Нечеткие множества

Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики были заложены в конце 1960-х годов в работах известного американского математика Лотфи Заде. Его труд "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 в журнале "Information and Control", стала толчком к развитию новой математической теории. Он дал название и новой отрасли науки - "fuzzy sets" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий). Основной причиной появления новой теории стали нечеткие и приближенные рассуждения, которые использовались для описания человеком процессов, систем, объектов. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие. Что же предложил Л. Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовське понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [ 0 , 1 ], а не только значения 0 или 1. Такие множества он назвал нечеткими [ 21]. Л. Заде определил также ряд операций с нечеткими множествами и предложил обобщение методов логического вывода.

Введя впоследствии понятие лингвистической переменной и предположив, что ее значениями (термами) является нечеткие множества, Л. Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений (например, высокий, средний, незначительный риски).

Задачей нечетких множеств является определение принадлежности некоторого объекта или элемента в заданной множества. Пусть Е - некоторое множество, а А - подмножество Е , то есть А Ì Е. Тот факт, что элемент х множества Е принадлежит и множеству А в теории множеств обозначают так: x Ì А. Чтобы выразить эту принадлежность, можно воспользоваться и другим понятием - характеристической функцией μA (x ), значение которой указывают, является (да или нет) х элементом А:

Согласно теории нечетких множеств, характеристическая функция принадлежности может принимать любое значение в интервале , а не только два - 0 и 1. В соответствии с этим, элемент х i множества Е может не принадлежать А (μ Α (х ) = 0), быть элементом А небольшой степени (значение μA (x ) близко к нулю), быть элементом А в значительной степени (μA (x ) близко к 1) или быть элементом А (μA (x ) = 1). Итак, понятие принадлежности обобщается. Нечеткую под множество А универсального множества Е обозначают А н и определяют упорядоченными парами [ 22 ]:

Характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности) μA (x ) принимает значения в некоторой упорядоченной множестве М (например, М = ). Эта функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х до подмножества А. Множество М называют множеством надежности. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А можно рассматривать как обычную или четкую множество.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции.

Равенство. Две нечеткие множества А и В называют равными, если для всех x Î Е имеет место равенство их характеристических функций: μA (x ) = μB (x ). Обозначения: А = В.

Доминирование. Считают, что нечеткое множество А принадлежит нечеткому множеству В, если для всех X Î Е справедливо соотношение: μA (x ) £ μB (x ) обозначают: А Ì В. Иногда используют термин "доминирование", то есть когда А Ì В, говорят, что В доминирует над А.

Дополнение. Пусть М = , А и В - нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если ∀x является Εμ /, (х) = 1 - μB (χ). Обозначения: А = А

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "и"), обозначающие A ∩ В - наибольшее нечеткое подмножество, которая находится одновременно в А и В. Определяют так:

Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"), обозначающие А ∪ В - наименьшее нечеткое подмножество, которая включает как А , так и В, с функцией принадлежности

Разница двух нечетких множеств А - В = А ∩ В с функцией принадлежности

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами х с универсального множества Е и множеством значений функций принадлежности М. Величину называют высотой нечеткого множества А. Нечеткое множество А является нормальной , если ее высота равна 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равна 1 (). По нечеткое множество называют субнормальной.

Нечеткое множество является пустой , если . Непустое Субнормальная множество можно нормализовать по формуле

Наглядное представление операций над нечеткими множествами. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой отложены значения μA (x ), на оси абсцисс - в произвольном порядке размещены элементы Е. Если множество Е по своей природе упорядочена, то этот порядок желательно сохранить в размещении элементов на оси абсцисс. Такое представление наглядно простые операции над нечеткими множествами.

Пусть А - нечеткий интервал между 5 и 8, а В - нечеткое число, близкое к 4 (рис. 4.4, а , б) .

Нечеткое множество между 5 и 8 I (AND) около 4 (темная линия) иллюстрирует рис. 4.4, в , нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 - рис. 4.4, г (темная линия).

Рис. 4.4. Примеры нечетких множеств (а , б), их пересечения (в) и объединения (г )

Для описания нечетких множеств вводят понятие нечеткой и лингвистической переменных. Нечеткую переменную описывает набор <β, X, A>, где β - название переменной, X - универсальное множество (область определения β), A - нечеткое множество на X , описывающее ограничения на значения нечеткой переменной β.

Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, то есть лингвистическая переменная находится на высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из: названия; множества своих значений, также называется базовой ТЕРМ множеством Т. Элементы базовой терм-множества являются названиями нечетких переменных универсального множества Х синтаксического правила G , по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка; семантического правила Р, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткая подмножество множества X.

Лингвистическую переменную описывает набор <β, Τ , X , G , M >, где

β - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), которые являются названиями нечетких переменных, областью определения каждой из которых есть множество X; множество Т называют базовой терм-множеством лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T , в частности генерировать новые термы (значения);

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G , на нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующую нечеткое множество.

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств. И на этом пути развития нечетких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике. Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие нечеткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Математический аппарат

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MF c (x) – степень принадлежности к нечеткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MF c (x)/x}, MF c (x) . Значение MF c (x)=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 – полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение "горячий чай". В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяется от 0 до 100 градусов. Нечеткое множество для понятия "горячий чай" может выглядеть следующим образом:

C={0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100}.

Так, чай с температурой 60 С принадлежит к множеству "Горячий" со степенью принадлежности 0,80. Для одного человека чай при температуре 60 С может оказаться горячим, для другого – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчетов, являются пересечение и объединение.

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "И"): A B: MF AB (x)=min(MF A (x), MF B (x)).
Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"): A B: MF AB (x)=max(MF A (x), MF B (x)).

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения, объединения и дополнения, реализованный в так называемых треугольных нормах и конормах. Приведенные выше реализации операций пересечения и объединения – наиболее распространенные случаи t-нормы и t-конормы.

Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где N – это название переменной, X – универсальное множество (область рассуждений), A – нечеткое множество на X.
Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:

названия;
множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T. Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;
универсального множества X;
синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.

Рассмотрим такое нечеткое понятие как "Цена акции". Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: "Низкая", "Умеренная", "Высокая" и зададим область рассуждений в виде X= (единиц). Последнее, что осталось сделать – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T.

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

$$MF\,(x) = \,\begin{cases} \;1\,-\,\frac{b\,-\,x}{b\,-\,a},\,a\leq \,x\leq \,b &\ \\ 1\,-\,\frac{x\,-\,b}{c\,-\,b},\,b\leq \,x\leq \,c &\ \\ 0, \;x\,\not \in\,(a;\,c)\ \end{cases}$$

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

$$MF\,(x)\,=\, \begin{cases} \;1\,-\,\frac{b\,-\,x}{b\,-\,a},\,a\leq \,x\leq \,b & \\ 1,\,b\leq \,x\leq \,c & \\ 1\,-\,\frac{x\,-\,c}{d\,-\,c},\,c\leq \,x\leq \,d &\\ 0, x\,\not \in\,(a;\,d) \ \end{cases}$$

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

$$MF\,(x) = \exp\biggl[ -\,{\Bigl(\frac{x\,-\,c}{\sigma}\Bigr)}^2\biggr]$$

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной "Цена акции", на рисунке 4 – формализация неточного понятия "Возраст человека". Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству "Молодой" равна 0, "Средний" – 0,47, "Выше среднего" – 0,20.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечеткий логический вывод

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R 1: ЕСЛИ x 1 это A 11 … И … x n это A 1n , ТО y это B 1
…
R i: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A in , ТО y это B i
…
R m: ЕСЛИ x 1 это A i1 … И … x n это A mn , ТО y это B m ,
где x k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y * на основе заданных четких значений x k , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A ik (x k), i=1..m, k=1..n.

Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

$$alfa_i\,=\,\min_i \,(A_{ik}\,(x_k))$$

$$B_i^*(y)= \min_i \,(alfa_i,\,B_i\,(y))$$

Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:
$$MF\,(y)= \max_i \,(B_i^*\,(y))$$

Геометрический смысл такого значения – центр тяжести для кривой MF(y). Рисунок 6 графически показывает процесс нечеткого вывода по Мамдани для двух входных переменных и двух нечетких правил R1 и R2.

Интеграция с интеллектуальными парадигмами

Гибридизация методов интеллектуальной обработки информации – девиз, под которым прошли 90-е годы у западных и американских исследователей. В результате объединения нескольких технологий искусственного интеллекта появился специальный термин – "мягкие вычисления" (soft computing), который ввел Л. Заде в 1994 году. В настоящее время мягкие вычисления объединяют такие области как: нечеткая логика, искусственные нейронные сети, вероятностные рассуждения и эволюционные алгоритмы. Они дополняют друг друга и используются в различных комбинациях для создания гибридных интеллектуальных систем.

