http://emm. *****/lect/lect5.html#vopros2

(в интернете смотрится лучше, чем эта копия)

Элементы теории игр

1. Основные понятия и определения. Предмет теории игр.
2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях.
3. Решение игр в смешанных стратегиях.
4. Геометрическая интерпретация игр.
5. Приведение парной игры к задаче линейного программирования.
6. Общая схема решения парных игр с нулевой суммой.
7. Использование альтернативных критериев определения оптимальных стратегий.

1. Основные понятия и определения. Предмет теории игр

Довольно часто в своей практической деятельности человеку приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решение в условиях, когда две или более стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие, например, при игре в шахматы, шашки или домино, относят к конфликтным : результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника. Каков будет этот ответный ход, заранее неизвестно, поэтому говорят, что решение приходится принимать в условиях неопределенности. Цель игры - выигрыш одного из участников.

В экономике конфликтные ситуации встречаются часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. В этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать.

Ситуация называется конфликтной , если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Для рационального решения задач с конфликтными ситуациями существуют научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая называется теорией игр .

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры .

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Далее будем рассматривать только парные игры. В такой игре участвуют два игрока - A и B, интересы которых противоположны. Под игрой (процессом игры) будет понимать ряд действий со стороны A и B.

Количественная оценка результатов игры называется платежом .

Парная игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистической , если сумма платежей равна нулю, т. е выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В этом случае для полного задания игры достаточно указать одну из величин. Если, например, a – выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -a , поэтому достаточно рассматривать, например, a .

В рамках данного курса будем рассматривать парные игры с нулевой суммой.

Выбор и осуществление одного из действий, предусмотренных правилами, называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды).

В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы.

Игра называется конечной , если у каждого игрока есть конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Стратегия игрока называется оптимальной , если она обеспечивает игроку максимальный выигрыш (или, что то же самое, минимальный проигрыш), при условии, что второй игрок придерживается своей стратегии.

Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, необходимо для каждого из игроков выбрать оптимальную стратегию.

Таким образом, предмет теории игр составляют методы отыскания оптимальных стратегий игроков.

При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, имеют место задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Однако решение игр при наличии многих участников, имеющих непротиворечивые интересы, - это гораздо более сложная задача.

Мы ограничимся рассмотрением парных игр с нулевой суммой.

2. Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегиях

Рассмотрим парную конечную игру.

Пусть игрок А располагает m личными стратегиями: A1, A2, …, Am. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B1, B2, …, Bn. В этом случае игра имеет размерность mxn..gif" width="39" height="17 src=">) однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш aij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (- aij) игрока В.

Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai, Bj).

Матрица А = (aij), 230" style="width:172.5pt">

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n

Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 5.1).

Таблица 5.1 - Общий вид платежной матрицы

Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго.

Эти стратегии называются чистыми .

Пример 5.1. Составьте платежную матрицу для следующей игры (игра "Поиск").

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок B ищет игрока A, и если найдет, то получает штраф 1 денежную единицу от А, в противном случае - платит игроку А 1 денежную единицу.

Решение.

Для того чтобы составить платежную матрицу следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через A1, или в убежище II - стратегия A2.

Игрок B может искать первого игрока в убежище I - стратегия B1, либо в убежище II - стратегия B2. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок B, т. е. осуществляется пара стратегий (A1, B1), то игрок А платит штраф, т. е. a11 = -1. Аналогично a22 = -1.

Очевидно, что комбинации стратегий (A1, B2) и (A2, B1) дают игроку А выигрыш, равный единице, поэтому a12 = a21 = 1.

Таким образом, для игры "Поиск" размера 2x2 получаем следующую платежную матрицу:

A (прячется) =

Рассмотрим игру размера mxn c матрицей А = (aij), https://pandia.ru/text/78/456/images/image002_132.gif" width="39" height="17 src=">и определим лучшую среди стратегий A1, A2, …, Am.

Выбирая стратегию Ai, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий Bj, для которой выигрыш игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).

Обозначим MsoNormalTable">

Среди чисел https://pandia.ru/text/78/456/images/image010_40.gif" width="44" height="16 src=">) выберем наибольшее . Назовем нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином) . Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В .

Итоговую формулу можно записать следующим образом:

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией .

Аналогичные рассуждения могут быть выполнены и в отношении игрока B.

Игрок B заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А.

Выбирая стратегию Bj, он учитывает, что игрок A будет стремиться к максимальному выигрышу.

Обозначим https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_30.gif" width="10" height="17 src=">.gif" width="58 height=23" height="23">и назовем верхней ценой игры или минимаксом . Это минимальный гарантированный проигрыш игрока В .

Таким образом:

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т. е. будет стараться "навредить".

