• ID: 51823
• 17 страниц

Список литературы

Ситуационная (практическая) задача № 1

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x1 (% от стоимости фондов на конец года) и от ввода в действие новых основных фондов x2 (%).

Номер предприятия

Номер предприятия

Требуется:

1. Построить корреляционное поле между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации. Выдвинуть гипотезу о тесноте и виде зависимости между показателями X1 и Y.

2. Оценить тесноту линейной связи между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации с надежностью 0,9.

4. Проверить статистическую значимость параметров уравнения регрессии с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

6. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 выработки продукции на одного работника для предприятия, на котором высокую квалификацию имеют 24% рабочих.

8. Проанализировать статистическую значимость коэффициентов множественного уравнения с надежностью 0,9 и построить для них доверительные интервалы.

9. Найти коэффициенты парной и частной корреляции. Проанализировать их.

10. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

11. С помощью F -критерия Фишера оценить адекватность уравнения регрессии с надежностью 0,9.

12. Дать точечный и интервальный прогноз с надежностью 0,9 выработки продукции на одного работника для предприятия, на котором высокую квалификацию имеют 24% рабочих, а ввод в действие новых основных фондов составляет 5%.

13. Проверить построенное уравнение на наличие мультиколлинеарности по: критерию Стьюдента; критерию ч2. Сравнить полученные результаты.

Ситуационная (практическая) задача № 2

Имеются помесячные данные по объему платных услуг населению в 2010 г.

Объем платных услуг, млн. руб.

сентябрь

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии тренда во временном ряде.

3. Оценить параметры линейной трендовой модели, проверить статистическую значимость соответствующего уравнения регрессии с надежностью 0,99.

4. Дать точечный и интервальный прогноз объема платных услуг на февраль 2011 г. с надежностью 0,99.

Тестовые задания

Необходимо из предложенных вариантов ответа на вопрос теста выбрать единственно верный, по Вашему мнению.

1.Остаток в i-м наблюдении – это:

a) разница между значением объясняющей переменной в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной;

b) разница между значением переменной Y в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной, полученным по выборочной линии регрессии;

c) разница между значением переменной Y в i-м наблюдении и прогнозным значением этой переменной, полученным по истинной линии регрессии;

d) разница между прогнозным значением зависимой переменной, полученным по выборочной линии регрессии и значением объясняющей переменной в этом наблюдении.

2. Дано регрессионное уравнение Y = 10 + 0.5X. Чему равно прогнозное значение переменной Y, если Х = 10:

3. При анализе тесноты линейной корреляционной связи между двумя переменными получен коэффициент парной линейной корреляции, равный – 1. Это означает, что:

a) линейная корреляционная связь отсутствует;

b) между переменными существует нелинейная связь;

c) парный коэффициент корреляции не может принять такое значение;

d) между переменными существует точная обратная линейная зависимость;

4. С помощью какой меры невозможно избавиться от мультиколлинеарности?

a) увеличение объема выборки;

b) исключения переменных высококоррелированных с остальными;

c) изменение спецификации модели;

d) преобразование случайной составляющей.

5. Какое из приведенных чисел может быть значением коэффициента множественной детерминации:

6. Если значение статистики Дарбина-Уотсона равно 0, это говорит

а) о наличии положительной автокорреляции остатков в модели;

б) об отсутствии зависимости между рассматриваемыми показателями;

в) об отсутствии тренда во временном ряде;

г) о статистической незначимости коэффициентов уравнения.

7. К каким последствиям приводит наличие гетероскедастичности в остатках:

a) МНК-оценки коэффициентов уже не обладают меньшей дисперсией, но остаются несмещенными и линейными;

b) МНК-оценки коэффициентов остаются наилучшими линейными несмещенными оценками, проблема только в стандартных ошибках, их надо корректировать.

c) МНК-оценки коэффициентов уже не обладают меньшей дисперсией, но остаются несмещенными и линейными; МНК – стандартные ошибки правильны (состоятельны), тестами, в которых они участвуют, пользоваться можно.

d) МНК-оценки коэффициентов становятся нелинейными.

8. Периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года называются…

a) хронологическими;

b) сезонными;

c) тенденцией;

d) случайными.

