смещения n-порядка. Узоры циклической группы составляются путем трансляции элементарных компонентов по кругу путем поворота вокруг неподвижной точки, кратной 360 градусам, поделенным на n-порядок. Диедральную группу орнаментов составляют узоры, вписанные в правильные многогранники и правильные многогранники образующие.

Обе группы симметрии - циклическую и диэдральную - легко обнаружить в природных формах.

Рис. 1. Циклическая симметрия в орнаменте и природе

Рис. 2. Диэдральная симметрия в орнаменте и природе

Всего выявлено семь дискретных групп, которые могут быть выражены такой последовательностью: 11, 1g, 12, m1, 1m, mg и mm, где g - обозначает скользящее отражение (от англ. glide), m - обычное отражение. Переменной n мы выражаем вращение n-порядка. Полученная последовательность интерпретируется относительно координатной плоскости, где учитываются элементы, располагающиеся перпендикулярно и параллельно оси смещения.

Рис. 3. Антисимметрия

Когда в последующих главах мы будем упоминать о непрерывных группах симметрии, наличие непрерывного смещения будем обозначать индексом 0, а в антисимметричных группах "антисмещение" будем обозначать символом одинарной кавычки -".

Под термином "преднаучный период" мы понимаем период с 25000-10000 до н.э.

В отсутствие письменных источников, изучение геометрии доисторического периода может вестись только на основе анализа артефактов, где геометрические знания преподносятся в явной форме. Старейшие из артефактов эпох палеолита и неолита - кости, рисунки на камне. Более поздние - роспись керамики, гравировка, прессование, а также архитектурные объекты и сооружения, так называемые мегалитические памятники.

Следующая глава полностью посвящена симметрии розеток .

Список всех четырех глав:

Источники

• 1. Weyl H., Symmetry, Princeton University Press, Princeton, 1952.
• 2. Polya G., Uber die Analogie der Kristall symmetrie in der Ebene, Z. Kristall. 60 (1924), 278-282.
• 3. Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2nd ed., Berlin, 1927.
• 4. Белов Н.В., Средневековый мавританский орнамент и группы симметрии, Советские физики - Кристаллография 1 (1956), 482-483.
• 5. Garido J., Les groupes de symetrie des ornaments employes par les anciennes civilisations du Mexique, C.R. Acad. Sci. Paris 235 (1952),1184-1186.
• 6. Grunbaum B., The Emperor"s New Clothes: Full Regalia, G string, or Nothing, Math. Inteligencer 6, 4 (1984), 47-53.
• 7. Grunbaum B., Grunbaum Z., Shephard G.C., Symmetry in Moorish and Other Ornaments, Comput. Math. Appl. 12B, 3/4 (1986), 641-653.
• 8. Muller E., Gruppentheoretische und Strukturanalytische Untersuchungen der Maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada, Ph.D. Thesis, Univ. ZUrich, Ruschlikon, 1944.
• 9. Crowe D.W., The Geometry of African Art I. Bakuba Art, J. Geometry 1 (1971), 169-182.
• 10. Crowe D.W., The Geometry of African Art, II. A Catalog of Benin Patterns, Historia Math. 2 (1975), 57-71.
• 11. Crowe D.W., The Geometry of African Art m. The Smoking Pipes of Begho, In The Geometric Vein, ed. C.Davis, B. Grunbaum and F.A. Sherk, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981.
• 12. Washburn D.K., Symmetry Analysis of Ceramic Design: Two Tests of the Method on Neolithic Material from Greece and the Aegean, In Structure and Cognition in Art, Cambridge University Press, London, 1983.
• 13. Jablan S.V., Theory of Symmetry and Ornament, Mathematical Institute, Beograd, 1995.
• 14. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika I, Dijalektika 1-4 (1985), 107-148.
• 15. Jablan S.V., Antisimetrijska ornamentika II, Dijalektika 3-4 (1986), 13-56.

Симметрия, воспринимаемая как проявление порядка, обладает эстетической ценностью, то есть воспринимается как нечто красивое.

Простой пример убеждает нас в этом. Чернильная клякса сама по себе не красива, но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит другое впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы и определит ее красоту.

Узор на рисунке получен с помощью зеркальной симметрии (рис. 28). Однако закон его построения слишком прост и очевиден, поэтому и эстетическая ценность такого узора невелика.

