В реальной ситуации вектор ц неизвестен. В этом случае, ориентируясь на наименее выгодное распределение ц состояний Fj, можно добиться максимального увеличения е(Р, д) за счет выбора наиболее удачного распределения Р вариантов решения £;. Подобная стратегия соответствует расширенному минимаксному критерию, причем в данной ситуации реализуется игровая стратегия: состояния Fj минимизируют критерий, а варианты Е, его максимизируют. Общая формулировка данного расширенного минимального критерия имеет вид

где векторы Рид определены в (2.8.18).

Таким образом, цель расширенного минимаксного критерия - нахождение наилучшего распределения вероятностей на множестве вариантов Е, когда в многократно использовавшейся ситуации ничего не известно о вероятностных состояниях ^, относительно которых предполагается "невыгодное" распределение.

Производные критерии, оценки и принятие решений

Данный класс критериев позволяет рассматривать задачи принятия решения с обобщенных позиций, причем обобщение предполагает более полный учет априорно известных факторов, а также введение новых функциональных элементов.

Следует иметь в виду, что для интерпретации критериев можно воспользоваться идеями подпараграфа 2.8.1. В соответствии с подпараграфом 2.8.1 целесообразно свести рассмотренные производные (обобщенные) критерии в табл. 2.8.

Критерий Гурвица

Оценочная функция критерия Гурвица находится между точками предельного оптимума (С = 0) и крайнего пессимизма (С = 1). Характерно, что при С = 1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий (см. подпараграф 2.8.1).

Критерий Ходжа - Лемана

Критерий основан на минимаксном критерии и критерии Байеса - Лапласа, характеризуется тем, что с помощью параметра в выражает степень доверия к используемому распределению вероятностей. При V = 1 критерий переходит в критерий Байеса - Лапласа, а при V = 0 - в минимаксный критерий. Ситуация, в которой рекомендовано применение этого критерия, характеризуется следующими условиями: вероятности появления состояний Е] неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций: при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Критерий Ю. Б. Гермейера

Данный критерий ориентирован на оценочные функции, отражающие величину потерь, т.е. на отрицательные значения всех е-у матрицы оценок, применяется в хозяйственных задачах и ориентирован на цены и затраты. Смысл остальных параметров: <77 - вероятность условия Еу а ег - минимум математического ожидания затрат. В критерии Ю. Б. Гермейера допускается некоторый риск при принятии решения, а также должны быть известны вероятности Цр

Таблица 2.8.

Минимаксный критерий и метод Байеса - Лапласа

Метод позволяет лучше адаптироваться к ситуации за счет введения составных частей, логически унаследованных от других критериев (см. табл. 2.8). На первом этапе формирования критерия фиксируется опорное значение 2тт, задаваемое минимаксным критерием. Затем задается допустимый риск 5д0|| >0 и определяется множество согласия Величины £,-=£^0- ште^ё 1 характеризуют наиболее возможные потери в сравнении с е^. После этого формируется выигрышное множество /2. Множеству /] п ¡2 принадлежат варианты решений, для которых в определенных состояниях могут иметь потери по сравнению с состоянием, задаваемым минимаксным критерием, однако в других состояниях имеется, по меньшей мере, прирост выигрыша.

Таким образом, рассмотренные методы позволяют расширить классы методов, используемых для принятия решений в условиях неполной статистически заданной неопределенности на основе обработки таблиц экспертных оценок.

Критерий Ходжа-Лемана привносит фактор определенной субъективности при принятии решения.

Решение принимается в условиях риска. Однако у ЛПР есть некое недоверие к распределению вероятностей состояний окружающей среды.

Поэтому ЛПР вводит некий "коэффициент доверия" l к вероятностям состояний окружающей среды (0 £ l £ 1). Чтобы сильно не рисковать, обычно таким коэффициентом берут 0,4. Этот коэффициент ещё называют уровнем оптимизма.