9. Известны помесячные данные за полгода относительно прибыли некоторой компании (тыс. руб.): 100, 110, 98, 90, 100, 110. Медиана данного ряда равна

5. ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

5.1. Матричная игра с нулевой суммой

Экономико-математическое моделирование осуществляется в условиях:

Определенности;

Неопределенности.

Моделирование в условиях определенности предполагает наличие всех необходимых для этого исходных нормативных данных (матричное моделирование, сетевое планирование и управление).

Моделирование в условиях риска проводится при стохастической неопределенности, когда значения некоторых исходных данных случайны и известны законы распределения вероятностей этих случайных величин (регрессионный анализ, теория массового обслуживания).

Моделирование в условиях неопределенности соответствует полному отсутствию некоторых необходимых для этого данных (теория игр).

Математические модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях строятся в условиях неопределенности.

В теории игр оперируют следующими основными понятиями:

Стратегия;

Функция выигрыша.

Ходом будем называть выбор и осуществление игроком одного из предусмотренных правилами игры действий.

Стратегия - это технология выбора варианта действий при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Функция выигрыша служит для определения величины платежа проигравшего игрока выигравшему.

В матричной игре функция выигрыша представляется в виде платежной матрицы :

где - величина платежа игроку I, выбравшему ход , от игрока II, выбравшего ход .

В такой парной игре значения функций выигрыша обоих игроков в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку, т. е. и такую игру называют с нулевой суммой .

Процесс "игры в матричную игру" представляется следующим образом:

Задается платежная матрица ;

Игрок I независимо от игрока II выбирает одну из строк этой матрицы, например, -ую;

Игрок II независимо от игрока I выбирает один из столбцов этой матрицы, например, - ый;

Элемент матрицы определяет, сколько получит игрок I от игрока II. Разумеется, если , то речь идет о фактическом проигрыше игрока I.

Антагонистическую парную игру с платежной матрицей будем называть игрой .

Пример

Рассмотрим игру .

Задана платежная матрица:

.

Пусть игрок I независимо от игрока II выбирает 3-ю строку этой матрицы, а игрок II независимо от игрока I выбирает 2-ой столбец этой матрицы:

Тогда игрок I получит 9 единиц от игрока II.

5.2. Оптимальная чистая стратегия в матричной игре

Оптимальной стратегией называется такая стратегия игрока I, при которой он не уменьшит своего выигрыша при любом выборе стратегии игроком II, и такая стратегия игрока II, при которой он не увеличит своего проигрыша при любом выборе стратегии игроком I.

Выбирая в качестве хода -ую строку платежной матрицы, игрок I обеспечивает себе выигрыш не менее величины в наихудшем случае, когда игрок II будет стараться минимизировать эту величину. Поэтому игрок I выберет такую -ую строку, которая обеспечит ему максимальный выигрыш:

.

Игрок II рассуждает аналогично и может наверняка обеспечить себе минимальный проигрыш:

.

Всегда справедливо неравенство:

Величину называют нижней ценой игры .

Величину называют верхней ценой игры .

Оптимальные стратегии и называются чистыми , если для них выполняются равенства:

,

.

Величину называют чистой ценой игры , если .

Оптимальные чистые стратегии и образуют седловую точку платежной матрицы .

Для седловой точки выполняются условия:

т. е. элемент является наименьшим в строке и наибольшим в столбце.

Таким образом, если платежная матрица имеет седловую точку , то можно найти оптимальные чистые стратегии игроков.

Чистая стратегия игрока I может быть представлена упорядоченным набором чисел (вектором), в котором все числа равны нулю, кроме числа, стоящего на - ом месте, которое равно единице.

Чистая стратегия игрока II может быть представлена упорядоченным набором чисел (вектором), в котором все числа равны нулю, кроме числа, стоящего на - ом месте, которое равно единице.

Пример

.

