12.12.2017 Lyudmula Abramochkina

Задачи по теории вероятностей (11-13)

Задача 11. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

Р(А1) = 0,45 · 0,03 = 0, 0135

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

Р(А2) = 0,55 · 0,01= 0,0055

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна

0,0135 + 0,0055 = 0,019

Ответ: 0,019

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Рассмотрим события:

A = кофе закончится в первом автомате,
B = кофе закончится во втором автомате.

A · B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(AB)= 0,12

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A·B) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48

Тогда, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 – 0,48 = 0,52

Ответ: 0,52

Задача 13 . Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда “Белые” по очереди играет с командами “Красные”, “Синие”, “Зеленые”. Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда “Белые”.

Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с “Красными” (К), “Синими” (С) и “Зелеными” (З).
П – первая владеет мячом, Н – нет.

ППП
ППН
ПНП
НПП
ПНН
НПН
ННП
ННН

и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда “Белые” будет первой вдладеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов – 8. Тогда искомая вероятность равна

Условие

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение

Рассмотрим события

\[\text{ : """"}\],

\[\text{ : """"}\].

\[\text{A}\cdot \text{B = """"}\],

\[\text{A + B = """"}\].

По условию

& \text{P}\left(\text{A} \right)\text{ = P}\left(\text{B} \right)\text{ = 0}\text{,25; } \\

& \text{P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)\text{ = 0}\text{,15} \\

События A и B совместные, так как могут происходить одновременно, следовательно, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

\[\text{P}\left(\text{A + B} \right)\text{ = P}\left(\text{A} \right)\text{ + P}\left(\text{B} \right)\text{ - P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)\text{ = 0}\text{,25 + 0}\text{,25 - 0}\text{,15 = 0}\text{,35}\].

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Приведем другое решение

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15 = 0,85. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х , откуда искомая вероятность х = 0,65.

Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: \[\text{P}\left(\text{A}\cdot \text{B} \right)=0,25\cdot 0,25=0,0625\], однако, по условию, эта вероятность равна 0,15.

Азартная игра на игровых автоматах характеризуется таким показателем как «дисперсия случайной величины». Показатель дисперсии случайной величины, определяется из законов теории вероятностей и представляет собой число рассеяния данной случайной величины, иными словами – отклонение от математического ожидания. Наиболее часто этот показатель задействован при игре в покер. Советую играть в игровые автоматы 777 в хорошем качестве и проверить теорию вероятности на себе.

Чтобы понять по какому принципу работает игровой автомат познакомимся поближе с показателем дисперсии.

Дисперсия, как уже было замечено ранее, - это математическое отклонение от численной величины математического ожидания рассматриваемого произошедшего события. Простым объяснением этого понятия может служить обыкновенная детская игра «орел или решка?». Два раза бросив монету, при условии отсутствия на ней деформаций, по теории вероятности мы получим, что монета один раз упадет орлом вниз, другой – решкой вниз. Но монета может и два раза упасть орлом вниз. Данное несоответствие (отклонение) случившегося события от расчета и носит название дисперсии.

Дисперсионный показатель может быть высоким и низким. Если значение дисперсии мало, то это означает, что случившееся событие наиболее близко расположено к предполагаемому событию (расчетному). И, наоборот, высокий показатель дисперсии говорит о сильном разбросе результата относительно расчетного значения.

С учетом этих математических характеристик принято выделять три вида дисперсии игровых автоматов, которые различаются процессом игры и числом выигрышных комбинаций в ней.

Первый тип - высокодисперсионные автоматы. Для них характерно редкое выпадение выигрышных комбинаций за весь процесс игры. Однако, при этом выигрышные комбинации приносят игроку большую сумму, нежели в двух других видах автоматах. Если вы располагаете большим количество времени, огромным запасом терпения и приличную начальную сумму для старта, то игра на подобном слоте принесет вам значительных доход. На автомате данного типа есть большой риск потерять все свои средства, «не дотянув» одной игры до победной комбинации.

Второй тип – это автоматы со средней дисперсией. Выигрыш на них, как правило не велик, но превосходит по своей величине выигрыш на низкодисперсионных автоматах. Этот тип игрового слота идеально вам подходит, если у вас недостаточно большая сумма денег, чтобы играть «до победного» на высокодисперсионных автоматах. От автомата с высокой дисперсией этот тип также отличает частота появления выигрышей

Третьим типом автоматов являются низкодисперсионные. Они очень часто выдают выигрышные комбинации, но сумма выигрыша на них очень мала и редко превышает минимальную ставку. Если вы любите в процессе игры чувствовать себя победителем, а в кармане при этом малая сумма денег, отдайте предпочтение именно этому типу автомата.

Помимо этих различий есть еще одна особенность игровых автоматов, возникающая из-за их разной дисперсии – коэффициент выплат. Если конечные выплаты более чем в десять тысяч раз превысят начальную суму ставки – это автомат с высокой дисперсией. Выплаты большие начальной ставки в пять –десять тысяч раз характерны для автоматов со средней дисперсией. И, наконец, автоматы с низкой дисперсией увеличивают начальную ставку менее чем в пять тысяч раз

Показывать величину дисперсии на игровых автоматах – не выгодно. По этой причине возникают трудности с определением дисперсии отдельно взятого автомата. Возникает вопрос: как поставить ставку и не ошибиться? Как рассчитать, с каким автоматом ты имеешь дело при очередной игре. В этой проблеме незаменимыми будут следующие несколько элементарных советов:

Смотрите обзоры на форумах, чтобы иметь представления о различных автоматах;

Попробуйте поиграть на автомате и оценить его сами. Поначалу можно играть в режиме демоверсии;

Анализируйте правила игры, таблицу выплат, представленную на сайте.

Уровень риска при игре на автомате называют волатильностью. От нее напрямую зависит сумма выигрыша и то, как часто будет выпадать игроку счастливые комбинации. Поэтому, перед игрой четко определите для себя, какой уровень риска вы можете позволить себе, иными словами определитесь, на каком автомате вам стоит играть исходя из имеющихся у вас средств.

P.S. Меня зовут Александр. Это мой личный, независимый проект. Я очень рад, если Вам понравилась статья. Хотите помочь сайту? Просто посмотрите ниже рекламу, того что вы недавно искали.