Влияние нечеткой логики оказалось, пожалуй, самым обширным. Подобно тому, как нечеткие множества расширили рамки классической математическую теорию множеств, нечеткая логика "вторглась" практически в большинство методов Data Mining, наделив их новой функциональностью. Ниже приводятся наиболее интересные примеры таких объединений.

Нечеткие нейронные сети

Нечеткие нейронные сети (fuzzy-neural networks) осуществляют выводы на основе аппарата нечеткой логики, однако параметры функций принадлежности настраиваются с использованием алгоритмов обучения НС. Поэтому для подбора параметров таких сетей применим метод обратного распространения ошибки, изначально предложенный для обучения многослойного персептрона. Для этого модуль нечеткого управления представляется в форме многослойной сети. Нечеткая нейронная сеть как правило состоит из четырех слоев: слоя фазификации входных переменных, слоя агрегирования значений активации условия, слоя агрегирования нечетких правил и выходного слоя.

Наибольшее распространение в настоящее время получили архитектуры нечеткой НС вида ANFIS и TSK. Доказано, что такие сети являются универсальными аппроксиматорами.

Быстрые алгоритмы обучения и интерпретируемость накопленных знаний – эти факторы сделали сегодня нечеткие нейронные сети одним из самых перспективных и эффективных инструментов мягких вычислений.

Адаптивные нечеткие системы

Классические нечеткие системы обладают тем недостатком, что для формулирования правил и функций принадлежности необходимо привлекать экспертов той или иной предметной области, что не всегда удается обеспечить. Адаптивные нечеткие системы (adaptive fuzzy systems) решают эту проблему. В таких системах подбор параметров нечеткой системы производится в процессе обучения на экспериментальных данных. Алгоритмы обучения адаптивных нечетких систем относительно трудоемки и сложны по сравнению с алгоритмами обучения нейронных сетей, и, как правило, состоят из двух стадий: 1. Генерация лингвистических правил; 2. Корректировка функций принадлежности. Первая задача относится к задаче переборного типа, вторая – к оптимизации в непрерывных пространствах. При этом возникает определенное противоречие: для генерации нечетких правил необходимы функции принадлежности, а для проведения нечеткого вывода – правила. Кроме того, при автоматической генерации нечетких правил необходимо обеспечить их полноту и непротиворечивость.

Значительная часть методов обучения нечетких систем использует генетические алгоритмы. В англоязычной литературе этому соответствует специальный термин – Genetic Fuzzy Systems.

Значительный вклад в развитие теории и практики нечетких систем с эволюционной адаптацией внесла группа испанских исследователей во главе с Ф. Херрера (F. Herrera).

Нечеткие запросы

Нечеткие запросы к базам данных (fuzzy queries) – перспективное направление в современных системах обработки информации. Данный инструмент дает возможность формулировать запросы на естественном языке, например: "Вывести список недорогих предложений о съеме жилья близко к центру города", что невозможно при использовании стандартного механизма запросов. Для этой цели разработана нечеткая реляционная алгебра и специальные расширения языков SQL для нечетких запросов. Большая часть исследований в этой области принадлежит западноевропейским ученым Д. Дюбуа и Г. Праде.

Нечеткие ассоциативные правила

Нечеткие ассоциативные правила (fuzzy associative rules) – инструмент для извлечения из баз данных закономерностей, которые формулируются в виде лингвистических высказываний. Здесь введены специальные понятия нечеткой транзакции, поддержки и достоверности нечеткого ассоциативного правила.

Нечеткие когнитивные карты

Нечеткие когнитивные карты (fuzzy cognitive maps) были предложены Б. Коско в 1986 г. и используются для моделирования причинных взаимосвязей, выявленных между концептами некоторой области. В отличие от простых когнитивных карт, нечеткие когнитивные карты представляют собой нечеткий ориентированный граф, узлы которого являются нечеткими множествами. Направленные ребра графа не только отражают причинно-следственные связи между концептами, но и определяют степень влияния (вес) связываемых концептов. Активное использование нечетких когнитивных карт в качестве средства моделирования систем обусловлено возможностью наглядного представления анализируемой системы и легкостью интерпретации причинно-следственных связей между концептами. Основные проблемы связаны с процессом построения когнитивной карты, который не поддается формализации. Кроме того, необходимо доказать, что построенная когнитивная карта адекватна реальной моделируемой системе. Для решения данных проблем разработаны алгоритмы автоматического построения когнитивных карт на основе выборки данных.

