Введение

Частным случаем функциональных рядов являются тригонометрические ряды. К изучению тригонометрических рядов привела известная проблема звучащей струны, над которой работали такие математики как Эйлер, Даламбер, Фурье и другие.

В настоящее время тригонометрические ряды, наряду со степенными рядами, играют важную роль в науке и технике.

1.Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье.

Определение. Последовательность функций

1, cosx, sinx,cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, …

называется тригонометрической системой функций.

Для тригонометрической системы функций справедливы следующие равенства:

π ∫ cos nxdx=	π ∫ sin nxdx=	π ∫ cosnx sinmxdx = 0, (n ≥ 1),
−π	−π	−π
π ∫ cosnx cosmxdx = π ∫ sinnx sinmxdx = 0, (n ≠ m ),
−π	−π
π ∫ cos2 nxdx = π ∫ sin2 nxdx = π , (n ≥ 1).
−π	−π

Эти равенства легко доказываются с помощью известных формул тригонометрии:

	cos nx sinmx =						(sin(n + m )x − sin(n − m )x ),
	cos nx cosmx =						(cos(n + m )x + cos(n − m )x ),
	sin nx sinmx =					(cos(n − m )x − cos(n + m )x ).

	Совокупность					равенств				называется	ортогональностью
	тригонометрической системы.
	Пусть f(x) – интегрируемая на отрезке [-π ,π ] функция и
	a n=			∫ f (x ) cosnxdx ,b n =				∫ f (x ) sinnxdx , (n = 0,1,2,...).
			−π					−π
	Определение.					Функциональный ряд
					+ ∑ (a n cosnx + b n sinx ),
					n= 1

в котором коэффициенты a n , b n определены формулами (2), называется

тригонометрическим рядом Фурье функции f (x ) , а сами коэффициенты –

коэффициентами Фурье.

Тот факт, что ряд (3) является тригонометрическим рядом Фурье функции f (x ) , записывается следующим образом:

	f (x)		+ ∑ (a n cosnx + b n sinx )
			n= 1

Каждое слагаемое ряда (4) называется гармоническим колебанием. В ряде прикладных задач требуется представить периодическую функцию в виде ряда (4), то есть в виде суммы гармонических колебаний.

2.Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π .

Определение. Говорят, что функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке

Если f(x) непрерывна на отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция f(x) имеет пределы справа и слева.

Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия сходимости тригонометрического ряда.

Теорема Дирихле . Пусть периодическая периода 2π функция f(x) удовлетворяет условиям:

1) f (x ) иf ′ (x ) кусочно-непрерывны на отрезке [-π ,π ];

2) если х=с – точка разрыва функции f(x), то

f (c )= 1 2 (f (c − 0)+ f (c + 0)).

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x), то есть имеет место равенство

	f (x) =		+ ∑ (a n cosnx + b n sinnx ),
			n= 1

где коэффициенты a n , b n определяются формулами (2).

Доказательство. Пусть имеет место равенство (4) и пусть ряд (4) допускает почленное интегрирование. Найдем коэффициенты в равенстве (4). Для этого умножим обе части равенства (4) на cosnx и проинтегрируем его в пределах от -π доπ ; в силу ортогональности тригонометрической системы получимa n . Аналогично, умножая на sinnx и интегрируя, получимb n .

3.Ряды Фурье четных и нечетных функций.

Следствие 1 (ряд Фурье для четной функции). Пусть четная функция f(x)

удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

		f (x) =					+ ∑ a n cosnx ,
							n= 1
					π ∫ cosnxdx , (n = 0,1,2,3,...).

Следствие 2 (ряд Фурье для нечетной функции). Пусть нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда имеет место следующее разложение в ряд Фурье

	f (x )= ∑ b n sinnx ,
					n= 1
					π ∫ f(x) sin nxdx.

Для доказательства следствий 1 и 2 воспользуемся следующей леммой, которая геометрически очевидна (интеграл как площадь).

Лемма. Пусть на отрезке [-a,a] заданы две интегрируемые функции: четная функция g(x) и нечетная функция h(x).

Тогда справедливы равенства

∫ a g(x) dx= 2 ∫ a g(x) dx,		∫ a h(x) dx= 0.
−a		−a

Пример1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x, (x [-π ,π ].

