Золотое сечение и создания природы Золотое сечение, по которому возводили здания античные зодчие и по которому выстраивают композицию современные фотографы, подсказано самой природой. Цикорий Ящерица живородящая Яйцо птицыИ среди растений, и среди животных

Платоновы тела и золотая пропорция Среди Платоновых тел существует два, которые занимают особое место – это додекаэдр и икосаэдр, двойственный ему. Их геометрия непосредственно связана с пропорцией золотого сечения.Грани додекаэдра – пентагоны, правильные

Золотое сечение Рассмотрим ряд N, П, Р, С, Т – 5, 8, 1, 2, 3 (см. рис. 7). Прежде всего бросаются в глаза цифры 5 и 8. Дробь 5/8 – это формула знаменитого Золотого сечения – 0,618. Нарисуйте линию длиной 8 единиц и отложите на ней 5 – вот вам пропорция Золотого сечения (см. рис. 8 – отношения

Золотое сечение и Золотое кольцо России Как-то в книге Эриха фон Дэнникена (см. ) я прочитал, что священные места в Древней Греции связаны друг с другом пропорцией Золотого сечения. Цитирую мной лично проверенные данные, которые приводятся в этой книге:1. Линия Дельфы –

Золотое сечение и спираль Золотого сечения как основа информационного поля Земли Если быть кратким, понять, что означает улитка, помогли мне тамплиеры. Одна из загадок, которая мучила учёных до последнего времени, заключалась в следующем: откуда тамплиеры были так хорошо

Золотое сечение образа, или то, что Лука Пачоли называет Божественной Пропорцией Это самое значительное и самое увлекательное явление в Игре. Самым азартным игрокам процесс игры с образом дарит ни с чем не сравнимое удовлетворение. Но! Постигнуть природу образа можно

Золотое сечение 616 = Войти в центр Альфа и Омега – ядро галактики Млечный Путь = Впервые осуществлена прямая связь через космос = Звезда Единого галактического мозга – шестиконечная звезда – звезда магов = Трансформация сознания в духовное через интеллект = «Числовые

Формула совершенства. Золотое сечение Человек издавна подсознательно во всем искал гармонию – в окружавшей его природе, в предметах быта, украшениях, произведениях искусства. Меру объективной оценки красоты, выраженной конкретными числами, найти сложно, однако на

Неотъемлемым элементом современной экономической системы выступает бухгалтерский учет. Как показывает историческая практика, представления о деньгах и их обороте имеют неразрывную связь с существующим хозяйственным укладом. С развитием государственности появилась необходимость систематизации и упорядочения финансовых операций. Огромный вклад в решение этой задачи внес Лука Пачоли - "отец" бухгалтерского учета. Далее узнаем, в чем заслуга этого математика.

Лука Пачоли: биография

Родился он в 1445 году в Апеннинах, в небольшом городе Борго-Сансеполькро. Еще мальчиком его отдали в местный монастырь на учебу к художнику. В 1464 году Лука Пачоли переехал в Венецию. Там он занимался воспитанием купеческих сыновей. Именно в тот момент произошло первое его знакомство с финансовой деятельностью. В 1470-м Лука Пачоли (фото математика представлено в статье) переехал в Рим. Там он заканчивает составление своего учебника по коммерческой арифметике. После Рима математик отправляется на три года в Неаполь. Там он занимался торговлей, но, судя по всему, безуспешно. В 1475-76 годах он постригся в монахи и присоединился к С 1477-го Лука Пачоли преподавал 10 лет в университете Перуджи. За время его деятельности его способности к преподаванию неоднократно отмечались повышениями зарплаты. Работая в университете, он создал основной труд, одна из глав которого была "Трактатом о записях и счетах".

В 1488-м математик оставил кафедру и уехал в Рим. В течение последующих пяти лет он состоял в штате Пьетро Валлетари (епископа). В 1493-м Пачоли переехал в Венецию. Здесь он готовил свою книгу к печати. Отдохнув год, Пачоли принял кафедру миланского университета, где стал преподавать математику. Здесь он знакомится с Леонардо да Винчи и становится его другом. В 1499-м они переезжают во Флоренцию. Там Пачоли преподавал два года математику. После этого он отправляется в Болонью. В этом городе почти половина направлялась на содержание университета. Принятие математика на такую выгодную и престижную должность говорит о его признании.

Спустя несколько лет в Венеции выходит часть книги, которую написал Лука Пачоли, "Трактат о счетах и записях". Дата издания этой работы - 1504 год. К 1505-му математик практически отошел от преподавания и переехал во Флоренцию. Но в 1508-м он снова отправился в Венецию. Там он читал публичные лекции. Однако основным его занятием была в то время подготовка к изданию своего перевода Евклида. В 1509 году вышла еще одна книга, которую написал Лука Пачоли, - "О божественной пропорции". В 1510-м математик возвращается в родной город и становится приором в местном монастыре. Однако его жизнь была отягощена многочисленными интригами завистников. Это послужило причиной того, что спустя четыре года он снова уехал в Рим. Там он преподавал в математической академии. В родной город Лука Пачоли вернулся уже незадолго до смерти - в 1517 году.

Вклад математика в развитие методологии

Чтобы в полной мере понять значение, которое имеет книга, которую написал Лука Пачоли ("Трактат о счетах и записях"), необходимо оценить принципы, заложенные им в систему. Почти все эксперты говорят о том, что предложенные математиком критерии, существовали и до него. Например, нельзя считать, что Лука Пачоли - автор двойной записи. Она существовала и до него. В этом случае возникает вопрос о том, каков вклад математика в таком случае? В отличие от современников, Пачоли считал, что все самое важное уже было изобретено ранее. Основной же задачей ученых он видел в наиболее эффективном построении учебного курса. Пачоли не представлял себе научное творчество за рамками педагогического процесса. Поэтому преподавательская деятельность стала неотъемлемым элементом его жизни.

Представления, которые имел Лука Пачоли, полностью определяли его научный подход как к решению математических задач, так и смежных дисциплин. Эта позиция достаточно точно впоследствии была определена Галилеем. Познание Лукой Пачоли математики было тесно связано с изучением гармонии мира. При этом правильность геометрических фигур, как и сходимость баланса, стали для него проявлениями этой гармонии. Ученый не просто фиксировал те практики, которые существовали ранее, а давал им научное описание. В этом основное значение деятельности, которую осуществлял Лука Пачоли. "Трактат о счетах и записях", таким образом, стал фундаментом для совершенствования системы составления баланса.