Нечеткая кластеризация

Нечеткие методы кластеризации, в отличие от четких методов (например, нейронные сети Кохонена), позволяют одному и тому же объекту принадлежать одновременно нескольким кластерам, но с различной степенью. Нечеткая кластеризация во многих ситуациях более "естественна", чем четкая, например, для объектов, расположенных на границе кластеров. Наиболее распространены: алгоритм нечеткой самоорганизации c-means и его обобщение в виде алгоритма Густафсона-Кесселя.

Литература

Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976.
Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. – М.: Физматлит, 2002.
Леоленков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. – СПб., 2003.
Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. – М., 2004.
Масалович А. Нечеткая логика в бизнесе и финансах. www.tora-centre.ru/library/fuzzy/fuzzy-.htm
Kosko B. Fuzzy systems as universal approximators // IEEE Transactions on Computers, vol. 43, No. 11, November 1994. – P. 1329-1333.
Cordon O., Herrera F., A General study on genetic fuzzy systems // Genetic Algorithms in engineering and computer science, 1995. – P. 33-57.

Федеральное агентство по образованию Восточно-Сибирский государственный технологический государственный университет ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ Учебное пособие Часть I Издательство ВСГТУ Улан-Удэ 2004 УДК 519.5 510.22 ББК 22.12 Ха199 Хаптахаева Н.Б., Дамбаева С.В., Аюшеева Н.Н. Введение в теорию нечетких множеств: Учебное пособие. – Часть I. – Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 68 с.: ил. Ха199 ISBN 5-89230-199-0 Рецензенты: Д.Ш. Ширапов, д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой «Электронно- вычислительные системы» ВСГТУ Б.М. Степанов, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Информационные технологии) БГУ Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 220400 «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» и 351500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы и приложения по дисциплине «Нечеткая логика». В части I рассмотрены основы теории нечетких множеств: понятие нечетких множеств, нечетких отношений, а также понятие нечеткой и лингвистической переменных. Материал снабжен контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. Ключевые слова: нечёткое множество, нечеткое отношение, нечеткая переменная, лингвистическая переменная, нечеткий логический вывод. Печатается по решению редакционно-издательского совета Восточно-Сибирского государственного технологического университета. ISBN 5-89230-199-0 ББК 22.12  Хаптахаева Н.Б. с соавт., 2004 г. ВСГТУ, 2004 г. 2 Оглавление Введение.............................................................................................................................................4 1. Нечеткие множества......................................................................................................................6 1.1. Основные характеристики нечетких множеств...................................................................6 1.2. Методы построения функции принадлежности.................................................................10 1.3. Операции над нечеткими множествами.............................................................................13 1.3.1. Логические операции над нечеткими множествами..................................................13 1.3.2. Алгебраические операции над нечеткими множествами...........................................17 Контрольные вопросы.................................................................................................................21 Упражнения..................................................................................................................................22 2. Нечеткие отношения и операции над ними...............................................................................24 2.1. Нечеткие отношения.............................................................................................................25 2.2. Операции над нечеткими отношениями.............................................................................28 2.3. Свойства нечетких отношений............................................................................................33 2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения.............................................37 2.5. Специальные типы нечетких отношений...........................................................................39 2.5.1. Нечеткие отношения предпорядка...............................................................................39 2.5.2. Нечеткие отношения порядка.......................................................................................40 2.5.3. Отношение подобия.......................................................................................................41 2.5.4. Отношения различия. ....................................................................................................43 2.5.5. Отношения сходства и несходства...............................................................................44 Контрольные вопросы.................................................................................................................46 Упражнения..................................................................................................................................47 3. Нечеткая и лингвистическая переменные.................................................................................50 3.