Рис. 28. Узор, полученный с помощью зеркальной симметрии

Переносная симметрия (копирование фигуры и ее сдвиг по горизонтали) представляет собой простейший прием создания орнаментального ряда - бордюр (рис. 29).

Создавая различные промежутки между копиями, можно добиваться различного ритма в пределах ряда - например, сдвигать фигуры парами (рис. 30).

Можно чередовать пары с одиночным изображением (рис. 31).

Следующий бордюр имеет более сложный закон построения. Такой прием нередко используется при создании многорядных орнаментов. Сдвинув вертикально вверх или вниз весь ряд, получим два абсолютно одинаковых ряда (рис. 32).

Рис. 30. Примеры переносной симметрии с добавлением ритма в пределах ряда

Рис. 31. Примеры чередования пары с одиночным изображением

Рис. 32. Примеры сдвига ряда

Рис. 33. Примеры симметрии с интервалами между изображениями

Рис. 34. Примеры комбинирования

Он может быть сплошным или с определенными интервалами между изображениями (рис. 33).

Комбинированным. Вертикальный и горизонтальный сдвиг с зеркальной симметрией (рис. 34).

Возникающие пустоты можно заполнить другими элементами (риc. 35).

Рис. 35. Пример заполнения пустот

Чередование горизонтальных и вертикальных сдвигов, выполненных в определенном ритме, создает основу для извилистой линии, объединяющей элементы орнамента. Возникающие промежутки также могут быть заполнены иным орнаментом (рис. 36).

Многократный сдвиг горизонтальных рядов по вертикали (или вертикальных по горизонтали) позволяет заполнить изображениями всю декорируемую плоскость (рис. 37).

Рис. 36. Пример заполнения пустот

Рис. 37. Примеры многократного сдвига горизонтальных рядов по вертикали

Иная картина получается при использовании другого приема пространственного переноса - вращения, мы получаем фигуру, обладающую радиальной симметрией, так называемую «розетку». Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360 градусов / n (n = 2, 3, 4......), то есть обладают поворотной симметрией n- ого порядка (рис. 38).

Рис. 38. Примеры радиальной симметрии полученной путем вращения

Возможны несколько вариантов построения розетки. Например, центр вращения может находиться на одном из краев фигуры (рис. 39).

Центр вращения находится в пределах элемента (рис. 40).

Центр вращения находится за пределами элемента (рис. 41).

В центре получившейся розетки оказывается свободное пространство, которое можно заполнить иным изображением, или вписать туда другую розетку (рис. 42).

Рис. 39. Пример радиальной симметрии с центром вращения на краю фигуры

Рис. 40. Пример радиальной симметрии с центром вращения в пределах элемента

Рис. 41. Пример радиальной симметрии с центром вращения за пределом фигуры

Рис. 42. Пример радиальной симметрии с заполненным свободным пространством

Предполагается, что при создании розеток мы поворачиваем элемент изображения так, чтобы все углы были равны, и при делении 360 градусов (развернутый угол) на угол поворота получалось целое натуральное число - 3, 5, 8, 12 и т.д. Другими словами, круг при этом делится на определенное число секторов, в каждом из которых находится элемент розетки.

Вернемся к другому приему, рассмотренному выше, - зеркальному отражению. Нетрудно проверить, что ни вращением, ни боковым переносом образовавшуюся копию не получить. Она зеркально симметрична относительно исходной.

Положение плоскости, в которой отражается элемент орнамента, может быть произвольным. Необходимо получить одну - единственную зеркальную копию элемента (рис. 43). Все иные отражения, произведенные с помощью иначе расположенных плоскостей, можно получить путем вращения первой зеркальной копии относительно некоторого центра.

Рис. 43. Примеры зеркального отражения

Зеркально можно отразить целый ряд (рис. 44).

Рис. 44. Примеры зеркального отражения ряда

Получив одну «зеркальную» пару, можно получить ее зеркальное отражение (рис. 45).

Рис. 45. Примеры зеркального отражения «зеркальной» пары

Комбинируя сдвиг и зеркальное отражение, удается получить интересное решение линейного орнамента (рис. 46).