Суть научного подхода

Отражение фактов на момент их существования является наиболее точным. Но вместе с этим такой прием не способствует дальнейшему развитию практик, поскольку метод познания ориентирован на прошлое, точное воспроизведение уже совершившегося и имеющего место. Подход, который применялся Лукой Пачоли, давал возможность провести оценку ситуации не только на отрезке ее развития, но и в перспективе, а также со стороны системности и целостности. В своей работе математик многого не учел, допустил ряд ошибок, описал более устаревшую венецианскую систему, а не прогрессивную флорентийскую. Тем не менее, "Трактат" Луки Пачоли показал, что и при составлении финансовой отчетности можно применить научный подход. Он смог превратить формирование баланса в одну из направлений Это, в свою очередь, послужило тому, что многие люди (Лейбниц, Кардано и другие) стали интересоваться теорией бухучета.

Внедрение математической системы

В своем "Трактате" Пачоли дополнил существовавшие методы представлениями о комбинаторике. В составлении баланса в то время применялись дроби из-за одновременного использования нескольких валют. Но при проведении операций их просто округляли. Однако основным вкладом математика в методологию считают внедрение им представления о целостности системы бухучета и о том, что сходимость баланса выступает как признак ее гармонии. Последнее определение рассматривалось в то время не только в качестве эстетической, но и инженерной категории. Оценка торгового баланса с этой позиции позволяла представить предприятие в виде целостной системы. Метод, который совершенствовал Лука Пачоли, - двойная запись - по его мнению, должен был применяться не только для определенного торгового предприятия, но для любой организации и для всей экономики в целом. Это позволяет сделать вывод, что подход, который внедрял математик, предопределил не только развитие финансовой отчетности, он стал фундаментом для формирования и последующего воплощения экономической мысли.

Лука Пачоли: "Трактат о счетах и записях" (краткое содержание)

В первую очередь следует сказать, что финансовый баланс у математика представлен в виде строго упорядоченной последовательности операций. Наиболее полное отражение "процедурности" просматривается в принципе ведения трех книг учета. Первая - "Мемориал" - отражает хронологическую последовательность всех дел. В шестой главе "Трактата" описан порядок ее ведения. С течением времени Мемориал был заменен первичными документами. Вследствие этого возникла несогласованность между датами выписки, совершения операции и регистрации факта.

Следующая книга - "Журнал". Он предназначался исключительно для внутреннего пользования. В нем фиксировались все операции, которые были описаны в "Мемориале", но при этом учитывался их экономический смысл (убыток, прибыль и так далее). Он был предназначен для проводок и также составлялся в хронологическом порядке. Третьей книгой стала "Главная". О ней рассказано в 14 главе "Трактата". В ней операции фиксировались в систематическом, а не хронологическом порядке.

Ясность

Это следующий принцип, который был описан Пачоли. Ясность означала предоставление пользователям понятных и полных сведений о хозяйственной активности предприятия. Все записи в книгах, в соответствии с этим принципом, должны составляться так, чтобы в них была предусмотрена концептуальная реконструкция. Другими словами, операции должны фиксироваться так, чтобы впоследствии можно было восстановить участников акта, объекты, время и место совершения факта. Для достижения наибольшей ясности необходимо владение языком бухучета. Математик применял при написании книги венецианский диалект, повсеместно употреблял математические понятия. Именно Пачоли сформировал предпосылки для создания языка бухучета, являвшегося наиболее понятным для большинства итальянских финансистов.

Нераздельность имущества собственника и предприятия

Данный принцип был для того времени вполне естественным. Дело в том, что многие купцы тогда выступали как единственные собственники предприятия, руководители и получатели убытков и прибылей от торговой деятельности. В соответствии с этим, ведение бухучета осуществляется в интересах владельца фирмы. Однако в 1840 году Ипполитом Ванье был сформулирован и другой подход. В соответствии с ним, бухучет ведется не в интересах собственника, а фирмы. Данный подход отражал распространение в широких массах акционерного капитала.

Кредит и дебет

Одним из важнейших принципов у Пачоли выступала двойственная запись. Математик придерживался позиции, что каждая должна быть отражена как в дебете, так и в кредите. Такой подход преследует следующие цели:

В своей работе Пачоли уделил много внимания первой задаче. При этом вторая и третья остались неразвитыми. Это приводит к формированию метода, который искажает правильность оборота. Дело в том, что Пачоли был в первую очередь ученым, а потом - финансистом, поэтому рассматривал систему двойной записи в пределах причинно-следственной связи. В дебете, предположительно, математик видел причину, а в кредите - следствие. Такой способ рассмотрения финансовой системы в первую очередь нашел применение в экономике. Наиболее емкую формулировку этого принципа дал Езерский: без расхода не может быть дохода. В качестве основных аспектов двойственной записи Пачоли принимал следующее:

1. Сумма дебетового оборота будет всегда тождественна сумме кредитового.
2. Величина дебетовых сальдо будет всегда тождественна величине кредитовых.

Эти принципы впоследствии получили широкое распространение в системах бухучета.

Предмет отчетности

В качестве него у Пачоли выступало исполнение договора о купле-продаже. Сведение всех соглашений к документу такого вида было вполне характерно для того времени. Несомненно, сегодняшнее многообразие форм хозяйственной жизни не может уместиться в рамки понятия купля-продажа (например, взаимозачет, бартер, и так далее). Однако во времена Пачоли такое представление было весьма прогрессивным. Кроме этого, такой подход позволил сформировать адекватное для того периода определение стоимости как не только справедливой цены, но и следствия себестоимости и ситуации на рынке.

Принцип адекватности

Его суть состоит в том, что все расходы, которые несет предприятие, соотносятся с течением времени с полученными им доходами. Принцип адекватности Пачоли скорее предусматривает, чем вводит прямо и явно. В качестве доходов рассматриваются только полученные деньги. В то время понятия о рентабельности и амортизации только начали свое формирование. В комплексе все это способствовало созданию представлений как о денежной, так и других формах прибыли. В соответствии с новым пониманием о доходе, можно сказать, что он образуется не только вследствие осуществления хозяйственных операций, но и в результате применения бухгалтерской методологии.

Ведение баланса

Пачоли считал бухгалтерский учет чем-то самоценным, в связи с этим ценность результатов отчетности выступала как понятие относительное. Итоги, зафиксированные в той или другой книге, зависят во многом от метода ведения отчетности. Данное положение согласуется с идеей о наиболее точном фиксировании хозяйственных операций в балансе, поскольку все способы предполагают достаточно точное отражение фактов при том, что выводы могут быть зачастую прямо противоположными. Пачоли это все прекрасно понимал. В этой связи в качестве главного результата финансовой отчетности он видел его воздействие на принятие решений в сфере хозяйственного управления.