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных..........................................................50 3.1.1. Характеристики простых отношений между нечеткими переменными..................52 3.2. Нечеткие числа......................................................................................................................54 3.2.1. Операции над нечеткими числами...............................................................................54 3.2.2. Сравнение нечетких чисел............................................................................................56 3.3. Лингвистические неопределенности...................................................................................59 3.3.1. Вычисление значений лингвистических переменных................................................61 Контрольные вопросы.................................................................................................................64 Упражнения..................................................................................................................................65 Заключение.......................................................................................................................................66 Список рекомендуемой литературы..............................................................................................67 3 Введение Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Традиционные компьютерные вычисления «слишком точны» для реального мира. Человечество столкнулось с проблемами, для решения которых невозможно получить полную информацию или определение которых недостаточно полно. Казалось бы ситуация безвыходная, но благодаря развитию и совершенствованию так называемых нечетких и гибридных систем в настоящее время уже довольно обыденно воспринимаются «сверхинтеллектуальные» стиральные машины и бытовые автоматы, гиперзвуковые самолеты и самонаводящиеся ракеты и многое другое. Математическую основу нечетких и гибридных систем составляют противоположные традиционным компьютерным вычислениям (hard computing), так называемые мягкие вычисления (soft computing), одной из составляющих которых является нечеткая логика. Математическая теория нечетких множеств, предложенная в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. В последнее время нечеткое управление является одной из самых активных и результативных областей исследований применения теории нечетких множеств. Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов, или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Экспериментально показано, что нечеткое управление дает лучшие результаты, по сравнению с получаемыми при общепринятых 4 алгоритмах управления. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности. Учебное пособие состоит из двух частей и содержит теоретические основы нечеткой логики. Первая часть пособия посвящена математической теории нечетких множеств и состоит из трех разделов. В первом разделе рассмотрены основные определения и понятия теории нечетких множеств: характеристики нечетких множеств, методы построения функций принадлежности элемента нечеткому множеству, операции над нечеткими множествами, свойства операций. Второй раздел содержит основные определения и понятия нечетких отношений и операций над ними, свойств нечетких отношений. Рассмотрены специальные типы бинарных нечетких отношений: нечеткое отношение предпорядка, нечеткое отношение порядка, нечеткое отношение подобия, нечеткое отношение сходства, нечеткое отношение различия. В третьем разделе вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных, в качестве значений которых выступают нечеткие множества, а также рассматриваются понятия нечетких чисел и лингвистических неопределенностей. Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами и упражнениями для самостоятельного выполнения. 5 1. Нечеткие множества 1.1. Основные характеристики нечетких множеств Опр.1.1. Нечетким множеством А во множестве U называется совокупность пар вида (u, µА(u)), где u∈U, а µА(u)) – это функция принадлежности нечеткого множества А, µА: U → . Здесь U – некоторое обычное множество, называемое универсальным множеством. Для любого элемента U функция принадлежности µА определяет степень принадлежности данного элемента множеству А. Нечеткое множество можно записать следующим образом: A= Υ µ A (u) / u u∈U (1.1) Примеры записи нечетких множеств 1. Если U = (a, b, c, d, e, f); M = (0, 0.5, 1), тогда А можно представить в виде: А = (0/а, 1/b, 0.5/c, 0/d, 0.5/e, 0/f). 2. Если А = (0.8/а1, 1/a2, 0.4/a3, 0.2/a4, 0.5/a5, 0/a6), то U = (a1, а2, а3, а4, а5, а6); M = (0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.8, 1). 3. Если элементы множества U являются числовыми значениями, то порядок следования элементов пары должен соответствовать (1.1). U = (1, 2, 3, 4, 5, 6); M = (0, 0.5, 1), тогда А = (0/1, 0/2, 0.5/3, 0.5/4, 0.5/5, 1/6). Обычные множества составляют подкласс класса нечетких множеств. Функцией принадлежности обычного множества В ⊂ U является функция: 1, u ∈ B µ B (u) =  (1.2) 0, u ∉ B Опр.1.2. Нечеткое множество А называется пустым, если µ A (u) = 0, ∀u ∈ U Опр.1.3. Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек U, для которых величина µА(u) положительна. Носитель обозначается S(A) или SuppA: S (A) = {u u ∈ U , µ A (u) > 0} (1.3) 6 Опр. 1.4. Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup µ A (u) (1.4) u∈U Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально. Отметим, что субнормальное нечеткое множество всегда можно нормализовать, поделив функцию принадлежности µА на величину h(A) = sup µ A (u) . u∈U Опр. 1.5. Элементы множества U, для которых степень принадлежности µА(u) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества А. Примеры нечетких множеств 1. Пусть универсальное множество U представлено в виде {a, b, c, d, e} и нечеткое подмножество А, заданное на U, имеет вид A = (0/a, 0.5/b, 0.6/c, 0.7/d, 0.85/e). Тогда носителем нечеткого множества A является S(A) = {b, c, d, e}. Высота нечеткого множества А - h(A)=0.85. Точка перехода - u=b. Множество А – субнормально. Нормализованное множество будет иметь вид: A = (0/a, 0.6/b, 0.7/c, 0.8/d, 1/e). 2. Пусть универсальное множество U представляет собой интервал , и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество A, обозначаемое термином «Старый», можно определить функцией принадлежности вида 0, при 0 ≤ u ≤ 50   −1 µ A (u) =   u − 50  −2  (1.5) 1 +    5    , при 50 < u ≤ 100     Здесь носитель S(A) = (50, 100]. Высота множества «Старый» близка к 1, соответственно множество нормальное. Точкой перехода является значение u=55. 7 3. Пусть U = и переменная u, принимающая значения из этого интервала, интерпретируется как «Возраст». Тогда нечеткое множество «Молодой», можно определить функцией принадлежности вида 1, при 1 ≤ u ≤ 25  µ Молодой (u) =  1 (1.6) 1 + ((u − 25) / 5)2 , при 25 < u ≤ 100  Нечеткое множество «Молодой» на универсальном множестве U′={Иванов, Петров, Сидоров, …} задается с помощью функции принадлежности µМолодой(u) на U = , называемой по отношению к U′ функцией совместимости, при этом: µМолодой(Петров) = µМолодой(u), где u – возраст Петрова. 4. Пусть U = {Запорожец, Жигули, Мерседес, …} – множество марок автомобилей, а U′ = J
YxeMr
Пусть oj(z) - весовая функция, задающая для каждого розничного торгового предприятия его вес по итогам предыдущей коммерческой деятельности.