Вернемся к примеру 5.1 и определим нижнюю и верхнюю цену игры в задаче "Поиск".

Рассмотрим платежную матрицу:

При выборе стратегии A1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_33.gif" width="10" height="8 src=">2 = min (-1; 1) = -1, он достигается при использовании игроком B стратегии B2.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока B, т. е..gif" width="10" height="8 src=">.gif" width="7" height="14">1 = max (-1; 1) = 1.

Аналогично, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B2 (второй столбец) равен 2 = max (1; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока B равен = min (1, 2) = min (1, 1) = 1 - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока B является минимаксной.

Результаты наших рассуждений сведем в таблицу 5.2, которая представляет собой платежную матрицу с дополнительной строкой j и столбцом i. На их пересечении будем записывать верхнюю и нижнюю цену игры.

Таблица 5.2 - Платежная матрица игры "Поиск" с дополнительными строкой и столбцом

Таким образом, в рассматриваемой задаче нижняя и верхняя цены игры различны: https://pandia.ru/text/78/456/images/image017_28.gif" height="14 src=">.

Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены v = https://pandia.ru/text/78/456/images/image017_28.gif" height="14 src=">называется чистой ценой игры , или просто ценой игры . Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями , а их совокупность – оптимальным решением , или просто решением игры .

В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v , а игрок В добивается минимального гарантированного (не зависящего от поведения игрока А) проигрыша v . Говорят, что решение игры обладает устойчивостью , т. е., если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий Ai и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент aij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Таким образом, для игры с седловой точкой нахождение решения заключается в выборе максиминной и минимаксной стратегии, которые и являются оптимальными.

Пример 5.2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры, которая задана следующей платежной матрицей:

0,5 0,6 0,8 0,9 0,7 0,8 0,7 0,6 0,6

Решение.

Выясним, имеет ли игра седловую точку. Решение удобно проводить в таблице. Таблица 5.3 включает платежную матрицу игры, а также дополнительные строку и столбец, которые иллюстрируют процесс поиска оптимальных стратегий.

Таблица 5.3 - Платежная матрица примера 5.2 с дополнительными строкой и столбцом

Приведем некоторые пояснения.

Столбец https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_33.gif" width="10" height="8 src=">1 = 0,5; 2 = 0,7; 3 = 0,6 - минимальные числа в строках.

Аналогично, https://pandia.ru/text/78/456/images/image017_28.gif" width="7 height=14" height="14">2 = 0,7; 3 = 0,8 - максимальные числа в столбцах.

3. Решение игр в смешанных стратегиях

Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые и являются оптимальными.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 5.1 ) седловая точка отсутствует.

В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2, …, Аm c вероятностями u1, u2, …, um.

Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: U = (u1, u2, …, um), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z1, z2, …, zm).

Очевидно, что:

ui ≥ 0, , zj ≥ 0, , ui = 1, zj = 1.

Оптимальное решение игры (или просто - решение игры ) – это пара оптимальных стратегий U*, Z*, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v . Цена игры удовлетворяет неравенству:

Справедлива следующая основная теорема теории игр.

Теорема Неймана . Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях. .

Пусть U* = (, https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_23.gif" width="15" height="17 src=">) и Z* = (, https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_22.gif" width="13" height="17 src=">) - пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной .

Теорема об активных стратегиях . Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий. .

Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели для нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2 x 2 .

Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка в соответствии с теоремой Неймана, оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий U* = (https://pandia.ru/text/78/456/images/image029_24.gif" width="13" height="17 src=">) и Z* = (, https://pandia.ru/text/78/456/images/image029_24.gif" width="13" height="17"> = v. Учитывая, что + = 1, получим систему уравнений:

Лекция 4

Тема: «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР»

Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в ко­торых необходимо принимать решения в условиях неопределен­ности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) сторо­ны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуа­ции, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих при­мерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптималь­ные решения, которые реализуют поставленные цели в наиболь­шей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неиз­вестные заранее решения, которые эти партнеры будут прини­мать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разра­ботаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр .

Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математи­ческая модель конфликтной ситуации называется игрой , стороны, участвующие в конфликте, - игрокам и, а исход конфликта - выигрышем . Для каждой формализованной игры вводятся правил а, т.е. система условий, определяющая:

1) варианты действий игро­ков;

2) объем информации каждого игрока о поведении партне­ров;

3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность дей­ствий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, вы­игрыш - единицей, а ничью - 1/2.

Игра называется парной , если в ней участвуют два игрока, и множественной , если число игроков больше двух. Мы будем рас­сматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем пони­мать ряд действий со стороны А и В.