Показатель эффективности стратегии Аi по критерию Ходжа-Лемана находится по формуле:

#Для случая оптимизации потерь критерий будет таким:

Z = #

Таким образом, исходную матрицу необходимо дополнить справа еще тремя столбцами. В первый нужно внести значения математических ожиданий всех стратегий, умноженных на уровень оптимизма l = 0,4. Во второй нужно внести значения наименьших элементов всех строк, умноженных на уровень пессимизма 1 – l = 1 – 0,4 = 0,6 . В третий добавленный столбец внесем сумму значений первых двух добавленных столбцов:

Пример вычислений для первой строки:

0,4  (0,33 + 0,27 + 0,153 + 0,115 + 0,256) = 0,4  5,75 = 2,3

= 0,6  3 = 1,8

В нашем случае наибольший элемент 4,78 (в матрице он выделен). Таким образом, в нашем примере оптимальной стратегией будет А3, т.е. инвестор для вложения должен выбрать третий проект.

Ответ А3 .

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.сайт/

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

З.У. Блягоз, А.Ю. Попова

Важнейшей составляющей частью любого вида человеческой деятельности является принятие решений в условиях вероятностной неопределенности. Сложность выбора того или иного решения зависит от степени определенности возможных исходов или последствий. Существуют ситуации, в которых можно более или менее точно оценить вероятность наступления исходов для каждого решения. В этих случаях говорят о принятии решений в условиях риска. Но гораздо чаще невозможно даже приблизительно указать вероятность того или иного результата, что связано с недостаточной информированностью о внешних обстоятельствах, в которых приходится принимать решение. Эта неопределенность порождается множеством различных факторов, таких как экономическая ситуация в стране, уровень инфляции, курсы валют, рыночная конъюнктура, политические отношения, состояние погоды, стихийные обстоятельства и т.п. В этом случае речь идет о принятие решений в условиях вероятностной неопределенности.

Математическая модель ситуации, в которой принятие решений зависит от объективных обстоятельств, называется игрой с природой.

Подобные модели изучает такой раздел математики как «Теория игр с природой» («Теория принятия решений»). Она служит для выработки рекомендаций по рациональному образу действий в условиях риска и неопределенности, вызванной не зависящими от нас причинами.

Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату природа П.

Очевидно, что при решении игр с природой достаточно найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.

Пусть игрок А располагает m возможными стратегиями, которые обозначим A 1 , A 2 ,…, A m , тогда как природа П может принимать одно из n своих состояний П 1 , П 2 ,…, П n . .

Предполагается обычно, что игрок А в состоянии оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий А i , i=1,…,m, при каждом состоянии природы П j , j=1,…,n, количественно выражающиеся действительными числами а ij . Эти числа называются выигрышами игрока А.

В таком случае игра может быть задана матрицей Р = mn, называемой платежной матрицей (или матрицей игры).

Если в платежной матрице элементы k-ой строки не меньше соответствующих элементов s-ой строки, т.е. , то доминируемую (дублируемую) строку s можно удалить, т.к. она определяет стратегию, заведомо не лучшую стратегии. Это позволяет значительно упростить платежную матрицу игры. Отбрасывать же те или иные состояния природы нельзя, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно оно игроку А или нет.

После упрощения платежной матрицы иногда выгодно перейти от нее к матрице рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы.

Риском r ij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией A i при состоянии П j природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, достоверно зная, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем aij, который он получит, используя стратегию A i , не зная, какое из состояний Пj природа реализует.

Таким образом, элементы rij матрицы рисков определяются по формуле:

где - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

Учитывая специфику игр с природой, при поиске оптимальных решений обращаются к различным критериям, дающим некоторою логическую схему принятия решения.

В условиях риска, т.е. когда известны вероятности qj состояний природы, можно использовать критерии Байеса, Лапласа, Ходжа-Лемана. При принятии решений в условиях неопределенности критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и произведений.