Выбирая в качестве хода какую-нибудь строку платежной матрицы, игрок I обеспечивает себе выигрыш в наихудшем случае не менее величины в столбце, обозначенном :

Поэтому игрок I выберет 2-ую строку платежной матрицы, обеспечивающую ему максимальный выигрыш независимо от хода игрока II, который будет стараться минимизировать эту величину:

Игрок II рассуждает аналогично и выберет в качестве хода 1-ый столбец:

Таким образом, имеется седловая точка платежной матрицы:

соответствующая оптимальной чистой стратегии для игрока I и для игрока II, при которой игрок I не уменьшит своего выигрыша при любом изменении стратегии игроком II и игрок II не увеличит своего проигрыша при любом изменении стратегии игроком I.

5.3. Оптимальная смешанная стратегия в матричной игре

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то любому игроку нерационально использовать одну чистую стратегию. Выгоднее использовать "вероятностные смеси" чистых стратегий. Тогда в качестве оптимальных определяются уже смешанные стратегии.

Смешанная стратегия игрока характеризуется распределением вероятности случайного события, заключающегося в выборе этим игроком хода.

Смешанной стратегией игрока I называют такой упорядоченный набор чисел (вектор), который удовлетворяет двум условиям:

1) для , т. е. вероятность выбора каждой строки платежной матрицы неотрицательна;

2) , т. е. выбор каждой из строк платежной матрицы в совокупности представляет полную группу событий.

Смешенной стратегией игрока II будет упорядоченный набор чисел (вектор), удовлетворяющий условиям:

Величина платежа игроку I, выбравшему смешанную стратегию

от игрока II, выбравшему смешанную стратегию

,

представляет собой среднюю величину

.

Оптимальными называют смешанные стратегии

и ,

если для любых произвольных смешанных стратегий и выполняется условие:

т. е. при оптимальной смешанной стратегии выигрыш игрока I наибольший, а проигрыш игрока II наименьший.

Если в платежной матрице нет седловой точки, то

,

т. е. существует положительная разность (нераспределенная разность )

- ³ 0,

и игрокам нужно искать дополнительные возможности для уверенного получения в свою пользу большей доли этой разности.

Пример

Рассмотрим игру , заданную платежной матрицей:

.

Определим, есть ли седловая точка:

, .

Оказывается, что в платежной матрице нет седловой точки и нераспределенная разность равна :

.

5.4. Отыскание оптимальных смешанных стратегий

для игр 2×2

Определение оптимальных смешанных стратегий для платежной матрицы размерностью осуществляется методом нахождения точек оптимума функции двух переменных.

Пусть вероятность выбора игроком I первой строки платежной матрицы

равна . Тогда вероятность выбора второй строки равна .

Пусть вероятность выбора игроком II первого столбца равна . Тогда вероятность выбора второго столбца равно .

Величина платежа игроку I игроком II равна:

Экстремальная величина выигрыша игрока I и проигрыша игрока II соответствует условиям:

;

.

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков I и II соответственно равны:

5.5. Геометрическое решение игр 2× n

При увеличении размерности платежной матрицы с до уже нельзя определение оптимальных смешанных стратегий свести к нахождению оптимума функции двух переменных. Однако учитывая то, что один из игроков имеет только две стратегии, можно использовать геометрическое решение.

Основные этапы нахождения решения игры сводятся к следующему.

На плоскости введем систему координат. На оси отложим отрезок . Из левого и правого концов этого отрезка проведем перпендикуляры.

Левый и правый концы единичного отрезка соответствуют двум стратегиям и , имеющимся у игрока I. На проведенных перпендикулярах будем откладывать выигрыши этого игрока. Например, для платежной матрицы

такими выигрышами игрока I при выборе стратегии будут и , а при выборе стратегии будут и .

Соединим отрезками прямой точки выигрыша игрока I, соответствующие стратегиям игрока II. Тогда образованная ломанная линия, ограничивающая график снизу, определяет нижнюю границу выигрыша игрока I.

Находим оптимальную смешанную стратегию игрока I

,

которая соответствует точке на нижней границе выигрыша игрока I с максимальной ординатой.

Обратим внимание на то, что в рассматриваемом примере, пользуясь только двумя стратегиями и , соответствующими прямым, пересекающимся в найденной точке на нижней границе выигрыша игрока I, игрок II может воспрепятствовать игроку I получить больший выигрыш.