Так как функция нечетная, то согласно формулам (8) и (7) будем иметь:

2 π

n + 12

b n=

∫0

x sin nxdx= −

∫0

xd cos nx=−

cosπ n = (− 1)

(− 1)

n+ 1

x = 2 ∑

sin nx ,x ]− π ,π [.

n= 1

В точках х=±π сумма этого ряда равна нулю.

Полагая в ряде (9) х = π 2 , получим условно сходящийся ряд

(− 1)

n+ 1

= ∑

1 −

+ ...

2n + 1

n= 0

Упражнения

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 2π

0 ≤ x ≤ π ,

f (x) =

−π ≤x <0.

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) с периодом 2π

−π ≤x ≤0,

0 < x < π ,

f (x) = x

x = π .

f (x) =

−π ≤x <π ,

f (x) =

x = π .

f (x )= x .

			−π ≤x <0,
f (x) =			0 ≤ x ≤ π .
−1

7. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам функцию

	0 ≤x ≤
f (x) =

< x ≤ π .

8. Разложить на отрезке

			0 ≤x ≤
f (x) =
				< x ≤π .
π − x

f (x )= 2x .

f (x) = ex .

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение ряда Фурье.

2. Дайте определение сходимости функционального ряда Фурье.

Заключение.

Введение.

Ряд Фурье составляет значительную часть теории тригонометрических рядов. Впервые ряд Фурье появился в работах Ж. Фурье (1807 г.), посвященных исследованию задач теплопроводности. В дальнейшем ряды Фурье получили широкое распространение как в теоретической, так и в прикладной математики. Так, при изучении темы «Уравнения математической физики» ряды Фурье применяются для нахождения решений уравнения теплопроводности, волнового уравнения с различными начальными и краевыми условиями. Значительное распространение получил также интегральное преобразование Фурье, которое применяется к широкому классу функций.

При разделении переменных во многих задачах математической физики, в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрической области, приходят к решению так называемых уравнений Бесселя.

Первым систематическое изучение решения уравнения уравнений такого типа предпринял Ф. Бессель, но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа.

1. Ряды Фурье функций с любым периодом 2L.

В ряд Фурье можно разлагать функции любого периода 2L. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть периодическая периода 2L функция f(x) на отрезке [-L,L] удовлеиворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда на отрезке [-L,L] имеет место разложение в ряд Фурье

π nx

π nx ),

f (x) =

∑ (a n cos

n= 1

a n=

f (x ) cos

π nx dx ,

b n=

f (x ) sin

π nx dx

L − ∫ L

L − ∫ L

(n = 0,1,2,...)

Доказательство. Рассмотрим функцию

g (y )= f (

−π ≤y ≤π ,

к которой применима теорема Дирихле. Поэтому

g (y )=

+ ∑ (a n cosny + b n sinny ),

n= 1

π ∫f (

) cos nydy ,

π∫

)sin nydy .

−π

−π

равенствах (12)

подстановку x =

Получим требуемые

равенства (10) и (11).

Замечание. Если функция f(x) – четная на отрезке [-L,L], то ее

ряд Фурье будет содержать только свободный член a 2 0 и косинусы, если же

f(x) – нечетная функция, то ее ряд Фурье будет содержать только синусы. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2, которая на

отрезке [-1,1] задается формулой f(x)=| x| .

Так как функция f(x)=| x|

Четная, то b n = 0,

2 ∫ 1

xdx = 1,

0, n = 2m ,

an = 2 ∫ xcos π nxdx=

((− 1)

− 1)=

N = 2m + 1.

Следовательно,

cosπ (2m + 1)x

X R .

(2m + 1)

m= 1

При x=0 формула (14) дает:

π 2

+…

2. Ряды Фурье непериодических функций.

Пусть непериодическая функция f(x) определена на отрезке [-L,L]. Для того, чтобы разложить ее в тригонометрический ряд, на этом отрезке строим

g(x)=f(x) при -L
	непериодическую функцию		f(x) требуется	представить

Фурье на интервале ]0,L[. Для этого строим периодическую функцию g(x) периода 2L

f (x ),0< x < L ,g (x ) = f 1((x ),− L < x < 0.