вероятностный неопределенность решение математический

Критерий Байеса

Этот критерий используется в предположении, что вероятности q j состояний природы Пj известны. В качестве показателя эффективности чистой стратегии Ai используется средневзвешенный выигрыш при стратегии Аi с весами q1,…,qn, т.е. величина

Оптимальной по Байесу чистой стратегией является стратегия с максимальным показателем эффективности. Цена игры в этом случае определяется по формуле:

Аналогично можно найти оптимальную по Байесу стратегию, используя формулу

и матрицу рисков. В этом случае средний риск следует минимизировать. Однако, следует заметить, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск.

Критерий Лапласа

Если игрок А не располагает объективной информацией об вероятностях qj состояний природы Пj и считает в равной мере правдоподобными все состояния, то их вероятности полагают одинаковыми и равными 1/n. Этот прием называют принципом недостаточного основания Лапласа. Отсюда вытекает и критерий Лапласа, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш игрока А при равенстве всех вероятностей.

В этом случае показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

а цена игры равна

При использовании критериев Байеса и Лапласа предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

Ш вероятности появления состояний Пj известны и не зависят от времени.

Ш решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

Ш для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.

Критерий Вальда

В случае, если вероятности состояний природы неизвестны и нет возможности получить о них какую-либо статистическую информацию, при определении оптимального решения можно использовать критерий Вальда.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. здесь игрок А исходит из предположения, что природа П «действует» против него наихудшим образом, т.е. реализует такие состояния Пj, при которых величина его выигрыша принимает наименьшее значение.

Показатели эффективности каждой чистой стратегии рассчитываются по формуле:

Оптимальной по критерию Вальда считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет максимальным, т.е. обеспечивается максимин

Критерий Вальда часто также называют максиминным критерием.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется.

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, следующая:

Ш о возможности появления внешних состояний Пj ничего не известно;

Ш решение реализуется только один раз;

Ш необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Критерий Сэвиджа

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, ибо и здесь игрок А исходит из предположения, что природа реализует самые неблагоприятные для него состояния. Критерий Сэвиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной ту чистую стратегию, при которой минимизируется величина максимального риска.

Таким образом, показатель эффективности определяется как величина максимального риска:

А цена игры равна

При использовании критерия Сэвиджа ситуация, в которой принимается решение, должна удовлетворять тем же условиям, что и при применении критерия Вальда.

Критерий Гурвица

Занять более уравновешенную позицию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма, предлагает критерий Гурвица. Его также часто называют критерием пессимизма-оптимизма.

В области чистых стратегий показатель эффективности определяется из условия:

Оптимальной по Гурвицу считается та чистая стратегия, показатель эффективности которой принимает наибольшее значение

Параметр выбирается из субъективных соображений, потому что на практике очень трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Чаще всего полагают равным 0,5.

При критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (крайнего пессимизма).

При - в критерий крайнего оптимизма, или критерий «азартного игрока», делающего ставку на то, что исход игры будет для него самым благоприятным:

При получается нечто среднее между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

о вероятностях появления состояния Пj ничего не известно;

реализуется только малое количество решений;

допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана

Этот критерий опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей, а коэффициент (1-) характеризует количественно степень пессимизма игрока А. Чем больше доверия игрока А данному распределению вероятностей состояний природы, тем меньше пессимизма и наоборот. Если доверие велико, то доминирует критерий Байеса-Лапласа, в противном случае критерий Вальда, т.е. показатель эффективности чистой стратегии Аi равен:

Стратегия с максимальным показателем эффективности является оптимальной. Цена игры определяется по формуле:

При =1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при =0 становится критерием Вальда. Выбор субъективен т.к. определить степень достоверности какой-либо функции распределения довольно сложно. Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам:

Ш вероятности появления состояния Пj неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

Ш принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

Ш при малых числах реализации допускается некоторый риск.