Ассортимент предприятия оптовой торговли описывается объединением уровневых множеств:
м = U 0)(z)Mr
І
Вычисление перспективного ассортимента помогает оптовому торговому предприятию определить:
как оптимизировать товарный ассортимент (какие товары обязательно следует иметь на складе при сохранении сложившейся структуры потребителей);
как изменить ассортиментную концепцию при заданном изменении зоны обслуживания, т.е. какие стратегические действия предпринять в случае выхода из числа обслуживаемых потребителей отдельных розничных организаций;
как оптимизировать зону обслуживания (в нашем случае это район эффективной коммерческой деятельности) при исключении из ассортимента тех товаров, признаки которых не удовлетворяют оптовую организацию, или включении тех товаров, признаки которых устраивают ее).
В качестве иллюстрации к данной задаче рассмотрим упрощенный числовой пример.
Пусть оптовая организация имеет на складе 6 потребительских товаров {х„ х2,..., х6} и осуществляет поставки трем потребителям - Zj (крупный универмаг), z2 (небольшой магазин) и z3 (палатка).
В качестве рассматриваемых признаков товаров возьмем следующие:
yt - «цена», у3-«внешний вид»
у2-«качество», у4-«сезонность»,
у5-«ступень жизненного цикла товара».
Пусть: X х Y -gt; и ф5: Y х Z -gt; [О, 1] задаются следующими матрицами:

1	0,8	0,5	1	0,2		1	0,5	о
0,8	0,7	1	0,1	0,7		1	0,5	0
0,5	0,5 0,3		1	0,7	gt;	1	0,3	1
0,5	0,3	0,9	0,1	0,2	5 =	0	1	0.5
0,3	0,4 0,1		0	0		1	0	0,5
0,5 0,5		1	1	0,5/		,		і

а значения весовой функции равны:
co(Zj) = 30, ш(^) = 20, co(z,) = 15.