Так как функцию f 1 (x ) можно выбрать бесчисленным количеством

способов (лишь бы g(x) удовлетворяла условиям теоремы Дирихле), то получаем бесконечное множество рядов Фурье

для функции g(x).

В частности, функцию g(x) можно выбрать четной или нечетной.

Пусть, теперь, непериодическая функция f(x) определена на некотором интервале ]a,b[. Для того, чтобы эту функцию представить

рядом Фурье, строим произвольную периодическую функцию f 1 (x ) с

периодом 2L≥ b-a, совпадающую на интервале ]a,b[ с функцией f(x), и и раскладываем ее в ряд Фурье.

3. Комплексная форма ряда Фурье.

Преобразуем ряд (10) и его кэффициенты (11) с помощью формул Эйлера

(ω n = π L n )

cosω n x =	e iω n x+ e − iω n x		sinω n x =	e iω n x− e − iω n x

В результате получим ряд

			f (x) = ∑ cn ei ω n x
				n =−∞
	с коэффициентами
	c n=		∫L	f (x )e − i ω n x dx ,n = 0,± 1,± 2,...,
			−L

который называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме

функции f(x) периода 2L.

Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения e i ω n x называютсягармониками,

числа ω n называютсяволновыми числами функции f(x). Совокупность волновых

чисел называется дискретным спектром. Коэффициенты (16) называюткомплексной амплитудой.

Изучением свойств кэффициентов (16) занимается спектральный анализ. Пример 3. Найти тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме

функции f(x)=e ax , (a≠ 0), при L=π .

Формулы (15) и (16) дают:

shaπ

n ∑ =−∞

(− 1)e

a − in

Переходя к обычному ряду Фурье, получим:

shaπ

2 shaπ

(− 1)n (a cosnx − n sinnx )

n= 1

В частности, при х=0 будем иметь:

(− 1)

2 ashaπ

n= 1

a + n

Упражнения

	Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 2π
			0 ≤ x ≤ π ,
							x = π .
3. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке [ − 1,1] уравнением
4. Разложить в ряд Фурье функцию			f (x) =
					−π ≤x <π ,
f (x) =
							x = π .

5. Разложить по синусам в промежутке [ 0,1] функцию

f (x )= x .

6. Найти коэффициенты Фурье функции f (x ) тригонометрического ряда

			−π ≤x <0,
f (x) =			0 ≤ x ≤ π .
−1
7. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам
			0 ≤x ≤
f (x) =

< x ≤ π .

8. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам0 при 2

			0 ≤x ≤
f (x) =
				< x ≤π .
π − x

9. В промежутке [ 0,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x )= 2x .

10. В промежутке [ − 1,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x) = ex .

Заключение.

В лекции были рассмотрены ряды Фурье функций периодических на разных интервалах. Рассмотрено преобразование Фурье, а также получено решение уравнения Бесселя, возникающего при разделении переменных во многих задачах математической физики.

Введение.

В лекции рассматриваются предельный случай ряда Фурье, приводящий к интегралу Фурье. Записываются формулы интеграла Фурье для четных и нечетных функций. Отмечается, какую роль играет интеграл Фурье в различных приложениях. Интеграл Фурье представляется в комплексной форме, которая аналогична комплексному представлению ряда Фурье.

Будут получены формулы для преобразования и обратного преобразования Фурье, косинус и синус преобразования Фурье. Приводятся сведения о применении преобразования Фурье к задачам математической физики, электротехники.

1.Интеграл Фурье, как предельный случай ряда Фурье

Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале

]-∞ ,∞ [ и абсолютно интегрируема на нем, то есть существует сходящийся интеграл

∞ ∫ f(x) dx.

f (x) =

+ ∑ (a n cosω n x + b n sinω n x ),

n= 1

a n=

∫ f (x ) cosω n xdx ,b n =

∫ f(x)sin ω n xdx,

−L

−L

Подставляя в ряд (1) коэффициенты (2), получим:

f (x) =

∫ f(t) dt+

∑ ((∫ f (t ) cosω n tdt ) cosω n x + (∫ f (t ) sinω n tdt ) sinω n x ))

−L

L n = 1

−L

−L

Укажем без доказательства, что при L→ формула (3) примет вид

f (x) =

∫(∫

f (t ) cosω tdt ) cosω xd ω +

∫ (∫ f (t ) sinω tdt ) sinω xd ω .