Критерий произведений

Критерий произведений используется в тех случаях, когда все элементы платежной матрицы положительны, т.е. . Если это условие нарушается, то можно перейти к строго положительным значениям с помощью преобразования аij+a при подходящем образом подобранном a0. Результат при этом будет, естественно, зависеть от а.

При использовании этого критерия показатель эффективности каждой чистой стратегии определяется по формуле:

Оптимальной по критерию произведений будет та чистая стратегия, показатель эффективности которой будет наибольшим.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

вероятности появления состояния Пj неизвестны;

с появлением каждого из состояний Пj по отдельности необходимо считаться;

критерий применим и при малом числе реализаций решения;

некоторый риск допускается.

Пример.

«Фото Колор» - небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото Колор» - фиксаж ВС-6. Накопленный опыт работы показывает, что спрос на этот продукт может составлять 11, 12 или 13 ящиков в неделю. От продажи каждого ящика фирма получает 350 руб. прибыли. ВС-6, как и многие фотографические реактивы, имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, его следует уничтожить. Так как каждый ящик обходится фирме в 560 рублей, она теряет эту сумму в случае, если ящик не продан к концу недели. Кроме того, если спрос на продукт будет высок, а произведено ВС-6 меньше, то фирма понесет убытки, связанные с недополученной прибылью в размере 160 руб. за ящик.

Определить еженедельный объем производства фиксажа ВС-6, обеспечивающий фирме наибольшую прибыль.

В рассматриваемой ситуации в качестве сознательного игрока А выступает фирма «Фото Колор». Ее чистыми стратегиями будут: А 1 - решение о еженедельном выпуске 11 ящиков фиксажа ВС-6, А 2 - решения о еженедельном выпуске 12 ящиков, А 3 - решение о еженедельном выпуске 13 ящиков.

В качестве второго игрока будем рассматривать совокупность всех внешних обстоятельств, в которых формируется спрос на продукт, - природу П. В данном случае природа может реализовать любое из своих состояний: П 1 - еженедельный спрос на фиксаж ВС-6 составляет 11 ящиков, П 2 - 12 ящиков, П 3 - 13 ящиков.

Выигрыши игрока А - еженедельная прибыль от продажи ВС-6 представлены в следующей таблице.

Наиболее благоприятными будут комбинации (А 1 ; П 1), (А 2 ; П 2) и (А 3 ; П 3), когда еженедельный спрос на фиксаж будет совпадать с объемом производства. В этом случае прибыль будет равна

В случае если еженедельный спрос на продукт превышает объем выпуска (ситуации (А 1 ; П 2), (А 1 ; П 3) и (А 2 ; П 3)), то прибыль будет равна соответственно

Если же объем выпуска продукции будет превышать спрос (ситуации (А 2 ; П 1), (А 3 ; П 1) и (А 3 ; П 2)), то имеем

Очевидно, что в платежной матрице нет доминирующих стратегий, поэтому упростить ее нельзя.

Прежде чем начать анализ, построим матрицу рисков, которая позволит более четко выявить преимущество одной стратегии по сравнению с другой при данном состоянии природы. Расчет производим, используя формулу (1).

Подсчитаем показатели эффективности стратегий

Ш по критерию Байеса в предположении, что вероятности продать 11, 12 или 13 ящиков в течение недели равны 0,45, 0,35 и 0,2,

Ш по критерию Лапласа в предположении, что эти вероятности в равной мере правдоподобны и равны 1/3,

Ш по критерию Ходжа-Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например,

Ш по критерию Вальда, критерию Сэвиджа, критерию произведений, критерию Гурвица с показателем (крайнего оптимизма), критерию Гурвица с показателем оптимизма, например, .

Данные результаты расчетов приведены в таблице.

Для расчета показателей эффективности по критерию Сэвиджа используем матрицу рисков.

В данном примере у решения имеются две поворотные точки относительно весового множителя: до в качестве оптимальной выбирается стратегия А 3 , при - стратегия А 2 , а при больших значениях А 1 .