Честность

Это последний принцип, который провозглашал Пачоли в своем "Трактате". Человек, который занимается сведением баланса, должен быть абсолютно честным. Это должно проявляться не только в отношении непосредственно самого нанимателя. Бухгалтер должен быть главным образом честен перед Богом. В связи с этим упование на него почти в каждой главе для математика не является ни данью традиции, ни исполнением монашеского долга, а главным Сознательное искажение бухгалтерских сведений Пачоли считал не только финансовым нарушением. Для математика это в первую очередь было расстройством божественной гармонии, постичь которую он стремился посредством вычислений.

Недостатки работы

Следует сказать, что труд Пачоли выступал в первую очередь в качестве теоретической книги. В этой связи в нем не отражены многие элементы финансовой отчетности, существовавшие в то время. К ним, в частности, следует отнести:

1. Ведение дополнительных и параллельных книг.
2. Учет промышленных затрат.
3. Ведение баланса с аналитической целью. В то время формирование отчетности уже осуществлялось не только для выверки сведений и закрытия книг, но и выступало в качестве инструмента управления и контроля.
4. Ведение счетов ностро и лоро.
5. Основы ревизии и порядок проверки баланса.
6. Методики расчетов, касающиеся распределения прибыли.
7. Порядок резервирования средств и распределения итогов по смежным периодам.
8. Подтверждение отчетной информации методами инвентаризации.

Отсутствие этих компонентов указывает в первую очередь на недостаточный коммерческий опыт Пачоли. Вероятно, что он не включил приведенные детали вследствие того, что они просто не вписывались в целостную систему, созданную им.

В заключение

Труд Пачоли стал одним из первых, в котором используется итальянский язык как средство выражения научной идеи. Принципы и категории, сформированные математиком, находят применение и в настоящее время. Основной заслугой Пачоли является не то, что он зафиксировал их, - ведь это было бы и так сделано. Его вклад состоит в том, что именно благодаря его книге бухгалтерский учет был возведен в статус науки.

Фра Лука Бартоломео де Пачоли или Пачоло - итальянский математик, один из основоположников современных принципов бухгалтерии.

Пачоли родился около 1445 в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро на границе Тосканы и Умбрии. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника Пьеро делла Франческа. Здесь его заметил великий итальянский зодчий Леон Батиста Альберти. В Венеции Пачоли посещает лекции знаменитого математика Доменико Брагадино в школе Риальто. В 1470 году он закончил свою первую книг у - учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим . Однако через два года Пачоли покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

С 14 октября 1477 года по 11 декабря 1480 года - профессор в Перуджинском университете, где читает лекции по алгебре, геометрии.
В 1494 году Пачоли опубликовал математический труд под названием «Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций», посвящённый герцогу Урбинскому Гвидобальдо да Монтефельтро. Пожалуй, самое существенное нововведение Пачоли состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии.

В 1496 по приглашению герцога Лодовико Сфорца приезжает в Милан и возглавляет только что созданную при Миланском университете кафедру математики. В Милане знакомится с Леонардо да Винчи, с которым в дальнейшем очень сдружился.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга Пачоли: «Божественная пропорция. Сочинение, весьма полезное всякому проницательному и любознательному уму, из коего каждый изучающий философию, перспективу, живопись, скульптуру, архитектуру, музыку или другие математические предметы извлечёт приятнейшее, остроумное и удивительное учение и развлечёт себя различными вопросами сокровеннейшей науки».

Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. 1510

Лука Пачоли (1445-1514) был крупнейщим европейским алгебраистом 15 в. По настоянию Леонардо да Винчи написал книгу "О Божественой пропорции". Сам Леонардо выполнил иллюстрации для этой книги, в том числе 59 изображений многогранников.

Справа предположительно Гвидобальдо да Монтефельтро, будущий герцог Урбинский (возможно автопортет художника). На столе перед Пачоли лежат Начала Евклида. Он читает лекцию по геометрии и, судя по изображению на доске, рассказывает о pons asinorum - «мосте ослов». Так раньше называлась теорема из «Начал», согласно которой углы, противоположные равным сторонам равнобедренного треугольника, равны. В левом верхнем углу ромбокубооктаэдр - одно из тел Архимеда.

Книга справа - "Сумма арифметики". На ней находится додекаэдр, а вверху изображен многогранник со стеклянными гранями, наполовину наполненный водой, подвешенный к потолку на золотой цепочке. В нем отражается окно, сквозь которое слева направо падает луч света. Этот многогранник - ромбокубоктаэдр, Многогранник Пачоли.

Лука Пачоли и его трактат

«О божественной пропорции»

А. И. ЩЕТНИКОВ

Биографический очерк

ЛУКА ПАЧОЛИ (LUCA PACIOLI или PACIOLLO) родился в 1445 году в небогатой семье БАРТОЛОМЕО ПАЧОЛИ в небольшом городке Борго Сан-Сеполькро, расположенном на берегу

Тибра, на границе Тосканы и Умбрии, и принадлежавшем в то время Флорентийской республике. Подростком он был отдан на обучение в мастерскую знаменитого художника

ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА (ок. 1415–1492), жившего в этом же городке. Обучение в мастерской не сделало его художником, однако выработало отменный вкус, а главное, здесь он впервые приобщился к математике, глубоко интересовавшей его учителя. Вместе со своим учителем ЛУКА часто посещал двор ФЕДЕРИКО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцога Урбинского.

Здесь его заметил великий итальянский зодчий ЛЕОН БАТИСТА АЛЬБЕРТИ (1404–1472), который в 1464 году рекомендовал молодого человека богатому венецианскому купцу АНТОНИО ДЕ РОМПИАНЗИ в качестве домашнего учителя.

В Венеции ЛУКА учил сыновей своего патрона и учился сам, посещая лекции знаменитого математика ДОМЕНИКО БРАГАДИНО в школе Риальто. В 1470 году он составил свою первую книгу - учебник коммерческой арифметики. В этом же году он оставил Венецию и перебрался в Рим, где был принят АЛЬБЕРТИ и поселился в его доме. Однако через два года ПАЧОЛИ покинул Рим и принял монашеский постриг, став францисканцем.

После пострига брат ЛУКА некоторое время живёт на родине в Сан-Сеполькро. С 1477 по 1480 год он преподаёт математику в университете в Перудже. Затем в течении восьми лет он живёт в Заре (ныне - Задар в Хорватии), где занимается теологией и математикой, иногда совершая по делам ордена поездки по другим городам Италии. В эти годы ПАЧОЛИ начал писать главный труд своей жизни - энциклопедическую Сумму арифметики, геометрии, отношений и пропорций. В 1487 году его вновь приглашают занять кафедру в Перудже. В последующие годы он живёт в Риме, Неаполе, Падуе.

12 октября 1492 года умирает ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА. В следующем году работа ПАЧОЛИ над Суммой была, наконец, завершена. С этой рукописью он приезжает в Венецию, где в ноябре 1494 году эта книга, посвящённая юному ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО (1472–1508), ставшему в 1482 г. после смерти отца герцогом Урбинским, выходит в свет.

Примечательно то, что книга написана не на обычной для учёных трудов латыни, а на итальянском языке. У некоторых авторов можно прочитать, что ЛУКА писал свои трактаты на итальянском языке, потому что он не получил соответствующего образования и не владел латинским языком в совершенстве. Однако он был магистром теологии, а латынь была единственным языком теологических трактатов; он преподавал математику в различных университетах, а там все предметы читались на латыни; и он же перевёл всего ЕВКЛИДА с латыни на итальянский (правда, этот перевод так и не был издан). Потому, хотя он и не владел гуманистической латынью, школьная латынь была для него повседневным языком.

Стало быть, причина, по которой он предпочёл итальянский язык латыни, состояла в друЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 2 гом.

Вот что говорит об этом сам ЛУКА в посвящении к Сумме (написанном и на итальянском, и на латинском языке):

Правильное понимание трудных терминов среди латинистов прекратилось ввиду того, что хорошие учителя стали редки. И хотя для Вашего Герцогского Высочества лучше подошёл бы стиль Цицерона или ещё более высокий, однако я полагаю, что этим источником красноречия не всякий сумеет воспользоваться. Так что, принимая во внимание интересы общей пользы ваших почтительных подданных, я решил написать своё сочинение на родном местном языке, чтобы и образованные, и не образованные в равной мере могли получить удовольствие от этих занятий.

В предисловии к Сумме ПАЧОЛИ рассказывает о тех людях, благодаря общению с которыми у него сложилось убеждение в том, что математика рассматривает «всеобщую закономерность, применимую ко всем вещам». Он говорит об астрономии, о научном подходе к архитектуре, воплощённом в трудах ВИТРУВИЯ и АЛЬБЕРТИ, о многочисленных живописцах, развивавших искусство перспективы, «которая, если разобраться тщательно, была бы пустым местом без применения математических вычислений», среди которых выделяется «король нашего времени в живописи» ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, о замечательных скульпторах. Это те мастера, «которые, пользуясь вычислениями в своих работах с помощью нивелира и циркуля, довели их до необычайного совершенства». ПАЧОЛИ говорит также о значении математики для музыки, для космографии, для торговли, для механических искусств, для военного дела.

Сумма арифметики, геометрии, отношений и пропорций - это обширный энциклопедический труд, напечатанный на 300 листах in folio. Первая часть в 224 листа посвящена арифметике и алгебре, вторая, в 76 листов - геометрии. Нумерация листов в обеих частях начинается заново. Каждая часть делится на отделы, отделы - на трактаты, трактаты - на главы.

В арифметической части Суммы излагаются приёмы выполнения арифметических действий; эта часть опирается на многочисленные Книги абака, принадлежавшие разным авторам. Алгебраические задачи, решаемые в Сумме, не выходят за пределы круга задач на линейные и квадратные уравнения, рассматривавшегося в арабских трактатах по «алгебре и альмукабале»; в Европе эти задачи были известны по Книге абака ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (1180–1240). Из задач, привлёкших внимание математиков последующих поколений, следует отметить задачу о разделе ставки при незавершённой игре, которую сам ЛУКА решил неправильно. Пожалуй, самое существенное нововведение ПАЧОЛИ состоит в систематическом использовании синкопированной алгебраической записи - своеобразной предшественницы последующего символического исчисления. Книга содержит таблицу монет, весов и мер, принятых в разных частях Италии, а также руководство по венецианской двойной бухгалтерии. Что касается геометрической части Суммы, она следует за Практической геометрией ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО.

В первой половине 90-х годов ПАЧОЛИ живет в Урбино. Именно к этой эпохе относится картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ, на которой ПАЧОЛИ изображён в сопровождении неизвестного молодого человека. По поводу личности этого молодого человека выдвигались разные гипотезы. Наиболее правдоподобным представляется предположение о том, что это - герцог ГВИДО УБАЛЬДО, покровитель ПАЧОЛИ.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 3

Портрет ЛУКИ ПАЧОЛИ и неизвестного молодого человека.

Картина ЯКОПО ДЕ БАРБАРИ (Неаполь, Национальный музей) В 1496 году учреждается кафедра математики в Милане, и ПАЧОЛИ предлагают её занять. Здесь он читает учебные лекции студентам и публичные - всем желающим. Здесь же, при дворе герцога ЛОДОВИКО МОРО СФОРЦА (1452–1508) он сближается с ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. В записных книжках ЛЕОНАРДО сохранились записи: «Научись умножению корней у маэстро ЛУКИ», «попроси брата из Борго показать тебе книгу о весах». ПАЧОЛИ выполнил для ЛЕОНАРДО расчёты веса гигантского конного памятника ФРАНЧЕСКО СФОРЦА. В Милане ПАЧОЛИ написал послание О божественной пропорции, адресованное герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, а ЛЕОНАРДО выполнил к нему иллюстрации. Трактат был завершён 14 декабря 1498 года. К нескольким рукописным экземплярам трактата, вручённым властительным особам, прилагался набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых брат ЛУКА говорит, что изготовил их собственноручно. (О моделях правильных многогранников он писал ещё в Сумме.) Сохранилось две рукописи этого трактата - одна в Публичной библиотеке в Женеве, вторая - в Амброзианской библиотеке в Милане.

В 1499 году французская армия заняла Милан, и герцог СФОРЦА бежал; ЛЕОНАРДО и ЛУКА в скором времени покинули город. В последующие годы ЛУКА ПАЧОЛИ читает лекции в Пизе (1500), Перудже (1500), Болонье (1501–1502) и Флоренции (1502–1505). Во Флоренции ему покровительствует ПЬЕТРО СОДЕРИНИ, пожизненный гонфалоньер Республики.

Однако не все труды ПАЧОЛИ напечатаны, и поэтому он снова едет в Венецию. Здесь в 1508 году он издаёт латинский перевод ЕВКЛИДА, принадлежащий ДЖОВАННИ КАМПАНО из Новары. Этот перевод, сделанный ещё в 1259 году с арабского языка, уже издавался в 1482 году и затем несколько раз переиздавался, но издание изобиловало опечатками и ошибками. ПАЧОЛИ отредактировал перевод; по этой редакции, снабжённой многочисленными комментариями, он и читал свои университетские лекции. Однако издание оказалось невостребованным, поскольку в 1505 году БАРТОЛОМЕО ДЗАМБЕРТИ издал новый перевод Начал, выполненный непосредственно с греческого оригинала.

В 1509 году в Венеции была издана ещё одна книга ПАЧОЛИ: Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 4

Это печатное издание включает в себя ряд текстов. Изданию предпослано обращение к флорентийскому гонфалоньеру ПЬЕТРО СОДЕРИНИ. Первая часть (33 листа) содержит послание О божественной пропорции, а также трактат об архитектуре, о пропорциях человеческого тела и о принципе построения букв латинского алфавита. За ней следует Книжка в трёх отдельных трактатах о правильных телах (27 листов), из коих первый трактат рассматривает плоские фигуры, второй - правильные тела, вписанные в сферу, третий - правильные тела, вписанные друг в друга. Далее идут графические таблицы, отпечатанные с одной стороны листа: пропорции человеческого лица (1 лист), принцип построения букв латинского алфавита (23 листа), изображения архитектурных элементов (3 листа), выполненные на основе рисунков ЛЕОНАРДО изображения правильных и других тел (58 листов), и, наконец, «дерево пропорций и пропорциональности» - рисунок, который ПАЧОЛИ уже приводил в Сумме (1 лист).

В послании О божественной пропорции ЛУКА ПАЧОЛИ говорит о том, что ему, как старому человеку, пора на покой, чтобы «в солнечном месте подсчитывать годы». Эта его просьба была услышана, и в 1508 году он становится местоблюстителем монастыря в родном Сан-Сеполькро. Однако в декабре 1509 г. два монаха его монастыря передали генералу ордена письмо, в котором указывали на то, что «маэстро ЛУКА неподходящий человек, чтобы управлять другими», и просили освободить его от административных обязанностей.

Но поддержки у начальства они не нашли, и в феврале 1510 года ЛУКА ПАЧОЛИ становится полноправным приором родного монастыря. Впрочем, распри внутри монастыря продолжались и далее.

В последние годы своей жизни брат ЛУКА продолжал ещё иногда читать лекции; его приглашали в Перуджу в 1510 году и в Рим в 1514 году, причём последнее приглашение исходило от нового папы ЛЬВА X. Умер ЛУКА ПАЧОЛИ в возрасте 72 лет, 19 июня 1517 года во Флоренции.

Обзор послания «О божественной пропорции»

В послании ЛУКИ ПАЧОЛИ О божественной пропорции выделяются следующие содержательные части:

Введение (гл. 1–4). Божественные качества, определение и математические свойства пропорции, возникающей при делении величины в среднем и крайнем отношении (гл. 5– 23). О правильных телах, почему их не может быть больше пяти и как каждое из них вписывается в сферу (гл. 24–33). О том, как правильные тела вписываются друг в друга (гл.

34–46). О том, как в каждое из этих тел вписывается сфера (гл. 47). О том, как из правильных тел получаются усечённые и надстроенные (гл. 48–52). О других телах, вписанных в сферу (гл. 53–55). Сфера (гл. 56–57). О колоннах и пирамидах (гл. 58–69). О материальных формах представленных тел и их перспективных изображениях (гл. 70). Глоссарий (гл. 71).

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 5

квадрат на большей части равен прямоугольнику, сторонами которого служат целое и меньшая часть.

Особую ценность, выделенность отношения «божественной пропорции» среди прочих отношений брат ЛУКА обосновывает доводами метафизического и теологического характера. Единственность и неизменность данной пропорции сравнивается с единственностью и неизменностью Бога, три её члена - с тремя ипостасями Святой Троицы, иррациональность отношения - с непостижимостью и невыразимостью Бога. Но помимо этих доводов имеется ещё один: с этой пропорцией связаны процедуры построения правильного плоского пятиугольника, и телесных додекаэдра и икосаэдра. Но ПЛАТОН в Тимее рассматривал пять правильных тел в качестве пяти элементов, из которых состоит Вселенная. Таким образом, в метафизических построениях ПАЧОЛИ соединяются мотивы христианского богословия и платоновской космологии.

XIII и XIV книге Начал ЕВКЛИДА. Всего он рассматривает тринадцать таких свойств, связывая это число с числом участников тайной вечери. Вот пример одного из этих свойств:

«Пусть прямая линия разделена в пропорции, имеющей середину и два края, тогда если к большей части прибавить половину всей пропорционально разделённой линии, то с необходимостью окажется, что квадрат суммы всегда будет пятикратным, то есть в 5 раз большим квадрата указанной половины». Все эти свойства он сопровождает одним и тем же числовым примером, когда длина целого отрезка равна 10, а его части составляют: меньшая 15 – 125, а большая 125 – 5. Пример с алгебраическим делением 10 в среднем и крайнем отношении был заимствован ЛУКОЙ ПАЧОЛИ у ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО (1180– 1240), а последним - у АБУ КАМИЛА (850–930) и АЛ-ХОРЕЗМИ (787–850). Само вычисление корней соответствующего квадратного уравнения в трактате не производится: здесь ЛУКА ссылается на свою же Сумму, где этот результат получен «по правилам алгебры и альмукабалы». И вообще, выбранный им жанр послания предопределяет собой тот факт, что ПАЧОЛИ все результаты приводит без доказательства, хотя эти доказательства ему, вне всякого сомнения, известны.

Вслед за этим ПАЧОЛИ рассматривает пять платоновских тел. Сначала он доказывает теорему том, что этих тел - ровно пять, и не больше. Затем он приводит построения всех пяти тел, вписанных в данную сферу, в следующем порядке: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Далее рассматривается пропорция между сторонами этих тел, вписанных в одну и ту же сферу, и приводится ряд теорем о соотношениях между их поверхностями.

Затем рассматриваются некоторые способы, по которым одно правильное тело может быть вписано в другое. Наконец, обсуждается теорема о том, что в каждое правильное тело тоже может быть вписана сфера.

Теперь ПАЧОЛИ на время оставляет ЕВКЛИДА и переходит к новому материалу. А именно, он рассматривает тела, которые могут быть получены из правильных тел путём «усечения» либо «надстройки». Тела, которые получаются из правильных тел усечением - это

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 6

Надстроенные правильные и надстроенные усечённые тела у ПАЧОЛИ - это не то же самое, что исследовавшиеся в последующей математике звёздчатые многогранники КЕПЛЕРА. Тела КЕПЛЕРА получаются продлением плоскостей исходных многогранников; тела ПАЧОЛИ - построением на каждой грани исходного многогранника пирамиды, боковые стороны которой являются равносторонними треугольниками. ПАЧОЛИ приводит интересную теорему о том, что в надстроенном икосидодекаэдре пять вершин треугольных пирамид и вершина пятиугольной пирамиды лежат в одной плоскости; опущенное доказательство «возводится тончайшей практикой алгебры и альмукабалы до редкой отметки».

Далее рассматривается «тело с 72 основаниями», которым ЕВКЛИД пользовался как вспомогательным в последних двух предложениях XII книги Начал; это тело в литературе иногда называют «сферой КАМПАНО» (рис. 2). ПАЧОЛИ утверждает, что форма этого тела послужила геометрической основой для купола Пантеона в Риме и для сводов ряда других построек.

–  –  –

Вслед за этим ПАЧОЛИ говорит о том, что усечением и надстройкой может быть получено бесчисленное множество многогранных форм, и переходит к рассмотрению сферы, ещё раз касаясь вписания в неё правильных тел.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 7

Далее ПАЧОЛИ пишет о том, что к рукописным копиям трактата, вручаемым герцогу и его родственникам, прилагаются таблицы с перспективными рисунками, сделанными ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ, а также «материальные формы» всех упомянутых в нём тел. Рисунки и формы многогранников были изготовлены в двух вариантах - сплошные, с цельными плоскими гранями, и полые, с одними только рёбрами. Выполнял ли ЛЕОНАРДО свои рисунки чисто расчётным путём или с натуры, мы не знаем. Часть рисунков выполнена с заметной для глаза погрешностью, однако её можно объяснить как неточностью расчётов, так и переменой точки, с которой рассматривалось изображаемое тело. Послание завершается словариком, в котором ещё раз разъясняются употреблявшиеся в тексте специальные термины.

Золотое сечение в «древней» и в «новой» эстетике Многочисленные популярные и специальные книги и статьи, посвящённые проблеме пропорций в искусстве, рассматривают золотое сечение в качестве «самой совершенной»

пропорции, причём это совершенство трактуется в этих книгах по преимуществу психологически: прямоугольник с «золотым» отношением сторон считается самым приятным для зрительного восприятия, и т. п. В этих публикациях принято рассматривать разнообразные произведения изобразительного искусства и памятники архитектуры, созданные мастерами античности и Возрождения, в качестве примеров, подтверждающих этот тезис.

Надо заметить, что от античности до нас не дошло не одного текста, в котором деление величины в среднем и крайнем отношении обсуждалось бы в качестве формообразующего начала в изобразительном искусстве и архитектуре. Похоже, что таких текстов и вовсе не существовало. Для сравнения можно рассмотреть так называемую музыкальную пропорцию 12: 9 = 8: 6, задающую структуру музыкальной гармонии. Эта пропорция, открытая пифагорейцами, упоминается в десятках античных текстов, посвящённых теории музыки, - как специальных, так и общефилософских. Странно было бы, если бы золотое сечение играло аналогичную роль в архитектуре, скульптуре и живописи, а у античных авторов не осталось об этом ни одного свидетельства.

Все античные тексты, в которых обсуждается деление величины в среднем и крайнем отношении - это сугубо математические трактаты, в которых данное построение рассматривается исключительно в связи с построением правильного пятиугольника, а также двух правильных платоновских тел - икосаэдра и додекаэдра (обзор этих текстов см.

HERZ-FISHLER 1998). Верно то, что интерес к правильным телам, а тем самым и к золотому сечению, не был сугубо математическим: ведь ПЛАТОН вслед за пифагорейцами стал рассматривать пять правильных тел в качестве элементарных основ мироздания, поставив тетраэдр в соответствие огню, куб - земле, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, а форму додекаэдра он связал со Вселенной в целом. В этом плане, конечно, можно говорить об эстетической значимости золотого сечения, как это делал в своих сочинениях А. Ф. ЛОСЕВ;

но сама эта «эстетика» носит отнюдь не психологический, но космологический характер.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 8

В точности такие же воззрения характерны для ИОГАННА КЕПЛЕРА и других авторов эпохи Возрождения, интересовавшихся золотым сечением и ролью правильных многогранников в «гармонии мира». Так что искать в их сочинениях некую концепцию золотого сечения, связанную с эстетикой произведений искусства, - это совершенно напрасное занятие, поскольку её там попросту не было.

Судьба сочинений Пачоли. Вопрос о плагиате После смерти ПАЧОЛИ о его сочинениях помнили не слишком долгое время. Наступала эпоха грандиозных научных свершений, когда в науке стали цениться в первую очередь новые результаты, а книги ПАЧОЛИ представляли собой обзоры того, что было сделано в прежние времена. ДЖИРОЛАМО КАРДАНО (1501–1576) назвал ПАЧОЛИ компилятором, в чём он, со своей точки зрения, был вполне прав. Впрочем, другой выдающийся математик этой эпохи, РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (1526–1573), сказал, что ПАЧОЛИ был первым после ЛЕОНАРДО ПИЗАНСКОГО, «кто пролил свет на науку алгебры».

Возрождение интереса к личности и сочинениям ПАЧОЛИ датируется 1869 годом, когда Сумма попала в руки к миланскому профессору математики ЛЮЧИНИ, и он обнаружил в ней Трактат о счетах и записях. После этого открытия на ПАЧОЛИ стали смотреть как на родоначальника науки о бухгалтерском учёте, и именно этот трактат оказался самой востребованной частью его наследия, много раз переводившейся на другие языки, в том числе и на русский.

Впрочем, уже вскоре после первых публикаций Трактата о счетах и записях среди исследователей разгорелись жаркие споры о том, был ли ЛУКА ПАЧОЛИ его действительным автором. Было высказано сомнение, мог ли человек, далёкий от торговых дел, составить такой трактат. А если не мог, то не следует ли предположить, что здесь совершён плагиат?

Думается всё же, что обвинение в плагиате в данном случае неправомочно.

ПАЧОЛИ нигде не говорит, что это он изобрёл двойную бухгалтерию; он лишь описывает её нормы «по венецианскому обычаю». Но ведь если мы откроем любое современное руководство по бухгалтерскому учёту, оно будет представлять собой в точности такое же нормативное описание, без ссылок на предшественников. И если ПАЧОЛИ описывает систему бухгалтерского учёта по какой-то прочитанной им рукописи, то ведь он и правила умножения в столбик тоже не сам придумал, однако в данном случае обвинять его в плагиате никому не

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 9

Другое серьёзное обвинение в плагиате было выдвинуто против ПАЧОЛИ ещё в 1550 году, когда ДЖОРДЖЕ ВАЗАРИ (1511–1572) в своей книге Жизнеописания знаменитых живописцев, ваятелей и зодчих в главе, посвящённой ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА, написал следующее:

И хотя тот, кто должен был всеми силами стараться приумножить его славу и известность, ибо у него научился всему, что знал, пытался как злодей и нечестивец изничтожить имя ПЬЕРО, своего наставника, и завладеть для себя почестями, которые должны были принадлежать одному ПЬЕРО, выпустив под своим собственным именем, а именно брата ЛУКИ из Борго, все труды этого почтенного старца.

Математические сочинения ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА долгое время считались утерянными. Однако в 1903 году ДЖ. ПИТТАРЕЛЛИ обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus («ПЕТРА, художника из Борго, о пяти правильных телах»). Несколько позже были обнаружены ещё две рукописи ПЬЕРО: Перспектива в живописи (De perspectiva pingendi) и Об абаке (De abaco). Тогда же было установлено, что найденный латинский манускрипт О пяти правильных телах и три итальянских трактата о правильных телах в печатном издании De Divina Proportione представляют собой две близкие версии одного и того же текста.

Сохранившаяся рукописная книжка ПЬЕРО О пяти правильных телах посвящена ГВИДО УБАЛЬДО ДЕ МОНТЕФЕЛЬТРО, герцогу Урбинскому. Герцогский титул он получил в 1482 году после смерти отца. ПЬЕРО умер в 1492 году. Стало быть, дошедший до нас экземпляр книжки был переписан набело в промежутке между 1482–1492 гг. Однако сама книжка могла быть создана и раньше. ЛУКА ПАЧОЛИ в Сумме (VI, I, II) говорит, что книжку по перспективе ПЬЕРО написал на итальянском, а латинский перевод выполнил его друг МАТТЕО ДАЛЬ БОРГО. Таким же образом мог появиться на свет и латинский текст книжки О пяти правильных телах. Во всяком случае, итальянский текст, опубликованный впоследствии ПАЧОЛИ, естественно рассматривать как исходный.

Что касается этой публикации в приложении к изданию Божественной пропорции, её полное заглавие звучит следующим образом: Libellus in tres partialis tractatus divisus quinque corpore regularium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit («Книжка, разделённая на три отдельных трактата, о пяти правильных и зависимых [от них] телах, последовательно рассмотренных. Г[осподину] ПЕТРУ СОДЕРИНИ, постоянному предводителю флорентийского народа. М[аэстро] ЛУКА ПАЧОЛИ, миноритом из Борго, по частям продиктованная, счастливо начинается»).

Об каком-либо отношении ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА к трактату в этом заглавии действительно ничего не говорится. Но и своё собственное «авторство» ПАЧОЛИ обозначает весьма странным образом. А именно, он говорит, что книжка эта им particulariter dicatus, «по частям (или частично?) продиктована», - и не более того.

Это заставляет задуматься. Ведь ЛУКА ПАЧОЛИ в своих сочинениях вовсе не выглядит человеком, стремившимся беззастенчиво присваивать чужие результаты.

Так в I разделе I главы Суммы он пишет:

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 10

Аналогичное уведомление имеется и в IV главе Божественной пропорции:

Первым делом я замечу, что всякий раз, когда я буду писать «первое в первой», «четвёртое во второй», «десятое в пятой», «20 в 6» и так до пятнадцатой, под первой цифрой всегда следует понимать номер предложения, а под второй - номер книги нашего философа ЕВКЛИДА, который всеми признаётся за главу данного факультета. Таким образом, говоря о пятом в первой, я говорю о пятом предложении его первой книги, и так же о других отдельных книгах, составляющих цельную книгу об элементах и первоначалах Арифметики и Геометрии. Но когда упоминается другое его сочинение или книга другого автора, это сочинение или этот автор называются по имени.

Не следует забывать и о том, что в те периоды, когда ЛУКА жил в своём родном городе, он имел возможность общаться с ПЬЕРО напрямую. Естественно думать, что встречи двух математиков были достаточно частыми, а их общение - содержательным. Темы книжки О пяти правильных телах почти наверняка обсуждались в этих беседах, а потому они оба могли в какой-то мере смотреть на неё как на свою, вне зависимости от того, кто придал ей окончательную форму.

Мы ничего не знаем и о том, какое влияние на ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКУ ПАЧОЛИ оказали работы немецкого астронома и математика ИОГАННА МЮЛЛЕРА (1436–1476), более известного под латинским именем РЕГИОМОНТАН. А ведь он много жил в Италии и умер в Риме, так что итальянские математики могли быть знакомы с ним и его рукописями. Среди его сочинений имелся трактат De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem («О пяти равносторонних телах, обычно называемых правильными, а именно, какие из них заполняют естественное место, а какие нет, против АВЕРРОЭСА, комментатора АРИСТОТЕЛЯ»).

До наших дней он не дошёл, но РЕГИОМОНТАН даёт его обзор в другой своей работе. В этом трактате рассматривалось построение правильных тел, их преобразования друг в друга, вычислялись их объёмы. Содержалась в нём и встречающаяся у ПАЧОЛИ идея о том, что последовательным изменением правильных тел можно получать безграничное количество полуправильных.

Далее, первая печатная книга по математике вышла в 1475 году. ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА жил ещё в мире рукописей, а более молодой ЛУКА ПАЧОЛИ зрелые свои годы провёл уже в мире печатных книг. Рукопись могла быть переписана для собственного пользования кем-то ещё, но каждый раз в одном экземпляре. Её переписчик совершает богоугодное дело уже потому, что продлевает жизнь рукописи, не даёт ей погибнуть. То же и в случае, когда сохранившаяся рукопись превращается в печатную книгу.

Теперь мы можем вернуться к вопросу о плагиате с оценкой, в большей мере соответствующей системе взглядов того времени. Похоже, что в ту эпоху, когда жили ПЬЕРО ДЕЛЛА ФРАНЧЕСКА и ЛУКА ПАЧОЛИ, вопрос об авторстве ещё попросту не стоял. (Средневековье, между прочим, вообще не знает авторства: можем ли мы сказать, кто был «автором» прекрасных готических соборов? Сама эта постановка вопроса очевидным образом бессмысленна. - Вот и в Началах ЕВКЛИДА большая часть результатов была переписана из других математических книг, но мы этим почему-то не возмущаемся и ЕВКЛИДА в плагиате не обвиняем.) Самому ПЬЕРО была интересна математика, а не слава в грядущих веках. В предиЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 11 словии к своей латинской книжке он пишет, что она будет ему «залогом и памятником», но не у потомков вообще, а у его герцогского Высочества.

А что касается авторства как указания на то, кто первый совершил такое-то открытие, то здесь важен момент онтологический. Математик открывает какие-то неизвестные доселе тела, а КОЛУМБ в это же самое время открывает новые страны. Но КОЛУМБ не является «автором» этих стран, и точно так же математик не является «автором» открытых им тел.

И ведь когда КОЛУМБ организовывал свою экспедицию, его целью были сами новые страны, а не память потомков о том, что он их открыл.

Лука Пачоли и формирование института экспертизы Обращаясь в послании О божественной пропорции к миланскому герцогу ЛОДОВИКО СФОРЦА, ЛУКА ПАЧОЛИ нигде не рекомендует себя так: «Я математик, потому что могу получать новые математические результаты». Нет, он говорит о себе совершенно иначе: «Я математик, потому что я знаю математику и могу ей научить других».