Характеристики товаров, стоящие в матрице R, указывают, например, что товар х, - дорогой, высококачественный, внешне неброский, соответствует сезону, но несколько устарел технически (или, наоборот, только поступает на рынок и еще неизвестен покупателям).
Характеристики магазинов, стоящие в матрице 5, указывают, например, что второй потребитель - магазин z2 - стеснен в складских помещениях и поэтому предпочитает торговать товарами, соответствующими данному сезону, что следует из значения функции ф$(у4, zJ.
Вычисляем матрицу Т:

/0,714	0,586	0,314
0,97	0,348	0,41
0,667	0,53	0,234
0,95	0,34	0,525
1	0,475	0,125
\ 0,714	0,514	0,5

Заранее отметим для внимательного читателя, что уже на этом этапе можно предположить, что товар х6, как следует из последней строки матрицы Т, по всей видимости, будет закуплен всеми тремя потребителями.
Попарными сведениями получаем матрицу W:

(0,586	0,314	0,314
0,348	0,41	0,348
0,53	0,234	0,234
0,34	0,525	0,34
0,475	0,125	0,125
№,514	0,5	0,5

На этом этапе вычислений учитывается конкуренция между потребителями-магазинами zr z2 и z}.
Далее находятся максимальные элементы в каждом из столбцов матрицы W:
maxmin(nAi(x, zl)tjiAJx, z2))= 0,586; maxmm(nA](x, zl),nAJx, z3)) =0,525; maxminfnAJx, г2),цА](х, z})) =0,5.

{ X, х2, х3, х4, х}, х6,} ,
{Хг х3, ху х6),
{х4,х6,},
Таким образом, широкие возможности крупного универмага zt позволяют ему торговать всем спектром продукции, предлагаемой оптом, магазин z2 в силу недостатка складских помещений, избегает приобретать товары, реализация которых потребует длительного срока, а палатка z3 берет только броские и относительно недорогие товары. Большой спрос на товар х6 не случаен, это действительно товар с блестящими характеристиками: он имеет невысокую цену при среднем качестве, великолепно выглядит, соответствует сезону и достаточно известен розничному покупателю.
Воспользовавшись значениями весовой функции, получаем значения ассортимента:
М = {50хр 30х2, 50х3, 45х4, 50х}, 105х6}
Результатами этой задачи легко воспользоваться при принятии решения о заключении сделки (при анализе поступающего коммерческого предложения).
Для этого следует, определив функцию принадлежности цредлагаемого товара хп +, провести счет согласно приведенному алгоритму, и определить, в какой степени этот товар принадлежит множеству товаров перспективного ассортимента, а если принадлежит, то не вытеснит ли он каких-либо товаров из набора хг,..., хп, уже находящихся на складе предприятия оптовой торговли.
На основании этой оценки лицо, ответственное за заключение сделки, может принять положительное, выжидательное или отрицательное решение.

Аннотация: В лекции представлены методы моделирования экономических задач с использованием нечетких множеств в среде Mathcad. Введены основные понятия теории нечетких множеств. На примерах показаны операции над множествами, расчет свойств. Рассмотрены оригинальные задачи, в которых применен нечетко-множественный подход в процессе принятия решения. Техника моделирования реализована с помощью матриц программы Mathcad.

Цель лекции. Познакомить с нечеткими множествами. Научить ставить задачу для построения нечетко-множественной модели. Показать, как строить нечеткие множества и производить действия над ними в Mathcad. Представить методы решения нечетко-множественной модели в процессе решения задач.

6.1 Нечетко-множественное моделирование

При моделировании широкого класса реальных объектов возникают необходимость принимать решения в условиях неполной нечеткой информации. Современным перспективным направлением моделирования различного вида неопределенностей является теория нечетких множеств. В рамках теории нечетких множеств разработаны методы формализации и моделирования рассуждений человека, таких понятий как "более или менее высокий уровень инфляции", "устойчивое положение на рынке", "более ценный" и т.д.

Впервые понятие нечетких множеств предложил американский ученый Л.А.Заде (1965 г). Его идеи послужили развитию нечеткой логики. В отличие от стандартной логики с двумя бинарными состояниями (1/0, Да/Нет, Истина/Ложь), нечеткая логика позволяет определять промежуточные значения между стандартными оценками. Примерами таких оценок являются: "скорее да, чем нет", "наверное да", "немного вправо", "резко влево" в отличие от стандартных: "вправо" или "влево", "да". В теории нечетких множеств введены нечеткие числа как нечеткие подмножества специализированного вида, соответствующих высказываниям типа " значение переменной примерно равно а". В качестве примера рассмотрим треугольное нечеткое число , где выделяются три точки: минимально возможное, наиболее ожидаемое и максимально возможное значение фактора. Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем, чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра. Например, ожидаемое значение инфляции на следующий год. Пусть наиболее вероятное значение – 10%, минимально возможное – 5%, а максимально возможное – 20%, тогда все эти значения могут быть сведены к виду нечеткого подмножества или нечеткого числа A: А: (5, 10, 20)