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует стратегию А 1 (выпуск 11 ящиков) так же как и критерий Вальда. Смена рекомендуемой стратегии происходит при. Поэтому если, степень доверия игрока А к используемому распределению вероятностей достаточно высока в качестве оптимальной выбирается стратегия А 2 .

При использовании 8 критериев стратегия А 2 выбиралась в качестве оптимальной 5 раз, стратегия А 1 - 2 раза и стратегия А 3 - 1 раз. Поэтому можно сделать вывод о том, что применение стратегии А 2 (выпуск 12 ящиков фиксажа ВС-6) является более предпочтительным.

Примечания

1. Абчук, В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций / В.А. Абчук. - СПб.: Союз, 1999. - 246с.

2. Аронович, А.Б Сборник задач по исследованию операций / А.Б. Аронович, М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. - М.: Изд-во МГУ, 1997. - 252с.

3. Грешилов, А.А. Как принять наилучшее решение в реальных условиях? / А.А. Грешилов. - М.: Радио и связь, 1991. - 118с.

4. Исследование операций в экономике: учебное пособие / Н.Ш. Кремер [и др.]. - М.: ЮНИТИ, 1997. - 428с.

5. Лабскер, Л.Г. Общая методика конструирования критериев оптимальности решений в условиях риска и неопределенности / Л.Г. Лабскер, Е.В. Яновская // Финансовый менеджмент. - 2002. - №5.

6. Просветов, Г.И. Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие / Г.И. Просветов. - М.: Изд-во РДЛ, 2004. - 364с.

Размещено на сайт

Подобные документы

Сущность общей методики формирования критериев. Расчет показателя эффективности стратегии, средневзвешенного выигрыша, цены игры, оптимальности стратегии по критериям Байеса, Лапласа, Вальда, Ходжа-Лемана, Гермейера, максимаксному, критерию произведений.

реферат , добавлен 23.05.2010


Теория статистических решений как поиск оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Критерии принятия решений Лапласа, минимаксный, Сэвиджа, Гурвица и различия между ними. Математические средства описания неопределенностей.

контрольная работа , добавлен 25.03.2009


Принятие решений в условиях неопределенности. Критерий Лапласа и принцип недостаточного основания. Критерий крайнего пессимизма. Требования критерия Гурвица. Нахождение минимального риска по Сэвиджу. Выбор оптимальной стратегии при принятии решения.

контрольная работа , добавлен 01.02.2012


Оптимизация решений динамическими методами. Расчет оптимальных сроков начала строительства объектов. Принятие решений в условиях риска (определение математического ожидания) и неопределенности (оптимальная стратегия поведения завода, правило максимакса).

контрольная работа , добавлен 04.10.2010


Критерии принятия решений в условиях радикальной и вероятностной неопределенности: критерий Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа, Байеса. Выбор проекта, который обеспечит максимальный доход из минимально возможных. Определение среднего дохода по проекту.

контрольная работа , добавлен 23.09.2014


Экономическое обоснование принятия решений в условиях риска. Понятие и формулировки, методы решения проблем. Критерий Гермейера, Гурвица, Байеса-Лапласа. Решение задачи при помощи компьютера: условные, абсолютные, искомые апостериорные вероятности.

курсовая работа , добавлен 09.04.2013


Статистические модели принятия решений. Описание моделей с известным распределением вероятностей состояния среды. Рассмотрение простейшей схемы динамического процесса принятия решений. Проведение расчета вероятности произведенной модификации предприятия.

контрольная работа , добавлен 07.11.2011


Решение задач при помощи пакета прикладных программ MatLab. Загрузка в MatLab матриц A и P. Нахождение оптимальной стратегии для заданных матриц с использованием критериев принятия решений в условиях неопределённости Вальда, Гурвица, Лапласа, Сэвиджа.

лабораторная работа , добавлен 18.03.2015


Математическая модель задачи принятия решения в условиях риска. Нахождение оптимального решения по паре критериев. Построение реализационной структуры задачи принятия решения. Ориентация на математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение.