Рис. 46. Примеры комбинации сдвига и зеркального отражения

Прием зеркального отражения можно применять при создании розеток. В этом случае необходимо получить пару зеркально отображенных секторов, а затем вращать их вокруг центра (в этом случае количество секторов, на которые разбит круг розетки, обязательно должно быть четным) (рис. 47).

Рис. 47. Примеры розеток, полученных приемом зеркального отражения

Наконец, орнаментальная симметрия строится на одной из пяти возможных плоских решеток. Предварительное вычерчивание решеток является полезным вспомогательным приемом при построении орнамента.

Простейшая решетка создается за счет вертикального и горизонтального сдвигов квадрата. При этом элементы орнамента могут располагаться в разных квадратиках решетки, что значительно облегчает рисование (рис. 48).

Орнамент, построенный с помощью квадратной решетки (рис. 49).

Рис. 48. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе плоской решетки

Рис. 49. Пример орнаментальной симметрии, построенной на основе квадратной решетки

Также орнамент строится с помощью треугольной и ромбической решетки (рис. 50).

Шесть равносторонних, смежных треугольников образуют гексагональную (шестиугольную) решетку.

Рис. 50. Примеры орнамента, построенного на основе треугольной и ромбической решеток

(На основе правильных шестиугольников часто строятся орнаменты в некоторых исламских странах).

Орнаментальная симметрия является основным принципом построения любого орнамента.

Задание-подобрать иллюстрации к текстам (вставить иллюстрации

В текст)

И выучить термины

Стр.2,3

ВИДЫ И РОЛЬ СИММЕТРИИ В ВОЗНИКНОВЕНИИ ОРНАМЕНТАЛЬНОГО ОБРАЗА

ГРЕЧЕСКОЕ СЛОВО СИММЕТРИЯ ОЗНАЧАЕТ СОРАЗМЕРНОСТЬ, А СЛОВО АСИММЕТРИЯ - ЕЕ ОТСУТСТВИЕ. СИММЕТРИЯ - ЭТО ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ПОРЯДОК, МАТЕМАТИЧЕСКИ ТОЧНАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ В РАСПОЛОЖЕНИИ ПРЕДМЕТОВ ИЛИ ИХ ЧАСТЕЙ. ИМЕННО БЛАГОДАРЯ СИММЕТРИИ, ПРИСУЩЕЙ ОРНАМЕНТУ, ОН МОЖЕТ ИГРАТЬ ОРГАНИЗУЮЩУЮ РОЛЬ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ДЕКОРАТИВНОГО ИСКУССТВА.

СУЩЕСТВУЕТ НЕСКОЛЬКО ВИДОВ СИММЕТРИИ. ЧАЩЕ ВСЕГО МЫ ВСТРЕЧАЕМСЯ С ЗЕРКАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ. ОНА ПРИСУЩА ТЕЛУ ЧЕЛОВЕКА И БОЛЬШИНСТВА ЖИВОТНЫХ, А ТАКЖЕ МНОГИМ ПРЕДМЕТАМ, КОТОРЫМИ МЫ ПОЛЬЗУЕМСЯ. ОНА ШИРОКО ПРИМЕНЯЕТСЯ В ИСКУССТВЕ.

СИММЕТРИЯ С ДРЕВНИХ ВРЕМЕН ПРИВЛЕКАЕТ К СЕБЕ ВНИМАНИЕ ЛЮДЕЙ. В НАБЛЮДАЕМОЙ СИММЕТРИИ ПРИРОДНЫХ ФОРМ НАХОДИЛИ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ РАЗУМНОГО УСТРОЙСТВА МИРОЗДАНИЯ, В НЕЙ ИСКАЛИ СУТЬ КРАСОТЫ, СВИДЕТЕЛЬСТВО ГАРМОНИИ.

К ПОНЯТИЯМ СИММЕТРИИ ОТНОСЯТСЯ ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ, ОСЬ СИММЕТРИИ, ЦЕНТР СИММЕТРИИ.

ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКАЯ ПЛОСКОСТЬ, КОТОРАЯ ДЕЛИТ ФИГУРУ НА ДВЕ ЗЕРКАЛЬНО РАВНЫЕ ЧАСТИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ ДРУГ ОТНОСИТЕЛЬНО ДРУГА ТАК, КАК ПРЕДМЕТ И ЕГО ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ.