С введением нечетких чисел оказалось возможным прогнозировать будущие значения параметров, которые меняются в установленном расчетном диапазоне. Вводится набор операций над нечеткими числами, которые сводятся к алгебраическим операциям с обычными числами при задании определенного интервала достоверности (уровня принадлежности). Применение нечетких чисел позволяет задавать расчетный коридор значений прогнозируемых параметров. Тогда ожидаемый эффект оценивается экспертом также как нечеткое число со своим расчетным разбросом (степенью нечеткости).

Нечеткая логика , как модель человеческих мыслительных процессов, встроена в системы искусственного интеллекта и в автоматизированные средства поддержки принятия решений (в частности, в системы управления технологическими процессами).

6.2 Основные понятия теории нечетких множеств

Множество - неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, дает такое понятие: "…множество - это многое, мыслимое как единое".

Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством. Универсальное множество принято обозначать буквой . Универсальное множество является максимальным множеством в том смысле, что все объекты являются его элементами, т.е. утверждение в рамках задачи всегда истинно. Минимальным множеством является пустое множество – , которое не содержит ни одного элемента. Все остальные множества в рассматриваемой задаче являются подмножествами множества . Напомним, что множество называют подмножеством множества , если все элементы являются также элементами . Задание множества - это правило, позволяющее относительно любого элемента универсального множества однозначно установить, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, это правило, позволяющее определить, какое из двух высказываний, или , является истинным, а какое ложным. Одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции.

Характеристической функцией множества называют функцию , заданную на универсальном множестве и принимающую значение единица на тех элементах множества , которые принадлежат , и значение нуль на тех элементах, которые не принадлежат :

(6.1)

В качестве примера рассмотрим универсальное множество и два его подмножества: - множество чисел, меньших 7, и - множество чисел, немного меньших 7. Характеристическая функция множества имеет вид

(6.2)

Множество в данном примере является обычным множеством.

Записать характеристическую функцию множества , используя лишь 0 и 1, невозможно. Например, включать ли в числа 1 и 2? "намного" или "ненамного" число 3 меньше 7? Ответы на эти и подобные им вопросы могут быть получены в зависимости от условий задачи, в которой используются множества и , а также от субъективного взгляда того, кто решает эту задачу. Множество называется нечетким множеством. При составлении характеристической функции нечеткого множества решающий задачу (эксперт) может высказать свое мнение относительно того, в какой степени каждое из чисел множества принадлежит множеству . В качестве степени принадлежности можно выбрать любое число с отрезка . При этом означает полную уверенность эксперта в том, что - столь же полную уверенность, что говорит о том, что эксперт затрудняется в ответе на вопрос, принадлежит ли множеству или не принадлежит. Если , то эксперт склонен отнести к множеству , если же , то не склонен.

Функцией принадлежности нечеткого множества называют функцию , которая

Такую функцию называют функцией принадлежности нечеткому множеству . - Максимальное значение функции принадлежности , присутствующее в множестве - верхняя грань - называется супремум. Функция принадлежности отражает субъективный взгляд специалиста на задачу, вносит индивидуальность в ее решение.

Характеристическую функцию обычного множества можно рассматривать как функцию принадлежности этому множеству, но в отличие от нечеткого множества , принимает лишь два значения: 0 или 1.

Нечетким множеством называют пару , где - универсальное множество , - функция принадлежности нечеткого множества .

Несущим множеством или носителем нечеткого множества называют подмножество множества , состоящее из элементов, на которых .

Точкой перехода нечеткого множества называют элемент множества , на котором .

В рассматриваемом примере, где , - множество чисел, меньших 7, - множество чисел, немного меньших 7, субъективно выбираем значения для множества , которые будут составлять функцию принадлежности . В таблице 6.1 представлены функции принадлежности и для и .

Таблица 6.1.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Часто используется более компактная запись конечных или счетных нечетких множеств. Так, вместо приведенного выше табличного представления подмножеств и , эти подмножества можно записать следующим образом.