курсовая работа , добавлен 16.09.2013


Сущность правил Вальда (крайний пессимизм) и Сэвиджа (минимальный риск) при принятии решений в условиях полной неопределенности. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего риска. Риск как среднее квадратичное отклонение.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

В практике принятия решений ЛПР руководствуется не только критериями, связанными с крайним пессимизмом или учётом максимального риска.

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, ЛПР может ввести оценочный коэффициент, называемый коэффициентом пессимизма, который находится в интервале и отражает ситуацию, промежуточную между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма.

Данный коэффициент определяется на основе статистических исследований результатов принятия решений или личного опыта принятия решений в схожих ситуациях .

Платёжная матрица дополняется столбцом, коэффициенты которого рассчитываются по формуле:

Wi = Cminj aij + (1-C) maxj aij (1.4.3)

Где C - коэффициент пессимизма.

Оптимальной по данному критерию считается стратегия, в которой значение Wi максимально: W = max Wi

При С=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается в критерий азартного игрока, делающего ставку на то, что «выпадет» наилучший случай.

Критерий Гурвица применяется в ситуации, когда:

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;

3. Реализуется только малое количество решений;

4. Допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана

Этот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий максимального математического ожидания выигрыша. При определении оптимальной стратегии по этому критерию вводится параметр достоверности информации о распределении вероятностей состояний окружающей среды, значение которого находится в интервале .

Если степень достоверности велика, то доминирует критерий максимального математического ожидания выигрыша, в противном случае ММ-критерий

Платёжная матрица дополняется столбцом, коэффициенты которого определяются по формуле:

где u - параметр достоверности информации о вероятностях состояний окружающей среды.

Оптимальной по данному критерию считается та стратегия, в которой значение Wi максимально: W = max Wi

Данный критерий применим в следующем случае :

1. Имеется информация о вероятностях состояний окружающей среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться;

2. Принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

3. При малом числе реализации допускается некоторый риск.

Пример решения статистической игры

Рассмотрим пример решения статистической игры в экономической задаче.

Сельскохозяйственное предприятие производит капусту. Оно имеет возможность хранить произведённую капусту в течение всего сезона реализации - с осени до начала лета следующего года.

Хозяйство может выбрать одну из трёх стратегических программ реализации капусты в течение сезона реализации:

A1 - реализовать всю капусту осенью, непосредственно после уборки;

A2 - заложить часть капусты на хранение и реализовать её в течение осенних и зимних месяцев;

A3 - заложить всю капусту на хранение и реализовать её в весенние месяцы.

Сумма затрат на производство, хранение и реализацию капусты для хозяйства при выборе им каждой из стратегий составляет соответственно 20, 30 и 40 тыс. денежных единиц.

На региональном рынке капусты может сложиться одна из следующих трёх ситуаций:

S1 - поступление капусты на рынок происходит равномерно в течение всего сезона реализации и рынок не испытывает сезонных колебаний цен реализации продукта;

S2 - в осенние месяцы на рынок поступает капусты немного больше, чем зимой и весной. В связи с этим наблюдаются небольшие сезонные колебания цен - в начале зимы цены немного возрастают по сравнению с осенним уровнем и держатся стабильными в течение всех последующих месяцев сезона реализации;

S3 - в осенние месяцы на рынок поступает капусты значительно больше, чем зимой и весной. Объёмы капусты, поступающей в течение сезона реализации, постоянно уменьшаются. Поэтому рынок испытывает значительные сезонные колебания цен.

Значения суммы выручки предприятия от реализации капусты при выборе каждой из стратегий реализации и формировании различных ситуаций на рынке представлены в таблице 6.

Таблица 6.

Выручка от реализации капусты, тыс. д.е.