ОСЬЮ СИММЕТРИИ НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ВОКРУГ КОТОРОЙ СИММЕТРИЧНАЯ ФИГУРА МОЖЕТ БЫТЬ ПОВЕРНУТА НЕСКОЛЬКО РАЗ ТАКИМ ОБРАЗОМ, ЧТО КАЖДЫЙ РАЗ ФИГУРА "САМОСОВМЕЩАЕТСЯ" САМА С СОБОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА ВНУТРИ ФИГУРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩАЯСЯ ТЕМ, ЧТО ЛЮБАЯ ПРОВЕДЕННАЯ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ПРЯМАЯ ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ НЕЕ И НА РАВНЫХ РАССТОЯНИЯХ ВСТРЕЧАЕТ ОДИНАКОВЫЕ (СООТВЕТСТВЕННЫЕ) ТОЧКИ ФИГУРЫ. "ИДЕАЛЬНЫМ" ПРИМЕРОМ ТАКОЙ ФИГУРЫ ЯВЛЯЕТСЯ ШАР, ЦЕНТР КОТОРОГО И ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ.

ВИДЫ СИММЕТРИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ОРНАМЕНТАЛЬНЫХ СТРУКТУРАХ:

* ОСЕВАЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ)

* ЦЕНТРАЛЬНАЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ)

* ЗЕРКАЛЬНАЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ)

ПРИМЕР(ы)

РАСПРОСТРАНЕННЫМ ВИДОМ СИММЕТРИИ В ОРНАМЕНТЕ ЯВЛЯЕТСЯ БОРДЮР. БОРДЮР – ЭТО ЛИНЕЙНЫЙ ОРНАМЕНТ, ПОЛУЧЕННЫЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ НЕКОТОРОЙ ФИГУРЫ. ЛИНЕЙНЫЙ ОРНАМЕНТ ОБЫЧНО ПРИМЕНЯЕТСЯ ТАМ, ГДЕ НУЖНО ОГРАНИЧИТЬ КАКУЮ-ТО ПОВЕРХНОСТЬ ИЛИ РАЗБИТЬ ЕЕ НА ЧАСТИ.

ПРИМЕР(ы)

НА ПРАКТИКЕ БОРДЮР МОЖЕТ СТРОИТЬСЯ НЕ ТОЛЬКО ПО ПРЯМОЙ, НО И ВДОЛЬ ЛОМАНОЙ ИЛИ ИЗОГНУТОЙ ЛИНИИ. В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС СОВЕРШАЕТСЯ, СЛЕДУЯ ИЗГИБАМ И ПЕРЕЛОМАМ ОСИ. БОРДЮР, КРОМЕ СИММЕТРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА, МОЖЕТ ОБЛАДАТЬ И ДРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ СИММЕТРИИ. ОНИ ВОЗНИКАЮТ В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА ТОТ ИЛИ ИНОЙ ВИД СИММЕТРИИ ПРИСУЩ КАЖДОМУ ОТДЕЛЬНО ВЗЯТОМУ ЭЛЕМЕНТАРНОМУ МОТИВУ ОРНАМЕНТА.

РОЗЕТКА , КАК ВИД СИММЕТРИИ, НАШЛА ШИРОКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ОРНАМЕНТЕ. ВЫДЕЛЕНО ЧЕТЫРЕ ТИПА РОЗЕТОК, КОТОРЫЕ ОТЛИЧАЮТСЯ ПРИМЕНЕНИЕМ КОЛИЧЕСТВА ОСЕЙ И ПЛОСКОСТЕЙ СИММЕТРИИ, ПРИМЕНЯЕМЫХ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИГУРЕ. ТАК ПРИ ПОСТРОЕНИИ РОЗЕТОК МОГУТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТОЛЬКО ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ ИЛИ ТОЛЬКО ОСЬ СИММЕТРИИ, ИЛИ ОСЬ И ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ, ИЛИ И МНОЖЕСТВО ПЛОСКОСТЕЙ СИММЕТРИИ.