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистиче­ско й, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одно­го из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а , поэтому достаточно рассматривать, например а .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правила­ми действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной иг­ре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (напри­мер, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, опреде­ляющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимо­сти от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каж­дом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкрет­ной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуа­цию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечно й, если у каждого игрока имеется конечное число страте­гий, ибесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовле­творяет условию оптимальност и, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такие стратеги и называются оптимальным. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной пар­тии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естест­венно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономи­ке, как правило, возникают задачи, в которых интересы партне­ров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими не­противоречивые интересы, выходит за рамки лекции.

Платежная матрица.

Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим . Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п . В результате выбора игроками любой пары стратегий и однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш игрока В . Предположим, что значения известны для любой пары страте­гий . Матрица Р=(), i = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ..., п , эле­ментами которой являются выигрыши, соответствующие страте­гиям и , называется платежной матрицей или матрицей игры . Общий вид такой матрицы представлен в таблице:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Строки этой таблицы соот­ветствуют стратегиям игрока А , а столбцы - стратегиям игрока В .

Пример .Составить платежную мат­рицу для следующей игры. Игра "поиск".

Игрок А может прятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А , и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А , в противном слу­чае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение . Для составления платежной матрицы следует про­анализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через или в убежище II - стратегия .

Игрок В может искать первого игрока в убежище I - стратегия , либо в убежище II - стратегия . Если игрок А находится в убе­жище I и там его обнаруживает игрок В , т.е. осуществляется пара стратегий то игрок А платит штраф, т.е. . Аналогич­но получаем . Очевидно, что стратегии и дают игроку А выигрыш 1, поэтому . Таким образом, для игры "поиск " размера 2х2 получаем платежную матрицу

Рассмотрим игру т п с матрицей , i =1, 2, ..., т ; j =1, 2, ..., п и определим наилучшую среди стратегий . Выбирая стратегию игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий , для которой выигрыш для иг­рока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ).

Обозначим через , наименьший выигрыш игрока А при вы­боре им стратегии , для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i -и строке платежной матрицы), т.е.

, j =1,…n . (1)

Среди всех чисел выберем наибольшее: . Назовем нижней ценой игры, илимаксимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно,

. (2)

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А ; выбирая стратегию , он учитывает макси­мально возможный при этом выигрыш для А . Обозначим

Среди всех чисел выберем наименьшее , и назовемверхней ценой игры илиминимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В . Следова­тельно,

(4)

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимакс­ной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Пример. Определить нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в игре «Поиск ». Рассмотрим платежную матрицу:

При выборе стратегии (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен и соответству­ет стратегии игрока В . При выборе стратегии (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен , он достигается при стратегии .

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии иг­рока В, т.е. нижнюю цену игры , игрок А может выбирать любую стратегию: или , т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию (столбец 1), игрок В понимает, что иг­рок А ответит стратегией , чтобы максимизировать свой выиг­рыш (проигрыш В ). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выбореим стратегии равен max (-l; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А ) при выборе им стратегии (столбец 2) равен .

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантирован­ный минимальный проигрыш игрока В равен - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу строкой и столбцом ,получим новую таблицу:

	-1		-1
		-1	-1
		1

На пе­ресечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Игра называется игрой с нулевой суммой , или антагонистической , если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить a - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = - a , поэтому достаточно рассматривать, например, a .

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.

Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре).

Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В своей работе я буду рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной , если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того, чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности , т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш , когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш , если первый придерживается своей стратегии. Такиестратегии называются оптимальными . Оптимальные стратегии должны так же удовлетворять условию устойчивости , т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Цель теории игр : определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми . Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Составляем прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы – стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей выигрышей .

Одна и та же конечная антагонистическая игра может быть описана различными матрицами, отличающимися друг от друга лишь порядком строк и столбцов.

Рассмотрим игру m x n с матрицей Р = (a ij), i = 1,2, ... , m;j = 1,2, ... , n и определим наилучшую среди стратегий A 1 , А 2 , …, А m . Выбирая стратегию А i игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий B j , для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А ). Обозначим через a i , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.

a i = a ij , j = 1,..., n .

Среди всех чисел a i (i = 1,2, ... , m ) выберем наибольшее. Назовем a нижней ценой игры или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В . Следовательно, , i = 1,... , m ; j = 1,..., n

Стратегия, соответствующая максимину, называется максимальной стратегией . Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрокаА ; выбирая стратегию B j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А .

Обозначим: β i = a ij , i = 1,... , m

Среди всех чисел B j выберем наименьшее и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В .