В задаче необходимо определить:

1. Какая стратегия хозяйства является наиболее выгодной, если известны значения вероятностей состояний рынка капусты региона: 0,3, 0,6 и 0,1 соответственно;

2. Какая стратегия хозяйства является наиболее выгодной, если информация о вероятностях состояний рынка капусты отсутствует и предприятию необходимо:

а) получить минимально гарантированный выигрыш;

б) учесть значения риска от принятия различных решений;

в) определить наиболее выгодную стратегию, если коэффициент пессимизма равен 0,3;

3. Определить наиболее выгодную стратегию, если информация о вероятностях состояний рынка не является вполне достоверной и параметр достоверности информации равен 0,7;

4. Дать экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

1. Составим платёжную матрицу данной игры. Её коэффициентами будут значения прибыли от производства капусты, получаемые как разница суммы выручки от реализации капусты и затрат на производство, хранение и реализацию капусты (таблица 7).

Таблица 7

Платёжная матрица задачи определения наиболее выгодной стратегии реализации капусты

Оптимальной по данному критерию при указанных значениях вероятностей состояния рынка капусты будет стратегия A2 (W = 6,3)

3. Определим наиболее выгодные стратегии предприятия по ММ-критерию, критерию недостаточного основания Лапласа (НО-критерий) и критерию пессимизма-оптимизма (на рисунке - ПО-критерий, таблица 9).

Таблица 9

Определение оптимальной стратегии в статистической игре по максиминному критерию, критерию недостаточного основания Лапласа и критерию пессимизма-оптимизма

Значения Wi для ММ-критерия найдём по формуле:

W1 = min (10, 5, 2) = 2

W2 = min (0, 10, 3) = 0

W3 = min (-10, 0 20) =-10

Оптимальной стратегией по максиминному критерию является стратегия A1 (W = 2).

Определим оптимальную стратегию по критерию недостаточного основания Лапласа.

По данному критерию оптимальной является стратегия A1 (W = 5,67).

По критерию пессимизма-оптимизма при коэффициенте пессимизма, равном 0,3 (формула (6)) - стратегия A3 (W = 11).

4. Определим наиболее выгодную стратегию по критерию минимаксного риска. Для этого рассчитаем матрицу рисков (таблица 10).

Таблица 10

Определение оптимальной стратегии в статистической игре по критерию минимаксного риска с помощью построения матрицы рисков

По критерию Ходжа-Лемана оптимальной для хозяйства будет стратегия A1 (W = 4,94).

6. Проведём экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

Если предприятие имеет информацию о вероятностях состояния рынка капусты и значения этих вероятностей соответствуют исходным данным задачи, наиболее выгодной стратегией является продажа части капусты в осенние месяцы и хранение оставшейся капусты для реализации в течение зимних месяцев (прибыль составит 6,3 тыс. д.е.).

Эта же стратегия является наиболее эффективной, если информация о вероятностях состояний рынка капусты отсутствует и пользователю необходимо минимизировать степень возможного риска потери прибыли в процессе принятия решения (значение возможного риска составит 17 тыс. д.е.).

В случае, когда при отсутствии информации о состоянии рынка наиболее существенным для пользователя является не максимизация прибыли в абсолютном выражении, а получение её гарантированного объема, хотя бы и минимального, наиболее целесообразным решением является реализация всей капусты в осенние месяцы (прибыль составит 2 тыс. д.е.).

Это же стратегия является наиболее выгодной, если пользователь имеет информацию о вероятностях состояний рынка, соответствующую исходным данным, но эта информация не вполне достоверна (в случае, если информация имеет достоверность 0,7, прибыль составит 4,94 тыс. д.е.).

В случае, если информация о вероятностях состояний рынка отсутствует и риск значительных потерь не является для пользователя определяющим фактором при принятии решения, или если есть основания для оптимистической оценки ситуации на рынке капусты, при котором пользователь имеет возможность получить наибольшую прибыль от производства капусты, ему следует сохранить произведённую продукцию и реализовать её в весенние месяцы (прибыль составит соответственно 5.7 и 11 тыс. д.е.).

принятие решение оптимальный программный