0 −∞

Выражение, стоящее справа в формуле (4), называется интегралом Фурье для функции f(x). Равенство (4) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва f(x) в левой части формулы (4) нужно заменить на

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ПОСТАВОК ПРЕДПРИЯТИЯ ОПТОВОЙ ТОРГОВЛИ В АСПЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫМ И АРЕНДУЕМЫМ ТРАНСПОРТОМ

Горлач Борис Алексеевич 1 , Шигаева Наталья Валерьевна 2
1 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (НИУ), д.т.н, профессор
2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (НИУ)

Аннотация
В работе рассмотрен механизм моделирования случайного процесса (для статистических данных о предприятии) с использованием аппарата гармонического анализа. Решена задача рационального распределения объемов поставок сырья между собственным и арендуемым транспортом с целью сокращения затрат на хранение продукции.

THE FOURIER SERIES APPLICATION FOR PREDICTION AND OPTIMIZATION OF DELIVERY COSTS

Gorlach Boris Alekseevich 1 , Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, doctor of technical Sciences, Professor
2 Samara State Aerospace University

Abstract
Тhe mechanism of simulation of a random process is considered (for the enterprise data). Harmonic analysis is widely adopted in modeling of enterprise costs. The problem of rational distribution of the raw materials deliveries between own transport and rented transport is solved.

Библиографическая ссылка на статью:
Горлач Б.А., Шигаева Н.В. Применение рядов фурье для прогнозирования и оптимизации поставок предприятия оптовой торговли в аспекте управления собственным и арендуемым транспортом // Экономика и менеджмент инновационных технологий. 2014. № 7 [Электронный ресурс]..02.2019).

Введение. Издержки предприятия на создание системы хранения товаров создают необходимость рационального распределения поставок. Решение задачи управления поставками связано с изменением потребностей предприятия в сырье. Для разработки модели рационального распределения проделана обработка статистических данных предприятия о спросе на сырье.

Статья состоит из следующих частей: построение модели случайного процесса, оптимизация поставок на примере упрощенной модели и на примере реальных данных.

Часть первая. Построение математической модели случайного процесса.

В ретроспективном периоде статистические данные о хранении ресурса на складе выглядят следующим образом (Таблица 1). Предполагается, что задана совокупность статистических данных Y i =Y(t i) в виде временного ряда.

Таблица 1 – Статистические данные спроса на ресурс

Как правило, математические модели временных рядов экономических процессов представляются в виде совокупности 4 компонент: сезонной S, циклической C, случайной ξ и тренда U. Данные компоненты образуют аддитивную модель статистических данных .

Составляющая U – тренд – подбирается таким образом, чтобы она не противоречила основной тенденции изменения исследуемой функции и не затрудняла ее анализ . В данной работе подбор тренда осуществляется с помощью функций Excel, а также вручную методом «нормальных уравнений».

После выполнения процедуры подбора наиболее адекватного тренда, выполняется нормализация функции, позволяющая обеспечить моделирование колебательной составляющей. В данном исследовании колебательная составляющая подбирается с использованием модели, представляющей собой тригонометрический ряд Фурье:

.

Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим образом:

После проведения поиска в 6 итераций с помощью средств Excel была выявлена следующая функция колебательной составляющей:

S(t) = -0.215sinπt/6 – 0.077cos πt/6 -0.085sin πt/3-0.013cos πt/3+0.001 sin πt/2+0.023cosπt/2-0.035 sin2πt/3+0.055cos 2πt/3+0.003 sin 5πt/6+0.054cos 5πt/6+0.056cos πt

Динамика поставок и хранения ресурса на складе, а также функциональная зависимость объема ресурса после осуществления нормализации представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Колебательная составляющая для реальных данных

Вычислим коэффициент детерминации для полученной функции.

Коэффициент детерминации для полученной функции равен 0,75. Следовательно, тренд описывает статистические данные на 75 процентов, а вероятность несоответствия полученной функции реальным статистическим значениям равна 0,25.