Таким образом, игра сводится к игре и оптимальной смешанной стратегией игрока II в рассматриваемом примере будет

,

где вероятность находится так же, как в игре :

5.6. Решение игр m × n

Если матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях (т. е. нет седловой точки) и из-за большой размерности платежной матрицы не может быть решена графически, то для получения решения используют метод линейного программирования .

Пусть задана платежная матрица размерности :

.

Необходимо найти вероятности , с которыми игрок I должен выбирать свои ходы для того, чтобы данная смешанная стратегия гарантировала ему выигрыш не менее величины независимо от выбора ходов игроком II.

Для каждого выбранного хода игроком II выигрыш игрока I определяется зависимостями:

Разделим обе части неравенств на и введем новые обозначения:

Равенство

Примет вид:

Поскольку игрок I стремится максимизировать выигрыш , то обратную величину нужно минимизировать. Тогда задача линейного программирования для игрока I примет вид:

при ограничениях

Аналогично строится задача для игрока II как двойственная:

при ограничениях

Решая задачи симплекс-методом, получаем:

,

5.7. Особенности решения матричных игр

Прежде, чем решать задачу по отысканию оптимальных стратегий, следует проверить два условия:

Можно ли упростить платежную матрицу;

Имеет ли платежная матрица седловую точку.

Рассмотрим возможность упрощения платежной матрицы:

В связи с тем, что игрок I стремится получить наибольший выигрыш, то из платежной матрицы можно вычеркнуть - ую строку, т. к. он никогда не воспользуется этим ходом, если выполняется следующее соотношение с любой другой - ой строкой:

Аналогично, стремясь к наименьшему проигрышу, игрок II никогда не выберет в качестве хода - ый столбец в платежной матрице и этот столбец можно вычеркнуть, если выполняется следующее соотношение с любым другим - ым столбцом:

Наиболее простым решением игры является наличие в упрощенной платежной матрице седловой точки, которая отвечает следующему условию (по определению):

Пример

Дана платежная матрица:

.

Упрощение платежной матрицы:

Наличие седловой точки:

5.8. Игра с природой

В отличие от задач теории игр в задачах теории статистических решений неопределенная ситуация не имеет антагонистической конфликтной окраски и зависит от объективной действительности, которую принято называть "природой" .

В матричных играх с природой в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.

Матричные игры с природой отличаются от обычных матричных игр только тем, что при выборе оптимальной стратегии игроком I уже нельзя ориентироваться на то, что игрок II будет стремиться минимизировать свой проигрыш. Поэтому наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков :

гдe - величина риска игрока I при использовании хода в условиях, равная разности между выигрышем , который игрок I получил бы, если бы знал, что установится условие , т. е. , и выигрышем , который он получит, не зная при выборе хода , что установится условие .

Таким образом, платежная матрица однозначно преобразуется в матрицу рисков, а обратное преобразование неоднозначно.

Пример

Матрица выигрышей:

.

Матрица рисков:

Возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре с природой :

Максимизация выигрыша;

Минимизация риска.

Задача принятия решений может быть поставлена для одного из двух условий:

- в условиях риска , когда известна функция распределения вероятностей стратегий природы, например, случайной величины появления каждой из предполагаемых конкретных экономических ситуаций;

- в условиях неопределенности , когда такая функция распределения вероятностей неизвестна.

5.9. Решение задач теории статистических решений

в условиях риска

При принятии решений в условиях риска игроку I известны вероятности наступления состояний природы.

Тогда игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально :

.

При решении этой задачи с матрицей риска получаем такое же решение, соответствующее минимальному среднему риску :

.

5.10. Решение задач теории статистических решений

в условиях неопределенности

При принятии решений в условиях неопределенности можно воспользоваться следующими критериями :

Максиминным критерием Вальда;

Критерием минимального риска Севиджа;

Критерием пессимизма - оптимизма Гурвица;

Принципом недостаточного основания Лапласа.

Рассмотрим максиминный критерий Вальда .

Игра с природой ведется как с разумным агрессивным противником, т. е. осуществляется перестраховочный подход с позиции крайнего пессимизма для платежной матрицы:

.

Рассмотрим критерий минимального риска Севиджа .