Вот и ДАНТЕ в Божественной комедии называл АРИСТОТЕЛЯ «учителем тех, кто знает», и ЛУКА не зря эту цитату приводит. Для уяснения этого довода проведём следующее сравнение. Врач знает медицину и поэтому может лечить. Юрист знает право и поэтому может быть адвокатом. А математик знает математику - и что дальше? Он может ей учить? Но ведь и врач, и юрист тоже могут учить своим наукам - для чего в университете и существуют медицинский и юридический факультеты. Но кем может быть математик вне сферы обучения? Какое умение выделяет его среди прочих людей и делает кому-то нужным? Астроном умеет вычислять движения небесных светил и составлять гороскопы. Архитектор способен построить прекрасную виллу, военный строитель - неприступную крепость.

Художники создают прекрасные произведения, услаждающие взор. А математик - какой от него может быть прок?

Посмотрим, как на этот вопрос отвечает сам ЛУКА. Прежде всего, он настаивает на том, что математика в качестве самой точной науки является основанием и пробирным камнем для всех прочих наук.

«В [нашем трактате] мы говорим о высоких и утончённых вещах, которые поистине служат испытанием и пробирным тиглем для всех изысканных наук и дисциплин: ведь из них проистекают все прочие спекулятивные действия, научные, практические и механические; и без предварительного ознакомления с ними человеку невозможно ни познавать, ни действовать, как это будет показано… Как подтверждают АРИСТОТЕЛЬ и АВЕРРОЭС, наши математические науки являются самыми истинными и стоят на первом уровне строгости, а за ними идут естественные»

От похвалы математике как таковой он переходит к похвалам математикам:

«Благоразумным известна пословица: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. То есть золото проверяется огнём, и проницательность разума - математическими дисциплинами. Это высказывание говорит вам, что добрый разум математиков наиболее открыт каждой науке, ведь они привычны к величайшей абстракции и тонкости, поскольку всегда рассматривали то, что находится вне чувственной материи. Как говорит тосканская поговорка, это те, кто расщепит волос на лету» (гл. II).

Но само по себе «рассмотрение того, что находится вне чувственной материи» вряд ли способно заинтересовать властителей, к которым обращается ЛУКА.

Поэтому он переходит от вещей идеальных к вещам реальным, и приводит доводы, согласно которым математика является необходимым основанием военного искусства и архитектуры:

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 12

«Они называют себя архитекторами, но я никогда не видел у них в руках выдающейся книги нашего достойнейшего архитектора и великого математика ВИТРУВИЯ, который составил трактат Об архитектуре с наилучшими описаниями всякого сооружения. И те, кому я дивлюсь, пишут на воде и строят на песке, наскоро растратив своё искусство: ведь они являются архитекторами лишь по имени, ибо не ведают разницы между точкой и линией и не знают различия между углами, без чего невозможно хорошо строить… Однако есть и такие, кто восхищается нашими математическими дисциплинами, внедряя истинное руководство всеми постройками в согласии с сочинением вышеупомянутого ВИТРУВИЯ. Отклонение от него заметно, если посмотреть, каковы наши строения, как церковные, так и светские: какое искривлено, а какое перекошено» (гл. XLIV).

Говоря нынешним языком, ЛУКА рекомендует себя герцогу в качестве эксперта, причём в вопросах не собственно математических (такой эксперт герцогу нисколько не нужен), но сугубо прикладных, имеющих самое прямое отношение к сохранению власти (военное дело) и процветанию (архитектура). Что же касается умения получать новые математические результаты, оно в эту эпоху ещё не рассматривалось как необходимое отличительное качество математика высокого класса, оставаясь случайным, а не сущностным признаком последнего.

Литература ГЛУШКОВА Ф. Р., ГЛУШКОВ С. С. Геометрическая часть «Суммы» Пачоли. История и методология естественных наук, 29, 1982, с. 57–63.

КОЛЛИНЗ Р., РЕСТИВО С. Пираты и политики в математике. Отечественные записки, 2001, № 7.

ОЛЬШКИ Л. История научной литературы на новых языках. В 3 т. М.–Л.: ГТТИ, 1933–34. (Репринт: М.: МЦИФИ, 2000.) СОКОЛОВ Я. Лука Пачоли - человек и мыслитель. В кн.: ПАЧОЛИ ЛУКА. Трактат о счетах и записях. М.: Статистика, 1974.

ЮШКЕВИЧ А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961.

ARRIGHI G. Piero della Francesca e Luca Pacioli. Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, p. 613–625.

BIAGIOLI M. The social status of Italian mathematicians, 1450–1600. History of Science, 27, 1989, p. 41–95.

BERTATO F. M. A obra “De Divina Proportione” (1509) de Fr Luca Pacioli. Anais do V Seminrio Nacional de Histria da Matemtica, Rio Claro, 2003.

BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua “Divina proportione”. Rendiconti dell"Istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p. 3–30.

CASTRUCCI S. Luca Pacioli da ‘l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, 2003.

DAVIS M. D. Piero della Francesca’s mathematical treatises: The «Trattato d’abaco» and «Libellus de quinque corporibus regularibus». Ravenna: Longo Editore, 1975.

FIELD J. V. Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Drer, Daniele Barbaro and Johannes Kepler. Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, p. 241–289.

ЛУКА ПАЧОЛИ И ЕГО ТРАКТАТ «О БОЖЕСТВЕННОЙ ПРОПОРЦИИ» 13

LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venetia:

Paganino de Paganinis, 1494.

LUCAS DE BURGO. Divina Proportione. Venetia: Paganino de Paganinis, 1509.

MANCINI G. L’opera “De corporibus regularibus” di Pietro Franceschi detto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, 1909.

MORISON S. Fra Luca Pacioli of Borgo San Sepolcro. New York, 1933.

PICUTTI E. Sui plagi matematici di frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, p. 72–79.

PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Eds. M. D. Emiliani e. a.

Florence: Giunti, 1995.

PITTARELLI G. Luca Pacioli usurp per se stesso qualche libro di Piero de’ Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6–11 aprile 1908, III. Rome, 1909, p. 436–440.

PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la “Divina Proportione”. In: Civilt delle machine, 1957, p. 22–28.

REGIOMONTANUS. Commensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur in Mainz, 1956.

RICCI I. D. Luca Pacioli, l’uomo e lo scienziato. Sansepolcro, 1940.

ROSE P. L. The Italian renaissance of mathematics. Geneva: Librairie Droz, 1975.

SPEZIALI P. Luca Pacioli et son oeuvre. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, p. 93–106.

TAYLOR R. E. No royal road: Luca Pacioli and his times. Chapel Hill: Univ. of North Carolina Press, 1942.