ПРИМЕР(ы)

*ЗЕРКАЛЬНАЯ РОЗЕТКА *ОСЕВАЯ РОЗЕТКА

В ИСКУССТВЕ ОРНАМЕНТА НЕРЕДКО ИСПОЛЬЗУЮТ - СЕТЧАТЫЕ ОРНАМЕНТЫ ). СЕТЧАТЫЙ ОРНАМЕНТ, КАК ВИД ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ, ШИРОКО РАСПРОСТРАНЕН В ВЫШИВКЕ. ОН ЗАПОЛНЯЕТ ВСЮ ПОВЕРХНОСТЬ И РАСПОЛАГАЕТСЯ ПО НЕВИДИМОЙ СЕТКЕ С САМЫМИ РАЗЛИЧНЫМИ ФОРМАМИ ЯЧЕЕК: РОМБА, КВАДРАТА, ТРЕУГОЛЬНИКА.

РАЗЛИЧАЮТ ПЯТЬ СИСТЕМ ТОЧЕК (УЗЛОВ ОРНАМЕНТАЛЬНОЙ СЕТКИ), КОТОРЫЕ ЛЕЖАТ В ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ БОЛЬШИНСТВА СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ: КВАДРАТНУЮ; ПРАВИЛЬНУЮ ТРЕУГОЛЬНУЮ, ОСНОВУ КОТОРОЙ СОСТАВЛЯЕТ РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК; ПРЯМОУГОЛЬНУЮ, СОСТОЯЩУЮ ИЗ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ С ЛЮБЫМ СООТНОШЕНИЕМ СТОРОН; РОМБИЧЕСКУЮ, СОСТОЯЩУЮ ИЗ РОМБОВ С ЛЮБЫМ СООТНОШЕНИЕМ ДИАГОНАЛЕЙ; ПАРАЛЛЕЛОГРАММАТИЧЕСКИЕ, СОСТОЯЩИЕ ИЗ ПАРАЛЛЕЛОГРАММОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА, ПРИЧЕМ НАКЛОН ЯЧЕЙКИ МОЖЕТ БЫТЬ КАК ЛЕВЫМ, ТАК И ПРАВЫМ.

ПРИМЕР(ы)

РАЗЛИЧАЮТ 17 ВИДОВ СИММЕТРИИ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ (ШУБНИКОВ А.В. СИММЕТРИЯ. М.; Л., 1940). С КАЖДЫМ ИЗ ЭТИХ ВИДОВ СВЯЗАНО СВОЕ ЗРИТЕЛЬНОЕ ВОСПРИЯТИЕ, КОТОРОЕ МОЖНО ПРОИЛЛЮСТРИРОВАТЬ НА ОДНОМ ТОЛЬКО ПРИМЕРЕ, КОГДА ЗА ОСНОВУ ПРИНЯТА ЕДИНСТВЕННАЯ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФИГУРА. ЭТО ДЕЛАЕТСЯ ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ИЗЛИШНЕ НЕ ЗАГРОМОЖДАТЬ РИСУНКИ НЕНУЖНЫМИ НА ПЕРВЫХ ПОРАХ ДЕТАЛЯМИ И ЧТОБЫ НЕТРУДНО БЫЛО РАЗОБРАТЬСЯ В СУТИ ТОГО ИЛИ ИНОГО ВИДА СИММЕТРИИ СЕТЧАТОГО ОРНАМЕНТА. ЗА ОСНОВУ ВОЗЬМЕМ ТУ ЖЕ ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ФИГУРУ, ЧТО И ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ РОЗЕТТ И ЛЕНТОЧНОГО ОРНАМЕНТА.

В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ЖЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИГУРЫ, ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ПРИ ПЕРЕНОСЕ ПО ОБЕИМ ОСЯМ, МОГУТ БЫТЬ СОВЕРШЕННО ОТДЕЛЕНЫ ДРУГ ОТ ДРУГА, Т.Е. НЕ ПЕРЕСЕКАТЬСЯ, А МОГУТ И САМИ СОСТОЯТЬ ИЗ РАЗОБЩЕННЫХ ЧАСТЕЙ:

ПРИМЕР(ы)

Цель: исследовать преобразование симметрии при построении орнаментов

Задачи:

• Обучающие : систематизация знаний в преобразовании фигур
• Воспитывающие : трудолюбие, терпеливость; содействовать развитию исследовательских умений, навыков построения красивых фигур и художественного творчества при замощении плоскости.
• Развивающие : развитие логического мышления развитие внимания, художественного творчества развитие эстетической культуры, кругозора и любознательности учащихся умение выделять, “видеть” в сетках фигуры

Ход урока

1. Актуализация знаний

Рассматриваются различные примеры преобразований фигур.

Рис. 1

Дается название трем видам преобразований, выполненным по определенным правилам. В данном случае каждая точка фигуры F переводится в другую точку фигуры F’.

Учитель знакомит учащихся с примерами центрально – симметричных фигур.

Рис. 2

Вопросы к учащимся:

1. Покажите центр симметрии фигур.
2. Назовите фигуры, имеющие не один центр симметрии (Фигура, состоящая из двух параллельных прямых а и в , имеют не один центр симметрии)
3. Назови другие примеры центрально-симметричных фигур. (параллелограмм )
4. Назови фигуру, отличную от табличной, которая имеет не один центр симметрии (прямая )
5. Имеет ли центр симметрии фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?

Рассматривается рисунок 3.

Рис. 3

1. Сколько осей симметрии имеют данные фигуры?
2. Назови номера фигур, которые имеют одну, две, три, четыре, бесконечное множество осей симметрии.
3. Нарисуй фигуру, отличную от тех, что помещены на рисунке, симметричную относительно некоторой оси.

Рассмотрим следующие преобразования симметрии

Переносная симметрия
	Рассмотрим плоскую фигуру.
При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной , или трансляционной , симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом . Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса.
Рис. 4		Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2.

Поворотная симметрия

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя,

при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1 , что ОМ = ОМ 1 и уголМОМ 1 равен . При этом точка О остается на месте, а все остальные тоски поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Рис. 5

Зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (Рисунок 16), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам (EA = AE’). Плоскость S называется плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот). Они называются зеркально равными .

Рис. 6

Примеры фигур, обладающие зеркальной симметрией:

Рис. 7

Рассмотрим применение преобразований симметрии в орнаментах.

Что такое орнамент?

Орнамент (от латинского ornamentum-украшение) узор, состоящий из ритмически повторяющихся элементов для украшения каких-либо предметов или архитектурных построек. Орнамент можно встретить практически везде. Орнамент очень часто встречается в вышивке, в резьбе по дереву, в архитектуре, даже в природе можно встретить орнамент. Не возможно представить старинную чувашскую одежду без орнамента. Всегда женщины вышивали на своей одежде всевозможные орнаменты. Всегда когда встречали гостей подносили на украшенном орнаментом полотенце. Орнамент всегда присутствовал в изделиях из ткани.Если бы вы попали в деревне, то вы бы заметили что на всех домах есть очень красивая повторяющаяся резьба. Всегда русский народ украшал свои дома резными охлупнями, карнизами, наличниками. В украшение многих строений используется орнамент. Орнамент делает постройки более красивыми. Красивые колонны с орнаментом сделают любую постройку очень красивой. Орнамент украсит любое изделие, будь-то хоть изделие из ткани, хоть постройка.

Рассмотрим несколько типов орнаментов.

Рис. 8

Какие виды преобразований симметрии здесь приведены

Исходя из преобразований, орнаменты можно выделит на три типа

• Линейные
• Сетчатые.
• Замкнутые.

Линейные орнаменты – орнамент в полосе с линейным вертикальным или горизонтальным чередованием мотива (ленточный).

Сетчатый, или раппорный, орнамент. Мотив в нем повторяются и по вертикали, и по горизонтали, этот орнамент бесконечен во всех направлениях. Раппорт – минимальная площадь, включающая мотив и расстояние до соседнего мотива. Обычно пользуются прямоугольным раппортом.

Замкнутый орнамент. Он компонуется в прямоугольнике, квадрате или круге (розеты). Мотив в нем либо не имеет повтора, либо повторяется с поворотом на плоскости.

На рис. 8 выделите линейные,сетчатые, замкнутые орнаменты. Изучая способы построения сетчатых и замкнутых орнаментов, можно заняться замощением плоскости. Замостить плоскость можно используя сетчатые орнаменты.А как это делается, можно посмотреть презентацию работ моей ученицы Андреевой В, ученицы 7-го класса.

Итак, давайте сделаем выводы.

Мы сегодня повторили преобразование симметрии и применение их в построении орнаментов, рассмотрели способы и построения линейных, сетчатых, замкнутых орнаментов и способы замощения плоскости различными фигурами.

В основе построения орнамента, составленного из абстрактных или изобразительных мотивов, лежит многократное повторение этих мотивов по законам симметрии.

Симметрия -- это определенный порядок в построении какой-либо пространственной формы, позволяющий этой форме совмещаться с самой собой при определенных поворотах, сдвигах или отражениях. Различные виды симметрии изучаются специальными разделами математики

В науке о симметрии различают два типа симметрии: конечные (например, розетки) и бесконечные, чья структура может быть продолжена в одном (волнистая линия, меандр и т. п.), в двух или трех направлениях. В орнаменте используются оба эти типа симметричных структур.

Среди наиболее распространенных видов симметрии, используемых при создании орнаментальных композиций, находится зеркальная симметрия. Это когда предмет или фигура делятся плоскостью на две половины так, чтобы одна половина, отразившись в этой плоскости как в зеркале, совпала с другой. Зеркальная симметрия присуща телу человека, телам многих животных. Она способствует впечатлению уравновешенности и покоя. В орнаменте сохраняется то же ощущение.

Другой вид симметрии -- осевая симметрия, при которой фигуры совмещаются посредством поворота вокруг оси, перпендикулярной к плоскости изображения. Количество таких совмещений на протяжении полного кругового оборота фигуры называется порядком оси. Осевая симметрия может иметь любой выраженный целым числом порядок -- от второго до бесконечности.

Фигур с осевой симметрией может быть бесконечное множество. Для них характерна четкая организация, когда равные друг другу части распределены вокруг единого центра (точка, через которую проходит ось симметрии) равномерно и в одинаковом к нему отношении. При этом все углы поворотов совпадения фигуры с самой собой должны быть равны, иначе полного совпадения не произойдет. Расстояние от одноха-рактерных точек фигуры до центра также должно быть одинаково.

Осевая симметрия часто встречается в природе, широко применяется в орнаментах: симметрия цветка и орнаментального аналога -- розетки.

Когда фигура имеет узор, построенный на основе только осевой симметрии, то этот орнамент производит впечатление бесконечной подвижности и выражает вращательное движение в определенном направлении.

орнамент стиль морфологический художественный

Изразцовый фриз. Россия. Вторая половина XVIIв.

Чаще встречаются розетки, совмещающие в себе осевую и зеркальную симметрии (в этом случае имеются не только оси, но и плоскости зеркальной симметрии). Тогда плоскости обязательно проходят через ось, пересекаются в ней, и их число соответствует порядку осевой симметрии фигуры. Такого рода формы гораздо уравновешеннее, спокойнее. Зеркальное отражение такой фигуры не отличается от нее самой, и может быть с ней совмещено не только зеркальным способом. Такая форма представляется глазу наиболее завершенной и ясной: по всем направлениям от ее центра отходят одинаковые, взаимно уравновешивающие друг друга элементы. Уравновешена и потому статична такая розетка и внутри себя, поскольку в ней отсутствует асимметрия не только в целом, но и в каждом отдельно взятом элементе ее структуры (в розетке без плоскостей симметрии такие элементы были сами по себе асимметричны и вызывали ощущение вращения).

Поэтому мотивы, обладающие симметрией такого рода, получили в орнаментальном искусстве особенное распространение и значение. Завершенность их формы создает образ гармоничного покоя. Цельность и замкнутость формы позволяет организовать любую поверхность, отметив ее центр, противопоставленный периферии.

Все рассматриваемые выше симметрии относятся к ограниченным симметричным структурам конечных фигур орнамента. Знакомство с новым видом симметрии -- параллельным переносом поможет понять, как устроены потенциально бесконечные узоры.

Если вдоль оси равномерно расположить декоративные одинаковые мотивы, то таким образом образуется ленточный орнамент, бордюр, который может быть бесконечно продолжен в обе стороны. Такому орнаменту присуща особая симметрия: если его сдвинуть вдоль оси на одно звено, то каждая из фигур узора наложится на среднюю фигуру, совместится с ней.

Ленточный (линейный) бордюр -- один из наиболее распространенных и важных видов орнамента. Он постоянно используется для ограничения какой-либо поверхности, отличающейся разнообразными художественными качествами. На практике линейный орнамент может строиться не только вдоль прямой оси, но и по ломаной или различным образом изогнутой линии. В любом случае эта линия остается для орнамента осью, т. е. перенос мыслится совершаемым вдоль нее, вслед за любыми ее изгибами и переломами.

Бордюр кроме симметрии переноса может также обладать и другими элементами симметрии. Они возникают тогда, когда тот или иной вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента. Всего разных видов симметрии бордюров насчитывается семь, и впечатление от них, художественные возможности каждого примененного в орнаменте вида оказываются различными.

Ритмичное движение бордюра с асимметричным исходным мотивом, не создающим дополнительных симметрии, односторонне. Если перевернуть такой узор зеркально, то он «потянет» в обратную сторону. Кроме того, подобный орнамент по-разному обращен к тем частям, которые он разделяет. Тем самым он характеризует эти поверхности не одинаково и может создать ощущение их различной плотности и глубины.

Орнаментальный мотив, обладающий зеркальной симметрией, сообщит такую симметрию и бордюру, если только плоскости отражения будут расположены перпендикулярно или параллельно его оси.

Случается, что в подобном орнаменте взаимно отражающие друг друга мотивы сдвинуты вдоль оси переносов. Чтобы восстановить зеркальную симметрию, нужно несколько сместить по оси одну из половинок бордюра. Этот вид симметрии называется «скользящим отражением». Обычно в таком бордюре используется парный мотив, например, отражение листа, а лист занимает место отраженного цветка. Ритм орнамента оказывается, при всей его четкости, богаче и сложнее, чем в узорах без скользящего отражения.

Бордюрам также может быть свойственна и осевая симметрия, наряду с плоскостями отражения или без них. Это значит, что весь бордюр может совпадать с самим собой при повороте на 180° вокруг любой из бесконечного множества осей, расположенных на равных расстояниях между собой и проходящих через продольную осевую линию узора. Можно выделить три вида таких орнаментов: бордюр без зеркальных плоскостей, тогда оба края одинаковы по характеру рисунка, их ритм ведет глаз в противоположные стороны. Такой орнамент выглядит беспокойным и напряженным (например, классический меандр).

Если же к поворотным осям добавляются также и плоскости отражения, ритмическое напряжение узора ослабевает, он выглядит более спокойным. Вместе с поперечными плоскостями такой узор обогащается и скользящим отражением.

Другой вид бордюра сочетает в себе поперечные плоскости отражения с продольной и обладает, наряду с зеркальной, также осевой симметрией. Он строго статичен, на все стороны уравновешен. В нем имеют одинаковый характер и оба края, и оба направления оси переносов.

Основой сетчатых орнаментов (раппортов) является простая сетка. Ячейки такой сетки могут быть квадратами, ромбами, прямоугольниками, параллелограммами или равносторонними треугольниками. В зависимости от этого меняется характер симметрии самой сетки, а значит, и построенного на ней орнамента. Кроме того, на симметрию узора влияют, как и в бордюрах, элементы симметрии самого повторяемого мотива.

Всего математики насчитывают 17 видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях уже известные нам виды симметрии: поворотная -- второго, третьего, четвертого и шестого порядка, зеркальная, скользящее отражение. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления.

Если плоскости отражения, придающие обычному узору равновесие и устойчивость, повернуть вкось, весь орнамент станет казаться далеко не таким спокойным и конструктивным.

В искусстве орнамента нередко используется заполнение плоскости прямолинейными одинаковыми фигурами. Такой рисунок придает поверхности четкую ритмическую организацию. Только два рода фигур -- различные параллелограммы (включая прямоугольники, квадраты, ромбы) и шестиугольники с попарно параллельными сторонами -- заполняют плоскость сплошь, без припусков и наложений, с помощью одних только переносов сохраняя ту же самую ориентацию.

Симметрия подобия встречается в орнаменте достаточно часто. В этом случае одинаковые или сходные по форме элементы узора не равны по размеру. Они могут образовывать нарастающие или убывающие ряды или заполнять поверхность расходящимися из одной точки и увеличивающимися по мере удаления от нее подобными фигурами.

Орнаменты, построенные на принципе подобия, всегда чрезвычайно динамичны, активно овладевают поверхностью и создают ощущение движения.