Аналогичный предыдущему подход с позиции крайнего пессимизма для матрицы риска:

.

Рассмотрим критерий пессимизма - оптимизма Гурвица .

Предлагается возможность не руководствоваться ни крайним пессимизмом и ни крайним оптимизмом:

где степень пессимизма ;

при - крайний оптимизм,

при - крайний пессимизм.

Рассмотрим принцип недостаточного основания Лапласа .

Полагается, что все состояния природы равновероятны:

,

.

Выводы по пятому разделу

В матричной игре участвуют два игрока и функция выигрыша, служащая для определения величины платежа проигравшего игрока выигравшему, представляется в виде платежной матрицы. Условились, что игрок I - выбирает в качестве хода одну из строк платежной матрицы, а игрок II – один из ее столбцов. Тогда на пересечении выбранных строки и столбца этой матрицы стоит числовая величина платежа игроку I от игрока II (если эта величина положительна, то игрок I действительно выиграл, а если она отрицательна, то выиграл по существу игрок II).

Если в платежной матрице имеется седловая точка, то игроки обладают оптимальными чистыми стратегиями, т. е. для выигрыша каждый из них должен повторять свой один оптимальный ход. Если же седловой точки нет, то для выигрыша каждый из них должен воспользоваться оптимальной смешанной стратегией, т. е. использовать смесь ходов, каждый из которых должен производиться с оптимальной вероятностью.

Отыскание оптимальных смешанных стратегий для игр 2×2 производится вычислением оптимальных вероятностей по известным формулам. С помощью геометрического решения игр 2×n определение оптимальных смешанных стратегий в них сводится к отысканию оптимальных смешанных стратегий для игр 2×2. Для решения игр m×n используют метод линейного программирования для нахождения оптимальных смешанных стратегий в них.

Некоторые платежные матрицы поддаются упрощению, в результате которого уменьшается их размерность за счет удаления строк и столбцов, соответствующих неперспективным ходам.

Если в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, зависящих от объективной действительности и не имеющих антагонистической конфликтной окраски, то такую игру называют игрой с природой, а для ее решения используют задачи теории статистических решений. Тогда наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков и возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре с природой: максимизация выигрыша и минимизация риска.

Решение задач теории статистических решений в условиях риска показывает, что игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение (математическое ожидание) выигрыша, взятое по строке платежной матрицы, максимально, или (что то же самое) среднее значение (математическое ожидание) риска, взятое по строке матрицы рисков, минимально. При принятии решений в условиях неопределенности используют следующие критерии: максиминный критерий Вальда, критерий минимального риска Севиджа, критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, принцип недостаточного основания Лапласа.

Вопросы для самопроверки

Как определяются основные понятия теории игр: ход, стратегия и функция выигрыша?

В виде чего представляется в матричной игре функция выигрыша?

Почему матричную игру называют с нулевой суммой?

Как представляется процесс игры в матричную игру?

Какая игра называется игрой m×n?

Какая стратегия матричной игры называется оптимальной?

Какая оптимальная стратегия матричной игры называется чистой?

Что означает седловая точка платежной матрицы?

Какая оптимальная стратегия матричной игры называется смешенной?

Как представляется смешанная стратегия игрока?

Что представляет собой величина платежа игроку I от игрока II, выбравшим смешанные стратегии?

Какие смешанные стратегии называют оптимальными?

Что означает нераспределенная разность?

С помощью какого метода находятся оптимальные смешанные стратегии для игр 2×2?

Каким образом находятся оптимальные смешанные стратегии для игр 2×n?

С помощью какого метода находятся оптимальные смешанные стратегии для игр m×n?

В чем заключаются особенности решения матричных игр?

Что означает упрощение платежной матрицы и при каких условиях оно может быть осуществлено?

Какую матричную игру легче решать, когда платежная матрица имеет или не имеет седловую точку?

Какие задачи теории игр относятся к задачам теории статистических решений?

Как платежная матрица преобразуется в матрицу рисков?

Какие две постановки задачи о выборе решений возможны в матричной игре с природой?

Для каких двух условий могут быть поставлены задачи принятия решений в матричной игре с природой?

Какую стратегию целесообразно выбрать игроку I при решении задачи теории статистических решений в условиях риска?

Какими критериями принятия решений можно воспользоваться при решении задач теории статистических решений в условиях неопределенности?

Примеры решения задач

1. В платежной матрице указаны величины прибыли предприятия при реализации им разных видов изделий (столбцы) в зависимости от установившегося спроса (строки). Необходимо определить оптимальную стратегию предприятия по выпуску изделий разных видов и соответствующий максимальный (в среднем) доход от их реализации.

Обозначим заданную матрицу через и введем переменные . Будем также использовать матрицу (вектор) . Тогда и , т. е. .

Рассчитывается обратная матрица :

Находятся значения:

.

Рассчитываются вероятности:

Определяется средний доход от реализации:

.

2. Фирма «Фармацевт» - производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие – на осенний и весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) – 15 р.

По данным наблюдений за несколько последних лет службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

РЕШЕНИЕ. Фирма располагает двумя стратегиями:

В этом году будет теплая погода;

Погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию и в действительности будет теплая погода (стратегия природы ), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит

3050×(40-20)+1100×(30-15)=77500 р.

В условиях прохладной погоды (стратегия природы ) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только а количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит

1525×(40-20)+1100×(30-15)-20×()=16500 р.

Аналогично, если форма примет стратегию и в действительности будет холодная погода, то доход составит

1525×(40-20)+3690×(30-15)=85850 р.

При теплой погоде доход составит

1525×(40-20)+1100×(30-15)-() ×15=8150 р.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу

,

Цена игры лежит в диапазоне

Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77500 р.

Найдем решение игры.

Обозначим вероятность применения фирмой стратегии через , стратегии - через , причем . Решая игру графически методом, получим , при этом цена игры р.

Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит

Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46986 р.

В условиях неопределенности, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем следующие критерии:

Критерий Вальде:

Критерий Гурвица: для определенности примем , тогда для стратегии фирмы

для стратегии

фирме целесообразно использовать стратегию .

Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце – 77500, во втором столбце – 85850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения

,

откуда , ,

Матрица рисков имеет вид

,

целесообразно использовать стратегию или .

Следовательно, фирме целесообразно применять стратегию или .

Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.

Пусть известно для рассматриваемой задачи, что вероятности теплой и холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия фирмы определяется так:

Фирме целесообразно использовать стратегию или .

Задания для самостоятельной работы

1. Предприятие может выпускать три вида продукции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (I, II, III и IV). В следующей матрице элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске -ой продукции и -ом состоянии спроса:

Выбор игроком того или иного действия называется ходом . Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией . Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Седловая точка

В теории игр С. т. (седловой элемент ) - это наибольший элемент столбца матрицы игры , который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой ). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия .

Теорема о минимаксе

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Функция потерь

Функция потерь – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра

Оптимальная Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

1. Если все элементы строки не больше соответствующих элементов другой строки, то исходная строка может быть вычеркнута из платежной матрицы. Аналогично для столбцов.

2. Цена игры единственна.

Док-во: допустим, что есть 2 цены игры v и , которые достигаются на паре и соответственно, тогда

3. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же число, то оптимальные смешанные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на это число.

Док-во:
, где

4. Если все элементы платежной матрицы умножить на одно и то же число не равное нулю, цена игры умножится на это число, а оптимальные стратегии не изменятся.

Если игра не имеет седловой точки, то возникают затруднения в определении цены игры и оптимальных стратегий игроков. Рассмотрим, например, игру:

В этой игре и . Следовательно, первый игрок может гарантировать себе выигрыш, равный 4, а второй может ограничить свой проигрыш 5. Область между и является как бы ничейной и каждый игрок может попытаться улучшить свой результат за счет этой области. Каковы же должны быть в этом случае оптимальные стратегии игроков?

Если каждый из игроков применяет отмеченную звездочкой стратегию (и ), то выигрыш первого игрока и проигрыш второго будут равны 5. Это невыгодно второму игроку, так как первый выигрывает больше, чем оно может себе гарантировать. Однако если второй игрок каким-либо образом раскроет замысел первого о намерении использовать стратегию , то он может применить стратегию и уменьшить выигрыш первого до 4. Правда, если первый игрок раскроет замысел второго применить стратегию , то, используя стратегию , он увеличит свой выигрыш до 6. Таким образом, возникает ситуация, когда каждый игрок должен хранить в секрете ту стратегию, которую он собирается использовать. Однако, как это сделать? Ведь если партия играется многократно и второй игрок применяет все время стратегию , то первый игрок скоро разгадает замысел второго и, применив стратегию , будет иметь добавочный выигрыш. Очевидно, что второй игрок должен менять стратегию в каждой новой партии, но делать это он должен так, чтобы первый не догадался, какую стратегию применит он в каждом случае.

Для механизма случайного выбора выигрыши и проигрыши игроков будут случайными величинами. Результат игры в этом случае можно оценить средней величиной проигрыша второго игрока. Вернемся к примеру. Так, если второй игрок использует стратегию и случайным образом с вероятностями 0.5; 0.5, то при стратегии первого игрока среднее значение его проигрыша будет:

а при стратегии первого игрока

Следовательно, второй игрок может ограничить свой средний проигрыш значением 4,5 независимо от стратегии, применяемой первым игроком.

Таким образом, в ряде случаев оказывается целесообразным не намечать заранее стратегию, а выбирать ту или иную случайным образом, используя какой-либо механизм случайного выбора. Стратегию, основанную на случайном выборе, называют смешанной стратегией , в отличие от намеченных стратегий, которые называются чистыми стратегиями .

Дадим более строгое определение чистых и смешанных стратегий.

Пусть имеется игра без седловой точки:

Обозначим частоту использования чистой стратегии первого игрока через , (вероятность использования i-ой стратегии). Аналогично обозначим частоту использования чистой стратегии второго игрока через , (вероятность использования j-ой стратегии). Для игры с седловой точкой существует решение в чистых стратегиях . Для игры без седловой точки существует решение в смешанных стратегиях, то есть когда выбор стратегии осуществляется на основании вероятностей. Тогда

Множество чистых стратегий 1-го игрока;

Множество смешанных стратегий 1-го игрока;

Множество чистых стратегий 2-го игрока;

Множество смешанных стратегий 2-го игрока.

Рассмотрим пример: пусть имеется игра

Второй игрок выбирает вероятность . Оценим средний проигрыш второго игрока при применении им стратегий и соответственно.

теория игра стратегия смешанная

Смешанные стратегии

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• * игра без седловой точки;
• * игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
• * игра многократно повторяется в сходных условиях;
• * при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
• * допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А 1 , А 2 , ..., А т с соответствующими вероятностями р 1 , р 2, ..., р т.

Для игрока 2

q j -- вероятность применения чистой стратегии B j .

В случае когда р i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

где и - векторы;

p i и q i - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и, при которых будет выполнено равенство

Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

• - оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
• - оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

Цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными (и), если образуют седловую точку для функции т.е.

Существует основная теорема математических игр.

Для матричной игры с любой матрицей А величины

существуют и равны между собой: = = .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 22. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

Значит, имеется платежная матрица

a 11 p 1 + a 21 p 2 = ; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 = ; (1.17)

p 1 + p 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1 , (1.20)

откуда получаем оптимальные значенияи:

Зная и, находим:

Вычислив, находим и:

a 11 q 1 + a 12 q 2 = ; q 1 + q 2 = 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) = . (1.25)

при a 11 a 12 . (1.26)

Задача решена, так как найдены векторы и цена игры. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).

• 1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
• 2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А 1 .
• 3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a 2 .
• 4. Концы отрезков обозначаются для a 11 -b 11 , a 12 -b 21 , a 22 -b 22 , a 21 -b 12 и проводятся две прямые линии b 11 b 12 и b 21 b 22 .
• 5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна. Абсцисса точки с равна р 2 (р 1 = 1 - р 2).

Рис. 1.1.

Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр тп, состоящем в том, что в любой игре тп каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2п и т2 каждая оптимальная стратегия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2п и т2 может быть сведена к игре 22. Следовательно, игры 2п и т2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет размерность тп, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.