Часть вторая. Оптимизация процесса поставок

При составлении пропорции в поставках сырья следует учитывать несколько факторов, влияющих на показатель экономической эффективности поставок:

Своевременность и частота поставок


Стоимость поставок


Допустимые сроки хранения сырья


Обеспеченность предприятия складскими помещениями


Другие факторы .

Рассмотрим процесс оптимизации поставок на упрощенном графике. Выделим в нормализованном тренде одну гармонику (одно слагаемое гармонического ряда) и ограничимся рассмотрением одного периода. Получится следующая упрощенная функция поставок:

Рассмотрим в данной работе три варианта поставок.

1. Поставки обеспечиваются только собственным транспортом на уровне y=1, которому соответствует значение s(t)=0.

Процесс накопления ресурсов в первом полугодии и расхода во втором полугодии определяется формулой интеграла функции на рассматриваемом участке.

Накопленные ресурсы полностью расходуются в следующем полугодии. Проблема состоит в том, что объем хранения на складе имеет слишком большой разброс во времени и нуждается в оптимизации.

2. Собственный транспорт обеспечивает поставки, соответствующие минимальной интенсивности расходования ресурсов. Этот вариант подходит фирме, если предприятие имеет меньше капитала и в силу других причин не может позволить себе транспорта больше, чем минимальный уровень потребности в ресурсах, выглядит это следующим образом. Предприятие недополучает ресурсы в размере, равном площади интеграла между s(t) и прямой, характеризующей минимальный уровень поставок.

Предположим, что предприятие решило арендовать транспорт на уровне максимальной потребности в ресурсах в первом полугодии, тогда накопления полностью расходуются во втором полугодии.

3. Собственный транспорт обеспечивает поставки на уровне -h. Недостаток ресурсов компенсируется арендой транспорта.

Вычисляем уровень поставок h из условия равенства площадей накопления и расхода :

При полученном значении h недостаток ресурсов без аренды выглядит следующим образом:

Обобщая полученные результаты, составлен общий график накопления/расхода, который показывает, насколько оптимальный план отличается минимальным количеством складских ресурсов (Рисунок 2).

Рисунок 2 – Минимизация складских ресурсов

Исходя из графика, привлечение арендованного транспорта при осуществлении оптимизации хранения на складе позволяет сократить удельный объем хранения на складе до 10 раз, так как амплитуда значений функции накопления уменьшилась с 10 единиц до 1.

Часть 3. Оптимизация поставок на примере реальных данных

Выполнение оптимизации поставок начинается с выделения периода колебательной составляющей (в нашем примере t i ϵ 11..23) и поиска точек пересечения функции s(t) с осью Ox.

Иллюстрация варианта динамики поступления и расхода ресурса на предприятии, в котором транспортная аренда не предусмотрена, представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Накопление/расход для реальных данных без аренды

Функция колебательной составляющей выглядит следующим образом:

S(t) = -0.215 sin πt/6-0.077cos πt/6 -0.085 sin πt/3-0.013cos πt/3+0.001 sin πt/2+0.023cos πt/2-0.035 sin 2πt/3+0.055cos 2πt/3+0.003 sin 5πt/6+0.054cos 5πt/6+0.056cos πt

Функция накопления:

Q = ∫S = (1/π)(0.215 *6* cos (πt/6)-0.077*6*sin (πt/6) +0.085*3*cos πt/3 – 0.013*3*sin πt/3 – 0.0013*2*cos πt/2+(0.023*2*sin πt/2+0.0349*6/4 cos 2πt/3+(0.0552*6/4)sin 2πt/3 – (0.0032*6/5) cos 5πt/6 + (0.0538*6/5)sin 5πt/6 + (0.0559*sin π t)

Определим максимальные площади запаса и расхода для функции поставок, при условии равенства нулю интенсивности поставок s(t).

Таблица 2 – Определение площадей запаса и расхода ресурса

Таким образом, Q max =0,9078 – это максимально возможное количество хранимых на складе ресурсов. Ресурсы, накопленные в первом полугодии, полностью расходуются во втором, т.к. тригонометрические функции имеют свойство симметричности.

Оптимизация с привлечением арендованного транспорта – эффективный способ снижения издержек на хранение ресурса на складе. Уровень поставок предприятия собственным транспортом задается величиной Y(t)=1-h , либо S(t)=-h из условия равенства площадей накопления и расхода по полугодиям (рисунок 4).