Следовательно, i = 1,... , m ; j = 1,..., n.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Найдем наилучшую стратегию игрока A , для чего проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию A i , мы должны рассчитывать, что игрок B ответит на нее такой стратегией B j , для которой выигрыш A будет минимальным. Поэтому среди чисел первой строки выбираем минимальное, обозначим его , запишем его в добавочный столбец. Аналогично для каждой стратегии A i выбираем , т.е. α i – минимальный выигрыш при применении стратегии A i .
В примере 1:
α 1 = min {0, –1, –2} = –2;
α 2 = min {1, 0, –1} = –1;
α 3 = min {0, –1, –2} = 0.
Эти числа запишем в добавочном столбце. Какую же стратегию должен выбрать игрок A ? Конечно же, ту стратегию, для которой α i максимально. Обозначим . Это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок A , т.е. ; этот выигрыш называется нижней ценой игры или максимином . Стратегия A i , обеспечивающая получение нижней цены игры, называется максиминной (перестраховочной). Если игрок A будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш ≥α при любом поведении игрока B .
В примере 1 . Это означает, что если A будет писать «3», то он хотя бы не проиграет. Игрок B заинтересован уменьшить выигрыш A . Выбирая стратегию B 1 , он из соображений осторожности учитывает максимально возможный при этом выигрыш A . Обозначим . Аналогично при выборе стратегии B j максимально возможный выигрыш A– ; запишем эти числа в добавочной строке. Чтобы уменьшить выигрыш A , надо из чисел β j выбрать наименьшее . Число называется верхней ценой игры или минимаксом . Это гарантированный проигрыш игрока B (т. е. он проиграет не больше, чем β). Стратегия игрока B , обеспечивающая выигрыш ≥ - β, называется его минимаксной стратегией.
В примере 1:
;
;
;
.
Это означает, что оптимальная стратегия B – писать «3», тогда он хотя бы не проиграет.

B A	B 1	B 2	B 3
A 1	0	– 1	–2	–2
A 2	1	0	–1	–1
A 3	2	1	0	0
	2	1	0	0 0

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.
Можно доказать, что , т. е. .
В примере 1 α = β. Если , т.е. минимакс совпадает с максимином, то такая игра называется игрой с седловой точкой . Седловая точка – это пара оптимальных стратегий ( A i , B j ). В примере 1 игра имеет седловую точку (А 3 , B 3 ). В этом случае число α = β называется (чистой) ценой игры (нижняя и верхняя цена игры совпадают). Это означает, что матрица содержит такой элемент, который является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. В примере 1 это элемент 0. Цена игры равна 0.
Оптимальные стратегии в любой игре обладают важным свойством, а именно – устойчивостью . Это означает, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной стратегии, т. к. это ему невыгодно. Отклонение от оптимальной стратегии игрока А приводит к уменьшению его выигрыша, а одностороннее отклонение игрока В – к увеличению проигрыша. Говорят, что седловая точка дает положение равновесия .
Пример 2. Первая сторона (игрок А ) выбирает один из трех типов вооружения – А 1 , А 2 , А 3 , а противник (игрок В ) – один из трех видов самолетов: В 1 , В 2 , В 3 . Цель В – прорыв фронта обороны, цель А – поражение самолета. Вероятность поражения самолета В 1 вооружением А 1 равна 0,5, самолета В 2 вооружением А 1 равна 0,6, самолета В 3 вооружением А 1 равна 0,8 и т.д., т.е. элемент a ij платежной матрицы – вероятность поражения самолета В j вооружением А i . Платежная матрица имеет вид: Решить игру, т.е. найти нижнюю и верхнюю цену игры и оптимальные стратегии.
Решение. В каждой строке находим минимальный элемент и записываем его в добавочном столбце. В каждом столбце находим максимальный элемент и записываем его в добавочной строке.

В А	В 1	В 2	В 3	α i
А 1	0,5	0,6	0,8	0,5
А 2	0,9	0,7	0,8	0,7
А 3	0,7	0,5	0,6	0,5
β j	0,9	0,7	0,8	0,7 0,7

В добавочном столбце находим максимальный элемент = 0,7, в добавочной строке находим минимальный элемент = 0,7.
Ответ: = 0,7. Оптимальные стратегии – А 2 и В 2 .

Пример 3 . Игра в орлянку. Каждый игрок при своем ходе может выбирать одну из двух стратегий: орел или решка. При совпадении выбранных стратегий А получает выигрыш +1, при несовпадении B получает выигрыш 1 (т. е. А получает выигрыш –1). Платежная матрица:
Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли игра седловую точку?

Решение.

В А	В 1	В 2
А 1	1	-1	-1
А 2	-1	1	1
	1	1	-1 1

α = -1, β = 1, т. е. А проиграет не больше 1, и B проиграет не больше 1. Так как α ≠ β, игра не имеет седловой точки. Положения равновесия в этой игре не существует, и оптимального решения в чистых стратегиях найти нельзя.

Пример . Найдите нижнюю цену игру, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют).