Матричные игры: примеры решения задач. Теория игр. Седловая точка в матричных играх

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.

Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий Ai (i = 1, 2, m), а игрок В выбирает стратегию Вj (j = 1, 2, ., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.

Цель игрока А - максимизировать функцию φ (Ai, Bj), в свою очередь, цель игрока В - минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции φ (Ai, Bj).

Влияние Ai, на величину значения φ (Ai, Bj) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации φ (Ai, Bj), другим игроком переменной Bj. При этом Bj определяется другим игроком. Пусть φ (Ai, Bj)= aij. Составим матрицу А:

Строки матрицы соответствуют стратегиям Ai, столбцы - стратегиям Bj. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент aij матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию Ai, а игрок В выбрал стратегию Bj.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Ai ; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min aij. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a:

а = max min aij

Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия Аi0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.

Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии Вj его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен max aij

Рассматривая множество max aij для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш β минимизируется:

β = min miax aij

Величина β называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу β стратегия Вj0 - минимаксной.

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т.е.

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим

Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их. Говорят, что игра имеет размерность т х п.

В результате выбора игроками любой пары стратегий однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш а ;. игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-ау) игрока В. Предположим, что значения а.. известны для любой пары стратегий (А:, В ;.). Матрица Р = (a..), i = = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., п, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А. и Bj, называется платежной матрицей, или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 12.1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Таблица 12.1

Составим платежную матрицу для следующей игры.

12.1. Игра "поиск".

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Р е ш е н и с. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через A v либо в убежище II – стратегия А. г Игрок В может искать первого игрока в убежище I – стратегия В { либо в убежище II – стратегия В.,. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (Α ν В {), то игрок А платит штраф, т.е. а п = -1. Аналогично получаем а. п = -1 (А 2, В.,). Очевидно, что стратегии (А, В.,) и (Л2, /1,) дают игроку А выигрыш 1, поэтому а п = а. п = I. Таким образом, для игры "поиск" размера 2x2 получаем платежную матрицу:

Рассмотрим игру т х п с матрицей Р =a j}, i = 1,2, ..., τη; j = 1, 2, ..., и и определим наилучшую среди стратегий А у A v ..., А т. Выбирая стратегию A jy игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В., для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).

Обозначим через а; наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Л; для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

Среди всех чисел а (г = 1,2,..., т) выберем наибольшее: . Назовем а нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

(12.2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В., он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

Среди всех чисел β. выберем наименьшее,

и назовем β верхней ценой игры , или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

(12.4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 12.1. Рассмотрим платежную матрицу

из задачи 12.1. При выборе стратегии Л, (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен a, =min(-l; 1) = -1 и соответствует стратегии β1 игрока В. При выборе стратегии Л 2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен а 2 = min(l; -1) = -1, он достигается при стратегии В.,.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В , т.е. нижнюю цену игры а = тах(а, а2) = = max(-l; -1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: Aj или А 2, т.е. любая его стратегия является максиминнои.

Выбирая стратегию В, (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией А 2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В, равен β, = шах(-1; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен β2 = max(l; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен β = = πιίη(β1, β2) = min(l; 1) = 1- верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 12.1 строкой β; и столбцом а;, получим табл. 12.2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 12.2

В задаче 12.1, рассмотренной выше, верхняя и нижняя цены игры различны: а Ф β.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α = β = υ называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш υ, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока Л) проигрыша υ. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий А. и В.дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент гг является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А* и В* – пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р(А :, В -) = а у . Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(Aj, В*)<Р(А*, В*)<Р(А", В ), которое справедливо для всех i = 1, 2, ..., m;j = 1, 2, ..., п. Действительно, выбор стратегии А * первым игроком при оптимальной стратегии В" второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р(А *, B ")> Р(А Г В"), а выбор стратегии B" вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: Р(Д , В*)<Р(А", В).

12.2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Таблица 12. 3

Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, в которую, кроме матрицы Р, введены столбец а; и строка }