Рисунок 4 – Определение уровня поставок арендованным транспортом

В этом случае останется потребность в ресурсе в объеме, определяемом площадью прямоугольника с высотой h и основанием, составляющим весь интервал рассмотрения, равного (из свойств симметричности) площади интеграла циклической составляющей над прямой уровня поставок собственным транспортом. Предприятие арендует транспорт на части рассмотренного интервала . Уровень поставок арендуемым транспортом определится из равенства площадей недостатка ресурса (2) и объема аренды (1), изображенных на рисунке 4.

Поиск уровней h осуществляется итерационно. В варианте привлечения арендованных транспортных средств максимальный уровень хранения запасов на складе равен:

Верхний уровень h* находим из условия равенства площадей невосполненного спроса (1) на ресурсы и объема поставок (2), обозначенных на рисунке 4. Уровень аренды определен значением h*=0,144.

После проведения оптимизации была найдена площадь расхода и запаса:

Итоговая площадь запасов сократилась с 0,9 до 0,5:

Q max2 =0,2016+ 0,3137=0,515

Таким образом, оптимизация процесса поставок с помощью арендуемого транспорта дала сокращение складских расходов на 44%, что указывает на успешное выполнение задачи оптимизации.

Результаты и выводы . Предложенный алгоритм рационального распределения поставок между собственным транспортом предприятия и арендуемым в ходе моделирования функции издержек рядом Фурье опирается на характерные особенности нормализованного графика тренда, учитывает ограничения складских площадей, сроки хранения сырья, обеспечивает сокращение складских расходов (уровня хранения ресурсов на складе) до 50% раз для рассмотренных данных функции поставок. Таким образом, привлечение арендованного транспорта является эффективным способом сокращения складских расходов и издержек на хранение при высокой стоимости аренды и содержания складских помещений.

Библиографический список

1. Савельев Г.Л. Задача оптимизации ресурсов предприятия в условиях циклического изменения потребности. – Самара: СГАУ, 2010. – 30 стр.
2. Чуйкова Ю.С. Оптимизация материального потока в задаче управления запасами предприятия /Сборник научных статей «Управление организационно-экономическими системами». – Самара: СГАУ, 2009. – с. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimization in Operations Research. Prentice Hall, 1998.

Количество просмотров публикации: Please wait

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (?) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2?)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до?, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ? 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 5 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

1

Возможности приближения рядов Фурье в случае линейного сигнала бывает необходимым для построения функций в случае разрывных периодических элементов. Возможности использования данного метода для построения и разложения их с использованием конечных сумм ряда Фурье использующих при решении многих задач различных наук, таких как физики, сейсмологии и так далее. Процессы океанских приливов, солнечной активности рассматриваются способом разложения колебательных процессов, функций описываемых эти преобразования. С развитием компьютерных технологий ряды Фурье стали применяться для более и более сложных задач, а так же благодаря этому стало возможным использование данных преобразований в косвенных науках, таких как медицина, химия. Преобразование Фурье описывается как в действительной, так и в комплексной форме, второе распределение дало возможность произвести прорыв в исследовании космического пространства. Результатом данной работы является применение рядов Фурье к линеаризации разрывной функции и подбором количества коэффициентов ряда для более точного наложения ряда на функцию. Причем, при использовании разложения в ряд Фурье, данная функция перестает быть разрывной и уже при достаточно малых, осуществляется хорошее приближение используемой функции.

ряд фурье

преобразование фурье

фазовый спектр.

1. Алашеева Е.А., Рогова Н.В. Численный метод решения задачи электродинамики в тонкопроволочном приближении. Наука и мир. Международный научный журнал, № 8(12), 2014. Том 1. г. Волгоград. С.17-19.

2. Воробьев Н.Н. Теория рядов. Изд. Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, -408 С.

3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2001.

4. Р.Эдвардс Ряды Фурье в современном изложении. Изд. Мир. В 2 томах. Том 1. 1985 год. 362 стр.

5. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Изд. 2-е стереотипное. «Технiка»,1997. – 768 с.

Представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда называется рядом Фурье. Разложением по ортогональному базису называют данное решение в общем виде. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментом при решении разнообразных задач. Т.к. хорошо известны и изучены свойства данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке . Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. Данное преобразование Фурье очень плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие.

Ряды Фурье используются при решении многих прикладных задач. Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Такие процессы как океанские приливы и световые волны до циклов солнечной активности относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов в ряд Фурье. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данное преобразование используется для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии .

С ростом технологий, т.е. появление и развития компьютера, вывело преобразование Фурье на новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Который стал наглядной реализацией роста научного процесса и применения рядов Фурье. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии .

Рассмотрим фазовый спектр периодического сигнала определяется из следующего выражения:

где символами и соответственно обозначены мнимая и действительная части величины, заключенной в квадратные скобки.

Если умножить на действительную постоянную величину K, то разложение в ряд Фурье имеет следующий вид:

Из выражения (1) следует, что фазовый Фурье-спектр обладает следующими свойствами:

1) является функцией , т. е. в отличие от спектра мощности, который не зависит от , , изменяется при сдвиге сигнала вдоль оси времени;

2) не зависит от К, т. е. инвариантен к усилению или ослаблению сигнала, в то время как спектр мощности является функцией К.

3) т. е. является нечетной, функцией n.

Примечание. С учетом геометрической интерпретации приведенных выше рассуждений, можно выразить через спектр мощности и фазовый спектр следующим образом:

Поскольку

то из (2) и (3) следует, что может быть восстановлен однозначно, если известны амплитудный (или спектр мощности) и фазовый спектры.

Рассмотрим пример. Нам дана функция на промежутке

Общий вид ряда Фурье:

Подставим свои значения и получим:

Подставим свои значения и получим.

В главе 10 описывалось применение рядов Фурье к исследованию упругих колебаний струны. В данной главе мы рассмотрим некоторые вопросы упругого изгиба балок.

Использование рядов Фурье для решения задач статики упругих тел производится по следующей схеме.

Прежде всего из физических соображений выводится соотношение, которое связывает функцию, описывающую геометрическое состояние деформированного тела, с приложенными к телу нагрузками. Это соотношение, вообще говоря, содержит, помимо самой функции состояния, еще и ее производные, а также некоторые интегральные характеристики.

Затем, исходя из геометрических очертаний тела и кинематических условий, ограничивающих его перемещения, выбирается ортогональная система функций, по которой указанная функция состояния разлагается в ряд Фурье.

Подстановка этого ряда Фурье в выведенное соотношение приводит к тождественному равенству двух рядов Фурье, от которого, пользуясь теоремой 2 § 14 главы 9, можно перейти к равенству коэффициентов при одинаковых функциях. Из этих последних равенств можно вычислить значения коэффициентов Фурье и тем самым описать состояние деформированного тела.

Этот процесс подстановки ряда Фурье в характеризующее изгиб соотношение следует осуществлять достаточно осмотрительно, ибо в ходе его приходится несколько раз почленно дифференцировать ряды Фурье, коэффициенты которых вычисляются лишь впоследствии. Убедиться в правомерности этого дифференцирования, т. е. (см. § 10 главы 5) в равномерной сходимости ряда, составленного

из производных членов дифференцируемого ряда, априори довольно затруднительно. Поэтому при решении каждой конкретной задачи мы будем рассуждать примерно следующим образом.

Сначала мы будем предполагать, что написанный с неизвестными пока коэффициентами ряд Фурье можно (в смысле теоремы § 10 главы 5) почленно дифференцировать нужное число раз. Выписывая производные и решая получающиеся уравнения, мы будем находить интересующие нас коэффициенты Фурье. Это будет означать, что если ряд Фурье поддается почленному дифференцированию (и притом столько раз, сколько это требуется), то он является вполне определенным, найденным нами рядом. Если теперь из рассмотрения полученных коэффициентов будет видно, что этот построенный, вполне определенный ряд действительно почленно дифференцируем, то все операции, проделанные фактически именно над этим рядом, были законными, и найденные коэффициенты Фурье - искомые. Если же окажется, что получился недифференцируемый ряд, то это значит, что проделанные с ним ранее действия были математически некорректными, а полученный на их основе результат - необоснованным, хотя, возможно, и верным. Далее мы познакомимся с примерами исходов обоих типов.